Zwei Ebenengleichungen - ein und diesselbe Ebene?

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A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Ebenengleichungen - ein und diesselbe Ebene?
Hallo zusammen!

Ich hab folgendes Problem: Ich soll überprüfen ob zwei Ebenengleichungen die gleiche Ebene beschreiben!



und




Mein Ansatz währe hier:

Ich würde überprüfen welche Fläche die Richtungsvektoren der jeweiligen Gleichung aufspannen und die schauen ob die Flächen gleich sind. Allerdings habe ich ja auch noch das Landa und das Gamma wodurch sich dir Richtungsvektoren ggf. so verändern lassen, das die Fläche identisch ist.

Hat jemand ne Idee????

Danke
Draos Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst mal Ebenengleichungen aufstellen smile





Danach würde ich prüfen, ob 2 Punkte die auf E1 liegen auch auf E2 liegen.
Eigentlich brauch man 3 Punkte für eine Ebene, aber da der Stützvektor gleich ist, muss man nur noch 2 nachweisen.

Welche 2 Punkte würden sich deiner Meinung nach anbieten?
 
 
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Frage!

So wie du die Frage stellst, denke ich es müssten 2 bestimmte Vektoren sein.
Vielleicht vielfache der Richtungsvektoren?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das ist im Prinzip völlig egal, hauptsache nicht der Stützvektor(Punkt), es bietet sich aber an,
einmal Lambda=0 und Gamma=1
und
einmal Lambda=1 und Gamma =0
zu wählen.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Aber ich versteh nicht ganz warum sich genau das hier anbietet? Weil es am einfachsten zu rechnen ist?
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay und jetzt bekomme ich für die

erste Ebenengleichung (6/-2/1)

zweite Ebenengleichung (4/0/1)

Das sagt mir jetzt sie nicht die gleiche Ebene beschreiben?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

also genauer: aus einer Ebenengleichung ( z.B. aus E1 ) rechnest du 2 Punkte der Ebene E1 aus,
aus Bequemlichkeit wie oben beschrieben. Das seien die Punkt P und Q.
Jetzt musst du in 2 Schritten prüfen, ob diese beiden Punkte P und Q Element der Ebene E2 sind.
Falls 2 mal ja , dann ist E1=E2, weil sie in 3 Punkten übereinstimmen!
Da bleibt noch was zu tun...
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

ah jetzt wird das klar! Also ich mach einmal Lande = a und Gamme = b (a und b) sind irgendwelche zahlen und dann nochmal Landa = b und Gamme = a! Dann bekomm ich zwei Punkte raus.

Bzw. ich hab ja 3 Punkte, weil der Aufpunkt gleich ist (den muss ich auch nicht überprüfen)

Und jetzt muss ich schauen ob es eine möglichkeit gibt Landa2 und Gamma2 so zuwählen das ich die jeweiligen Punkte raus bekomme?
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Stützvektoren übereinstimmen, würden kollineare Normalvektoren (Kreuzprodukt der Spannvektoren) identische Ebenen sichern.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von A_BOS12
Okay. Aber ich versteh nicht ganz warum sich genau das hier anbietet? Weil es am einfachsten zu rechnen ist?


Nein, das ist Dopaps Vorschlag nicht, es ist aber die Variante, die am einleuchtensten ist, wenn man wenig Kenntniss hat, man benötigt dafür nur die Information, dass drei Punkte, von denen zwei auf einer Gerade liegen und einer abseits der Gerade in einer Ebene liegen.

Was jedoch auch sogleich die Schwäche dieser Herangehensweise ist, man darf nicht drei beliebige Punkte in der Ebene betrachten, denn sie könnten auf einer Geraden liegen und diese Gerade könnte die Schnittgerade der beiden Ebenen sein, alle Punkte auf der Schnittgeraden liegen sicherlich in beiden Ebenen.

Die einfachste Lösung ist, ein LGS aufzustellen und zu schauen, welche Dimension der Lösungsraum hat, ist er selbst wieder eine Ebene, so sind die beiden Ebenen gleich und die Schnittebene ist die Ebene selbst, ist er eindimensional, so schneiden sie sich in einer Geraden.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

@abc

Also du meinst das Kreuzprodukt aus dem ersten Richtungsvektor der ersten Gleichung und dem ersten Richtungsvektor der zweiten Gleichung???

Und was muss beim Kreuzprodukt raus kommen?
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

@lgrizu

Also LGS ist eigenltich kein Problem nur müsste ich doch 2 LGS aufstellen oder?
für jede Ebenengleichung ein LGS???

Und wie entsteht beim LGS eine Ebene?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Setz die beiden Ebenen einfach mal gleich.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

ah! das wäre natürlich eine Gute Idee! :-)

Wir machen das dann immer mit dem Gauß!

Ich hoffe es ist nicht zuviel verlangt, aber könntest du mir noch verraten was ich dann aus dem Ergebnis vom Gauß rauslesen kann.

Wenn ich z.b. eine Nullzeile hab oder so?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Lös das enstehende LGS mit Gauss, poste die Zeilenstufenform der Matrix, um den Lösungsraum kümmern wir uns dann, einverstanden?
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für das Angebot. Ich muss nur leider jetzt noch weg ARbeiten.

Wenn es ok ist, würde ich die Lösung so bald als möglich posten. Wenn du dir das dann noch anschauen könntest wäre natürlich super. Vielleicht findest du ja morgen oder so noch die Zeit dazu.

