Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz

26.02.2011, 11:00

Corny

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Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz

Meine Frage:
hey.
wenn ich eine Funktionenfolge f_n habe, die punktweise gegen die Grenzfunktion f konvergiert und f ist stetig, heißt dass dann, dass f_n auch gleichmäßig konvergiert gegen f?

Meine Ideen:
Meine Ideen:
-Man weiß ja, dass wenn die Grenzfunktion der Funttionenfolge f_n nicht stetig ist, dass dann f_n nicht gleichmäßig konvergiert.
Denn konvergiert eine Funktionenfolge gleichmäßig gegen die Grenzfunktion f, dann ist diese stetig.

Was ist aber wenn die Grenzfunktion stetig ist, folgt dann automatisch, dass f_n gleichmäßig konvergiert?
Wenn nein, kann mir jemand ein Gegenbeispiel nennen.

Corny

26.02.2011, 12:45

Phone

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Hi

Was kennst du denn für Beispiele von stetige Funktionenfolgen, welche punktweise aber nicht gleichmässig konvergieren?

26.02.2011, 13:02

Corny

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z.B

-- [0,1] nach R :f_n(x)= x^n

-- R nach R : f_n(x)=arctan(n*x)

26.02.2011, 14:00

gonnabphd

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Ok, das sind schonmal gute Beispiele.

Vor allem aus dem ersten könnte man ein Gegenbeispiel zu

Zitat:

Was ist aber wenn die Grenzfunktion stetig ist, folgt dann automatisch, dass f_n gleichmäßig konvergiert?

konstruieren. Wo ist die Grenzfunktion denn stetig? Wie kann man das verwenden.

Wink

Wink

26.02.2011, 14:20

Corny

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steh gerade auf den Schlauch. Hab keine Ahnung wie ich daraus ein Gegenbeispiel machen kann.

- Wenn ich den Definitionsbereich auf [0,1) einschränke, bekomm ich als Grenzfunktion f(x) =0, diese ist stetig, aber auch gleichmäßig konvergent.

-Wenn ich auf [x,y] einschränke mit x>1 und y>x, dann konvergiert die Funktionenfolge uneigentlich gegen + unendlich oder? Weiß auch nicht wie ich bei dieser Einschränkung weiter vorgehen soll.

Kannst du mir einen Tipp geben wie ich zum Gegenbeispiel komm?

26.02.2011, 16:51

gonnabphd

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Zitat:

- Wenn ich den Definitionsbereich auf [0,1) einschränke, bekomm ich als Grenzfunktion f(x) =0, diese ist stetig, aber auch gleichmäßig konvergent.

Was ist auf [0,1) gleichmässig konvergent? Die Funktion? Das macht keinen Sinn. Folgen konvergieren, nicht einzelne Funktionen.

verwirrt

verwirrt

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26.02.2011, 18:01

Corny

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Wenn ich den Definitionsbereich auf [0,1) einschränke. Dann konvergiert die Funktionenfolge f_n(x) punktweise gegen die Grenzfunktion f(x)=0.
Die Grenzfunktion f(x)=0 ist stetig.
Die Funktionenfolge f_n(x) konvergiert sogar gleichmäßig (nicht nur punktweiße) gegen die Grenzfunktion f(x).

So hab ichs gemeint. Des andere war undeutlich ausgedrückt

26.02.2011, 18:12

ChristianII

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Hallo,

da ist ein Fehler drin. Die Folge fn(x) konvergiert nicht gleichmäßig gegen f(x) = 0 auf dem definierten Intervall.
Beachte, wie gleichmäßige Konvergenz definiert ist.

Gruß
Christian

26.02.2011, 18:32

Corny

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Wieso nicht?

Es gilt doch:

Dein f_n(x)=x^n und sie geht von [0,1) nach R

f(x) =0 ist der punktweise Grenzwert.

sup|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)|

Für ein beliebige fest gewähltes n gilt dann.

f_n(x) ist monoton steigend steigend also für sup|x^n| maximal für x=|sup[0,1)|.

lim n gegen unendlich von x^n ist 0, da x<1 ist und somit eine Nullfolge ist.

