Vollständige Induktion |
25.02.2011, 20:53 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vollständige Induktion Hallo, ich komme momentan bei einem Beweis, welchen man mit der vollständigen Induktion beweisen muss nicht weiter. Ich hänge genauer gesagt beim Induktionsschluss (Induktionsbeweis). Folgendes muss bewiesen werden: ist durch 6 teilbar wobei Meine Ideen: Mein bisherigen Ansätze sehen wie folgt aus: Induktionsannahme: n = 1 0 ist durch 6 teilbar Induktionsvoraussetzung: ist durch 6 teilbar Induktionsbehauptung: n = n + 1 ist durch 6 teilbar Induktionsbeweis: ... ? Wie kann ich das nun aufsplitten? |
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25.02.2011, 20:55 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hilft weiter. |
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25.02.2011, 20:56 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tipp: Ibn Batuta Edit: Zu spät |
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25.02.2011, 21:12 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für eure schnelle Antwort, aber ich verstehe nicht wie ich von diesem Schritt (die -3 mal ausgeschlossen) auf diesen Schritt komme edit: Ok, hab mich verguckt |
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25.02.2011, 21:18 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber der Beweis ist doch dann noch nicht abgeschlossen oder? Wie wird der nächste Schritt realisiert? |
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25.02.2011, 21:20 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich bist du noch nicht fertig, du musst noch die Teilbarkeit durch 6 zeigen. Klammer aus, dann bist du fast fertig. |
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25.02.2011, 21:38 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich die 3 ausklammer dann erhalte ich diesen Ausdruck Ich verstehe nicht wie ich die teilbarkeit durch 6 beweisen soll. |
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25.02.2011, 21:39 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das erhältst du bestimmt nicht, du hast falsch ausgeklammert. |
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25.02.2011, 21:44 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss leider zugeben, dass ich das Ausklammern insbesondere von diesem Term nicht so hinbekomme. Hatte leider seit 3 Jahren kein Mathe und bin daher bei solchen einfachen Sachen (Ausklammern) wohl nicht in Übung. Im Prinzip steht da ja folgendes: Ich würde jetzt die Basis 3 ausklammern, da die in jedem Term vorkommt oder? |
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25.02.2011, 21:46 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die 3 kannst (und solltest) du ausklammern: , was bleibt dann vom Minuend, was vom Subtrahenden übrig? Edit: die "Basis 3" wie du es ausdrückst und anscheinend durchgeführt hast, kannst du nicht ausklammern, du klammerst den Faktor 3 aus. |
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25.02.2011, 21:53 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde sagen oder? |
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25.02.2011, 21:55 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, du klammerst den Faktor 3 aus; so wie es jetzt da steht wäre der Ausdruck in der Klammer konstant 0. Distributivgesetz: |
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25.02.2011, 22:16 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tut mir leid aber wenn ich das Distributivgesetz anwende dann erhalte ich das hier Der Faktor 3 ist laut Distributivgesetz a. und ist b sprich Aber dann würde ja 0 rauskommen... Ich glaub ich bin zu blöd dafür... |
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25.02.2011, 22:28 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich auf einen Term kommen würde, der das vielfache von 6 ist, dann hätte ich ja bewiesen das der term durch 6 teilbar ist. Aber ich komme nicht drauf. Kann mir vielleicht jemand für diese letzten Schritte den Lösungsweg angeben? Wäre wirklich sehr dankbar dafür. |
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25.02.2011, 22:55 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was machst du denn mit den ? , damit wird die 3 ausgeklammert. |
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25.02.2011, 22:58 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja zu blöd ist vielleicht zu viel gesagt, aber du stellst dich etwas blöd an^^ das ist ja soweit richtig!! das hier eher nicht!! <- Das wäre das Distributivgesetz richtig angewendet. Nun musst du einen Ausdruck finden welcher im Induktionsanfang bereits bewiesen ist.... |
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25.02.2011, 23:17 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso ok, danke. wurde ja bereits bewiesen. Aber dieser Ausdruck steht doch jetzt nach dem Ausklammern nicht mehr explizit da. |
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25.02.2011, 23:21 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den Induktionsanfang brauchen wir nicht direkt wie es bei anderen Aufgaben der Fall sein kann. Wir haben zwei Faktoren, und . Jetzt solltest du dir die Frage stellen, wann eine Zahl durch 6 teilbar ist und was du daraus mit diesen Faktoren folgern kannst. |
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25.02.2011, 23:33 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erst einmal danke das ihr mir so schnell antwortet. hmm... Eine Zahl ist durch 6 ohne Rest teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine gerade Zahl und ihre Quersumme ohne Rest durch 3 teilbar ist. Bin grad am überlegen wie ich den Bezug zu diesen Faktoren auf die Teilbarkeit 6 zurückführen kann. |
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25.02.2011, 23:35 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist Was bedeutet das nun für deinen Ausdruck? |
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25.02.2011, 23:35 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast es quasi schon formuliert: sie ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Wie sieht es jetzt mit aus, ist diese durch 2 und durch 3 teilbar? Edit: Goofy2, ich bin mir sicher, diesen Thread zu Ende bringen zu können, im Sinne unseres Boardprinzips würde ich dich bitten, deinen (ähnlichen) Lösungsweg nicht dazwischen zu posten. |
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25.02.2011, 23:38 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK Aber ich hab doch vor dir gepostet? |
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25.02.2011, 23:44 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah ok. Ja der Ausdruck durch 2 und durch 3 teilbar, d.h. der Faktor 3 ist immer durch 3 teilbar und der Ausdruck ist immer durch 2 teilbar und manchmal sogar durch 3 teilbar und da dies die Voraussetzung für die Teilbarkeit durch 6 ist, ist der Ausdruck auch durch 6 teilbar. Ist diese Schlussfolgerung korrekt? |
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25.02.2011, 23:50 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die gesamte Schlußfolgerung ist korrekt, 3 ist trivialerweise durch 3 teilbar, ist durch 2 teilbar, auch wenn du dafür vllt. noch einen halben Satz Begründung zu schreiben solltest. Wann aber ist der durch 3 teilbar? Insgesamt ist durch 6 teilbar, damit gilt die Behauptung nach dem Induktionsprinzip. |
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25.02.2011, 23:56 | JeyB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok stimmt du hast recht. Der Ausdruck ist natürlich immer nur durch 2 teilbar. Vielen Dank euch beiden. Habt mir sehr geholfen. Hatte mit anderen Induktionsbeweise keine Probleme, weil ich es immer gewohnt war, das am Ende wieder das gleiche dastehen muss, wie in der Induktionsbehauptung. Dank euch kann ich nun auch Induktionsbeweise mit Teilbarkeit beweisen, danke. |
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26.02.2011, 12:25 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, da ich gefragt wurde, was ich mit meinem Schritt mir erhoffe, hier mein Vorschlag zur Lösung: Ind.Anfang.: , durch 6 teilbar wahre Aussage Ind.Vorauss.: Die Behauptung gelte für ein fixes Ind. Schritt: Das ist aber nun: Umformen ergibt: Damit ist es auch durch 6 teilbar. Ibn Batuta |
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