Danke schon mal.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

zur entstandenen diskussion: ich wollte die aufgabe auf kleiner flamme kochen, da doch Unsicherheiten erkennbar sind, wie man sieht.
Ich mach trotzdem mal mit dem Thread weiter.


Die Prüfung der Punkte P und Q ergibt 2 mal ein ( überbestimmtes ) LGS, das aber lösbar sein
sollte (oder auch nicht)
Wenn 2 mal lösber dann ist E1=E2

beim LGS entsteht keine Ebene, sondern nur Werte für Lambda und Gamma, sofern es lösbar ist.
Jetzt fang doch mal mit Rechnen an!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay Dopap, ich bin dann wieder weg.
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von A_BOS12
@abc
Also du meinst das Kreuzprodukt aus dem ersten Richtungsvektor der ersten Gleichung und dem ersten Richtungsvektor der zweiten Gleichung?


Nein ich meine das Kreuzprodukt aus dem ersten und dem zweiten Richtungsvektor der ersten Gleichung ist der Normalvektor der ersten Ebene.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen!



zuerst hab ich beide Gleichung gleich gesetzt und erhalte dann folgendes:





Ich hab jetzt eine Matrix aufgestellt:




darauß erkenne ich ja schon das eigenltich für und nur 0 als Lösung in Frage kommt! Richtig?

Ich hab dann trotzdem noch weiter gemacht und die letzte Spalte mit der ersten getauscht und komm dann auf folgendes Endergebnis:

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie kommst du darauf?

Wenn du die Geraden gleich setzt solltest du ein LGS bekommen mit 4 unbekannten und nicht mit 2....
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

oh man, das ist echt unglaublich schlecht was da fabriziere!

Ich schreibs schnell nochmal!
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »



bevor ich jetzt weiter mach. Erstmal Kontrolle!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, das ist nun richtig, jetzt Matrix aufstellen und auf Zeilenstufenform bringen.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »



Aufgelöst:

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Der dritte Eintrag in der letzten Zeile stimmt nicht, der müsste -2 sein.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du die -5?

ich hab es so gemacht:
1. 2 Zeile + 2+ 1 Zeile

2. 3 Zeile - 3 * 1 Zeile

3. 3 Zeile + 1 * 2 Zeile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe mal auf, was du nach Addition des 2-fachen der ersten Zeile zur zweiten Zeile und des (-3)-fachen der ersten Zeile zur dritten Zeile erhälst.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

hab den Fehler gefunden:

das ist jetzt das richtige Ergebnis:

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, das ist richtig. Hast du eine Idee, wie es weiter geht?
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein bestimmtes Ergebnis für die Vorfaktoren Landa1 usw. kann ich ja hier aus noch nicht erkennen.
Es würde hier unendlich viele Ergebnisse geben!

Aber wirklich ne Idee hab ich nicht.

Was man meiner Meinung nach noch sagen könnte, (wenn es überhaupt interessant ist) alle 4 Richtungsvektoren sind Linear Unabhängig??)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das sind sie nicht, können sie auch nicht sein, denn vier Vektoren im dreidimensionalen sind immer linear abhängig.


Dass unendlich viele Lösungen herauskommen ist richtig, nun ist die Frage, ob die Lösungen alle auf einer Gerade liegen oder in einer Ebene.

Dazu schauen wir uns die Matrix noch einmal genauer an:




Nun parametrisieren wir eine Unbekannte, setzen also zum Beispiel , dann stellen wir alle anderen Unbekannten in Abhängigkeit von t dar.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

ja des mit der linearen Unabhängigkeit war wieder ein Käse. Ich hab das darauf bezogen das jeder Richtungsvektor zu einem anderen Linear unabhängig ist.

Was aber auch logisch ist, wenn nämlich ein Richtungsvektor aus der einen Gleichung Linear abhängig zu dem anderen Richtungsvektor aus der selben Gleichung wäre, würden sie keine Ebene aufspannen! Ist die Aussage den wenigstens Richtig?

x3 = -7t

x2 = -14t

x1 = -9t
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nun setzen wir unsere Lösungen in die Ausgangsgleichung ein:



mit

Wie schaut der Lösungsraum aus?

Die Aussage, zwei linear abhängige Vektoren spannen keine Ebene auf ist richtig.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

So als Ergebnis hier bekomme ich folgendes:



Mein Lösungsraum hat 3 Dimensionen!!

Heißt das jetzt alle Punkte liegen in einer Ebene?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ziehe deas Parameter t einmal vor den Vektor, die Parameterdarstellung von was erhälst du dann?
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erhalt ich:

t *

Also einen Richtungsvektor!
Kann ich das, als eine Gerade betrachten?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine Gerade durch den Ursprung, der Lösungsraum ist also eine Gerade und diese hat die Dimension 1.
Nun schneiden sich die beiden Ebenen in einer Geraden, sind sie also gleich?
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss sagen, das ich jetzt nur rate!

Aber ich würde sagen, das sie gleich sind! Wenn du mir noch anschaulich beschreiben könntest warum das so ist, wäre super!

Vielleicht weil sie sich ja in einer Gerade schneiden, soll heißen alle Punkte der Ebenen liegen auf dieser Geraden sprich, müssen sie gleich sein????
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, sie sind nicht gleich, wenn sie glweich wären, dann wäre ihre Schnittmenge eine Ebene, nämlich die Ebene selbst, diese beiden Ebenen schneiden sich in einer Geraden, sie haben also nur die Punkte gemeinsam, die auf der Geraden liegen.
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