Gerade ist mir ein bisschen ein Problem mit dem Intervall [0,1) aufgefallen. Meinst du es konvergiert nicht gleichmäßig, weil es nicht abgeschlossen ist. Dass heißt x beliebig nahe an die 1 kommen kann. D.h bei der Wahl von x=|sup[0,1)| liegt das Problem, weil es kein explizierter Wert ist oder?

Müsste ich das dann so umschreiben.
b ist element von (0,1). Meine Funktion ist dann auf [0,b] nach R definiert. Weil hiervon weiß ich ganz sicher das es gleichmäßig konvergiert.

@edit. Man bin ich dämmlich. Das Supremum von [0,1) ist ja 1 und somit fällt mein Beweis in den Bach auser ich mach ihn über die Einführung von b.

Was sind eure Meinungen?

26.02.2011, 19:07

gonnabphd

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Die Funktionenfolge konvergiert nicht gleichmässig auf [0,1).

Zeige z.B. dass es für jedes n ein x in [0,1) gibt, mit $\begin{eqnarray*} x^n \ge \frac 12 \end{eqnarray*}$ . Somit gilt auch

$\begin{eqnarray*} \Vert x^n - 0 \Vert_\infty \ge \frac 12 \qquad \forall n \end{eqnarray*}$

26.02.2011, 19:09

ChristianII

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Hallo,

bin mir nicht sicher, wie Du argumentierst. Ich beziehe mich mal penibel auf die Definition der gleichmäßigen Konvergenz.
Die Funktionsfolge f(n) konvergiert genau dann gleichmäßig gegen f auf I, wenn es zu jedem e > 0 ein m e N gibt, so dass für alle k >= m und jedes x e I gilt:
| fk(x) - f(x) | < e.

Nehme nun mal z.B. e = 0,5.
Wenn nun die Folge fn gleichmäßig gegen f auf I konvergieren würde, gäbe es zu diesem e (denn es gilt ja oben beschriebene Eigenschaft für jedes beliebige e) ein m e N, so dass für alle k >= m und jedes x e I gälte:
| f(k)(x) - f(x) | < 0,5

Es ist aber sogar so, dass es zu jedem a e N ein y e I gibt mit:
fa(y) - f(y) > 0,5
Somit kann erst recht nicht obige Eingenschaft gelten.

Beachte in diesem Zusammenhang aber auch die korrekte Vereinung obiger Definition:
Ein Funktionsfolge f(n) konvergiert genau dann nicht gleichmäßig gegen eine Funktion f auf I, wenn es ein beliebiges e(0) > 0 gibt, so dass es zu jedem m e N irgendein beliebiges k > m (es muss nicht für alle k > m gelten!) und ein beliebiges y e I gibt mit:
|f(k)(y) - f(y) | > e(o).

Gruß
Christian

26.02.2011, 19:50

Corny

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Also nochmal die Aufgabe über die wir reden.

Ich seh ein, dass f_n(x) nicht gleichmäßig gegen f(x) auf dem Intervall [0,1) konvergiert. Habs auch editiert, da ja das supremum von [0,1) 1 ist, da scheitert mein Beweis. Er funktioniert aber wenn ich das Intervall wie folgt verändere.

Ich definiere mir:
b ist element von (0,1) und f_n : [0,b] nach R mit f_n(x) =x^n
Diese konvergiert aber ganz sicher gleichmäßig,
Weil ich mir hier beim schreiben mit den Formeln so schwer tu hab ich meine Lösung mal getecht und so ausführlich wie möglich gemacht und als Bild angehängt

[attach]18315[/attach]

@Christian
Kann deiner Ausführung bis

Zitat:

Es ist aber sogar so, dass es zu jedem a e N ein y e I gibt mit: fa(y) - f(y) > 0,5 Somit kann erst recht nicht obige Eingenschaft gelten.

folgen.

Sind wir uns einig, dass f(y)=0 für alle y aus[0,b]?

Die Def für gleichmäßige Konvergenz sagt ja, dass man zu jedem y aus I ein a aus N finden kann, so dass |fa(y)|< Epsilon ( du hast 0,5 gewählt) ist. Und dieses a existiert, da wenn man eine Zahl <1 hoch a nimmt wird diese immer kleiner. Also kann man fa(y) beliebig klein werden lassen, insbesonders kleiner als 0,5

Oder was meinst du? Wie würdes du dein fa(y) konstruieren, dass es größer als 0.5 ist?

Oder was meinst du?

Corny

26.02.2011, 20:06

ChristianII

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Hallo,

nein, das Kriterium der gleichmäßigen Konvergen fixiert nicht ein bestimmtes y e I, sondern das Kriterium bezieht sich auf ausnahmslos alle x e I.
Für alle k >= m und alle x e I:|
|fk(x) - f(x)| < e

Übertragen auf diesen Fall:
Mit f ist f = 0 auf I gemeint.
Also:

|fk(x) - 0| = fk(x) < e
für ausnahmslos alle x e I.

Gruß
Christian

26.02.2011, 20:12

Corny

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ist schon klar, dass es für alle x aus I gelten muss.
Aber zu jedem beliebigen x, dass du wählst findest du ein k aus den natürlichen Zahlen, dass für n>=k
fk(x)< Epsilon und damit hab ich dann gleichmäßige Konvergenz gezeigt.

26.02.2011, 21:20

Corny

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Sorry. Falscher thread

26.02.2011, 21:27

Corny

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@gonnabphd
Hättest du noch ein anderes Gegenbeispiel für meine Frage?

Zitat:

wenn ich eine Funktionenfolge f_n habe, die punktweise gegen die Grenzfunktion f konvergiert und f ist stetig, heißt dass dann, dass f_n auch gleichmäßig konvergiert gegen f?

Auf jeden Fall habe ich eingesehen, dass f auf [0,1) nicht gleichmäßig stetig. Dafür auf jeden Fall mal Danke an euch zwei.

Aber bei b aus (0,1) f_n: [0,b] nach R bin ich immer noch der Meinung, dass f_n gleichmäßig gegen f(x)=0 konvergiert.

Corny

26.02.2011, 23:12

gonnabphd

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Ein anderes Gegenbeispiel wäre

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \begin{cases} nx & x \in [0,1/n] \\ 1-nx & x\in [1/n,2/n] \\ 0 & \text{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aber bei b aus (0,1) f_n: [0,b] nach R bin ich immer noch der Meinung, dass f_n gleichmäßig gegen f(x)=0 konvergiert.

Auf jedem kompakten Intervall konvergiert die Folge gleichmässig, ja. Aber eben halt nicht auf ganz [0,1). Beachte, dass gleichmässige Konvergenz eine globale (nicht lokale) Eigenschaft ist. Das heisst, man darf nicht einfach zeigen, dass die Konvergenz auf jedem Teilintervall gleichmässig ist, um daraus zu schliessen, dass sie auch global gleichmässig ist. Dazu ein weiteres Gegenbeispiel

$\begin{eqnarray*} f_n: \mathbb R \to \mathbb R, \; f_n(x) = \frac 1n x^2 \end{eqnarray*}$

Man sieht auch, dass es wichtig ist, WO die Funktion definiert ist. Auf allen beschränkten Teilmengen von IR wäre die obige Folge nämlich gleichmässig konvergent...

27.02.2011, 11:13

Corny

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Ok. Danke.
Bin mir im zeigen von gleichmäßiger Stetigkeit immer noch nicht so ganz sicher. Könntest du mal drüber schauen ob der Beweis so passt.

Für die Funktionenfolge

$\begin{eqnarray*} f_n: \mathbb R \to \mathbb R, \; f_n(x) = \frac 1n x^2 \end{eqnarray*}$

ist der Punktweise Grenzwert

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R, \; f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Beh. Die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$

Beweis:

Es sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ . Es $\begin{eqnarray*} \exists \lambda \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|>\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |f_n(x)|= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n} *x^{2} | \end{eqnarray*}$

Langt es jetzt zu folgern, dass ich zu jedem beliebigen n ein x finde, so dass $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n} *x^{2} |>\lambda \end{eqnarray*}$ ist oder noch weiter rechnen.

Weil ich hab mit dem Cauchy-Kriterium weitergemacht, aber komm dann am Ende

auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \lim_{n \to \infty } \left(\frac{x^{2} }{n^{2}+ n } \right) =1 \end{eqnarray*}$
Kann man das so machen? Also beim Grenzwert beide lim gleichzeitig anwenden und sagen weil die Potenz von x gleich der von n ist ist der Grenzwert 1.
Hab dabei nämlich ein schlechtes Gefühl.

Wie wäre die Alternative weiterzumachen?

Corny

27.02.2011, 11:46

Corny

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So kommen wir zur anderen Funktion:

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \begin{cases} nx & x \in [0,1/n] \\ 1-nx & x\in [1/n,2/n] \\ 0 & \text{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Bei der weiß ich überhaupt nicht wie ich die Grenzfunktion finde bzw. gleichmäßige Stetigkeit wiederlege.

Wir hatten bisher keine Funktionenfolgen, wo das x auf Intervallen definiert ist, die von n abhängen.

Könntest du mir hier einen Tipp geben, wie man da vorgeht?

Corny

27.02.2011, 11:58

ChristianII

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Hallo,

Wenn eine Funktionsfolge gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert, muss sie auf jeden Fall auch punktweise gegen f konvergieren.

Versuche erst mal rauszukriegen, ob die Funktionsfolge punktweise gegen eine Funktion f konvergiert.
Wenn nein, bist du schon fertig, denn dann kann sie auch nicht gleichmäßig konvergieren.

Wenn ja, nimm diese Funktion und untersuche, ob die Funktionsfolge auch gleichmäßig gegen sie konvergiert.

Natürlich dabei immer das defenierte Intervall berücksichtigen.

Gruß
Christian

27.02.2011, 11:59

gonnabphd

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Hi,

ich weiss nicht genau was für limites du oben nimmst, aber stimmen tut das ganze so nicht.

Schreib mal die Definition von gleichmässiger Konvergenz hin und dann das logische Gegenteil davon.

Noch eine Korrektur:

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \begin{cases} nx & x \in [0,1/n] \\ 2-nx & x\in [1/n,2/n] \\ 0 & \text{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Am besten malt man sich solche abschnittsweise definierten Funktionen mal auf. Dann wir klarer, was da überhaupt passiert.

27.02.2011, 12:16

Corny

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Ok.
Die Definition von gleichmäßiger Konvergenz ist:

$\begin{eqnarray*} \forall \lambda >0 \exists N\in \mathbb N \forall n>=N \forall x\in \mathbb R | f_n(x)-f(x) | <\lambda \end{eqnarray*}$

Die Verneinung ist also:

$\begin{eqnarray*} \exists \lambda >0 \forall N\in \mathbb N \exists n>=N \exists x\in \mathbb R | f_n(x)-f(x) | >\lambda \end{eqnarray*}$

Wie mach ich jetzt dann weiter?

27.02.2011, 12:22

ChristianII

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Hallo,

konvergiert die Funktionsfolge denn punktweise gegen eine Funktion f? Wenn ja, gegen welche?

Siehe meinen vorherigen Beitrag.

Gruß
Christian

27.02.2011, 12:26

Corny

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Sie konvergiert punktweise gegen f(x)=0

Aber wie der Ansatz für den Nachweiß der gleichmäßigen Konvergenz lautet weiß ich überhaupt nicht

27.02.2011, 12:33

ChristianII

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Ja, genau

Nun untersuche einige "geschickte Stellen" der Funktionsfolgen bzw., wie gonnabphd meint, zeichne sie Dir auf.
Womit hast Du genau Probleme? Geht es um das allgemeine Verständis der gleichmäßigen Konvergenz oder liegt es an diesem Einzelfall?

Gruß
Christian

27.02.2011, 12:48

Corny

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@ gonnabphd

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ . Es $\begin{eqnarray*} \exists \lambda \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|>\lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |f_n(x)|= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n} *x^{2} | \end{eqnarray*}$ Langt es jetzt zu folgern, dass ich zu jedem beliebigen n ein x finde, so dass $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n} *x^{2} |>\lambda \end{eqnarray*}$ ist oder noch weiter rechnen.

Hab gerade eine andere Idee:

Also wenn ich hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)|= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n} *x^{2} | \end{eqnarray*}$

angekommen bin und mein x beliebig wählen kann. Da x in R liegt kann ich auch sagen

$\begin{eqnarray*} x_n\in \left(-\sqrt{n*\lambda },\sqrt{n*\lambda } \right) \end{eqnarray*}$ .

Dann kann ich sagen

$\begin{eqnarray*} |f_n(x_n)-f(x_n)|=|f_n(x_n)|=f_n(x_n)=(1/n)*(x_n)^2>(1/n)*(-\sqrt{n*\lambda})^2=\lambda \end{eqnarray*}$

So hab ich ja dann die gleichmäßige Konvergenz wiederlegt.

@Christian||

Die Probleme sind ehr allgemeiner. Kann mir unter gleichmäßiger Konvergenz nicht viel vorstellen. Bis jetzt hab ich mir immer vorgestellt, dass alle Punkte gleich schnell auf den Grenzwert konvergieren und nicht ein Punkt seinen Grenzwert schon erreicht hat, während die anderen Punkte noch weit entfernt sind. Aber irgendwie ist diese Vorsellung auch komisch finde ich. Wie siehst du die glm. Konvergenz?

Sonst geht es eigentlich bei glm. konvergenz. Auser bei Abschnittsweisen Funktionenfolgen. Die habe ich bisher noch nicht behandelt und weiß auch nicht wie ich da ran gehen solll, denn normal lautet ja der Ansatz

$\begin{eqnarray*} |f_n(x_n)-f(x_n)| \end{eqnarray*}$ aber was setz ich für $\begin{eqnarray*} |f_n(x_n)| \end{eqnarray*}$ ein?

Meinst du mit geschickten Stellen, dass ich mir beliebige Intervalle heraussuchen soll oder spezielle Punkte?

Corny

27.02.2011, 13:29

ChristianII

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Hallo,

O.K, um nochmals von unserer Definition auszugehen:

Die Funktionsfolge f(n) konvergiert genau dann gleichmäßig gegen f auf I, wenn es zu jedem e > 0 ein m e N gibt, so dass für alle k >= m und jedes x e I gilt:
| fk(x) - f(x) | < e.

D.h, man kann ein beliebies e vorgeben: Dazu finde ich dann immer ein m e N, so dass für alle k >= m obige Eingenschaft gilt.

Ein Versuch, dies bildlich zu veranschaulichen:
Zu einem beliebigen e kannst du Dir einen entsprechenden Streifen vorstellen (entsprechend der Definition des Betrages hat dieser die "Dicke" 2*e, und f(x) verläuft in der "Mitte"), der f(x) umhüllt. Nun findest Du ein m e N, so dass für alle k >= m die Funktion fk(x) vollkommen innerhalb dieses Steifens verläuft ohne einen "Ausreißer".

Für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz müsst Du also begründen, dass Du zu jedem e > 0 auch wirklich ein solches m e N findest, so dass fk(x) in I innerhalb dieses Steifens verläuft.

Wenn wir nun die Verneinung der gleichmäßigen Konvergenz betrachten:
Ein Funktionsfolge f(n) konvergiert genau dann nicht gleichmäßig gegen eine Funktion f auf I, wenn es ein beliebiges e(0) > 0 gibt, so dass es zu jedem m e N irgendein beliebiges k >= m (es muss nicht für alle k > m gelten!) und ein beliebiges y e I gibt mit:
|f(k)(y) - f(y) | > e(o).

Um zu zeigen, dass die Folge nicht gleichmäßig gegen f auf I konvergiert, genügt es also so ein "Ausnahme" e(o) zu finden (Man könnte es direkt benennen wie in unserem Ausgangsbeispiel e(0) = 0,5.) Man begründe nun, dass man zu jedem m e N irgendein (es genügt eines!) k >= m und irgendein beliebiges y e I findet mit:
|f(k)(y) - f(y) | > e(o

D.h, man findet mindest einen speziellen Punkt y e I mit vorheriger Eigenschaft (dieser muss aber nicht immer gleich sein, sondern er kann entsprechend "k" bzw. "m" variieren; wichtig ist nur, dass er existiert. Es wäre natülich gut, ihn direkt, eventuell in Abhängigkeit von "k" bzw. "m", anzugeben.)

Gruß
Christian

27.02.2011, 14:22

Corny

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hey

Zitat:

Ein Versuch, dies bildlich zu veranschaulichen: Zu einem beliebigen e kannst du Dir einen entsprechenden Streifen vorstellen (entsprechend der Definition des Betrages hat dieser die "Dicke" 2*e, und f(x) verläuft in der "Mitte"), der f(x) umhüllt. Nun findest Du ein m e N, so dass für alle k >= m die Funktion fk(x) vollkommen innerhalb dieses Steifens verläuft ohne einen "Ausreißer".

Freude

Freude

Die Anschauung ist super, jetzt kann ich mir endlich konkret was darunter vorstellen. Die Theorie hab ich jetzt soweit verstanden.
Bei der Anwendung habert es noch ein bisschen denk ich.

Meine Idee wäre jetzt:

ich kann mein e ja aus(0,1) beliebig wählen, weil für diese die glm. stetigkeit ja nicht erfüllt wird. Stimmt das soweit?
Dann wähle ich mir einfach e=0.5, könnte es aber auch allgemein e wählen oder?
Das möchte ich jetzt mal versuchen.

Dann zum Ansatz: Ich versuche nun ein y aus I zu finden, dass nachfolgende Bedinugn erfüllt.

Sei e>0.

$\begin{eqnarray*} |f_n(y)-f(y)|>e \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} f(y)=0 \end{eqnarray*}$ ist folgt:

$\begin{eqnarray*} |f_n(y)|>e \end{eqnarray*}$

Konstruktion von meinen y:

$\begin{eqnarray*} |f_n(y)|=|2-n*y| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\in \left(\frac{1}{n},\frac{2}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Für e=1 gilt $\begin{eqnarray*} y\in \left(\frac{e}{n},\frac{2e}{n} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |2-n*y|>|n*y|=n*y>n*\frac{e}{n} =e \end{eqnarray*}$

Damit habe ich ja dann allgemein bewiesen, dass es zu jedem bel. m aus N immer ein y gibt, so dass diese Funktion (aus der Funktionenfolge) von der Grenzfunktion um mehr als e abweicht.

Stimmt das so?

Corny

27.02.2011, 15:03

ChristianII

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Hallo,

der Nachweis, dass die Funktionsfolge nicht gleichmäßig konvergiert, fordert den Nachweis eines "Ausnahmeepsilons" e(0), das die Eigenschaft in der Definition der gleichmäßigen Konvergenz nicht erfüllt. Wie groß bzw. klein dieses "e(0)" ist, hängt von der Funktion bzw. der Funktionsfolge ab (es könnte z.B. "e(o) = 1/100000000" bzw. noch viel, viel, ... kleiner sein, es ist also nicht zwingend, dass bereits "e(0) = 0,5" ein Ausnahmeepsilon ist.)

Natürlich folgt, wenn ein solches "e(0)" gefunden bzw. dessen Existenz begründet ist, dass alle "e(i)", die kleiner als "e(o)" sind, auch "Ausnahmeepsilons" sind. Diese Eigenschaft ist aber sozusagen eine Schlussfolgerung aus der Definition, denn:
Die Verneinung von "Für jedes e gilt die Eigenschaft A ..." ist in diesem Fall " Es gibt ein e, für das die Eigenschaft A nicht gilt ..." (Für die Verneinung der Aussage "Alle Menschen in meinem Freundeskreis sind nett." genügt die Feststellung "Es gibt eine Person in meinem Freundeskreis, die nicht nett ist." Ob es nun mehrere oder nur eine solche Person gibt, ist für die Verneinung ohne Belang, es genügt, wenn es bereits eine gibt.)

Du kannst also das "e(0)" nicht beliebig wählen. Bei Deinem ersten Beispiel wäre z.B. e(0) = 2 kein Ausnahmeepsilon.
Zurück zu diesem Fall: Wenn Du Dir hier die Eigenschaften dieser Funktionsfolge betrachtest, kannst Du "vermuten", wie groß dieses e(0) (mindestens) sein muss, und dann formal korrekt beweisen, dass dieses e(0) wirklich ein Ausnahmeepsilon ist - hier würde sich empfehlen, dieses Ausnahmeepsion wirklich konkret zu nennen.

Bei Deiner Argementation verstehe ich nicht, warum das Intervall, in dem Du nun Dein y suchst, von "e" abhängig machst? Suche Dir doch einfach ein y aus.

Gruß
Christian

27.02.2011, 15:41

Corny

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Ja des stimmt, die Einführung von e ist unnötig, aber ich finde

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |2-n*y|>|n*y|=n*y>n*\frac{e}{n} =e \end{eqnarray*}$

schaut schöner aus wie

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |2-n*y|>|n*y|=n*y>n*\frac{1}{n} =1 \end{eqnarray*}$ .

Hab immer gerne bei den e-Beweisen am Ende ein e stehen.

Dabei fällt mir auf, dass die Zeilen totaler Pfusch sind, weil die größer Zeichen genau falsch herum sind.

$\begin{eqnarray*} |2-n*y|<|n*y|=n*y>n*\frac{1}{n} =1 \end{eqnarray*}$ uns somit das hier alles Pfusch.

Ich nehme mir mal deinen Tipp zu Herzen und wähle mir ein konkrete e.
Dieses kann beliebig zwischen (0,1) liegen. Ich wähle mir mal 0.5 aus.

$\begin{eqnarray*} |2-n*y|>0.5 \end{eqnarray*}$ dies ist erfüllt wenn ich y =1/n wähle, denn

$\begin{eqnarray*} |2-n*1/n|>0.5 \end{eqnarray*}$ , denn 1>0.5.

Jezt ist es aber richtig? Weil langsam bin ich echt am verzweifeln.

Corny

27.02.2011, 15:58

ChristianII

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Hallo,

ja, genau, so ist es richtig.

Nur das ganze noch formal besser ausführen, d.h. , es sei e(0) = 0,5 und ein beliebiges m e N gegeben. Dann wähle man ein k >= m (es würde genügen, wenn man nur ein k >= m angeben könnte, aber hier kann man sogar stets beliebig k >= m wählen).
Für dieses k >= m wähle nun y = 1/k und dann weiter mit Deiner Begründung.

Da nun dieses Ausnahmeepsion gefunden ist, kann die Funktionsfolge nicht gleichmäßig gegen f = 0 konvergieren.

Zudem möchte ich noch eine Schlamperei bei meiner Verneinung bezüglich gleichmäßiger Konvergenz korrigieren; zudem bemühe ich mich nochmals um klarere Formulierung
Es müsste lauten:
Ein Funktionsfolge f(n) konvergiert genau dann nicht gleichmäßig gegen eine Funktion f auf I, wenn es irgendein e(0) > 0 gibt, so dass es zu jedem m e N mindestens ein k >= m gibt (es muss nicht für alle k >= m gelten!) und irgendein y e I (diese y können je nach "k" bzw. "m" varieren) gibt mit:
|f(k)(y) - f(y) | >= e(o).
(Und nicht wie vorher: |f(k)(y) - f(y) | > e(o)).

Im Prinzip kommen beide Formulierungen in diesem Fall aufs Gleiche raus, aber meine vorherige Verneinung ist "formal" in dieser Kleinigkeit nicht richtig.

Gruß
Christian

27.02.2011, 16:36

Corny

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Cool. Danke. Habs jetzt endlich verstanden. Werde dazu jetzt noch einige Beispiele machen.

Danke nochmal für deine Hilfe und Geduld. smile

smile

Corny

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