Pyramidenstumpf teils füllen

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Pyramidenstumpf teils füllen
Meine Frage:
Hallo!

Ich habe einen Pyramidenstumpf mit den bekannten Flächen A1 (Boden) und A2 (Decke = kleiner als Boden falls das wichtig sein sollte). Außerdem habe ich die Höhe h. Diesen Pyramidenstump bezeichne ich als {A1, A2, h} mit dem Volumen V.

Aus diesen Informationen kann ich nun das Volumen berechnen, und zwar mit der Formel: V = h/3 * (A1 + sqrt(A1 * A2) + A2). Das ist ja auch einfach. Aber nun kommt DIE AUFGABE:

Gegeben ist das Volumen Vx (man kann annehmen, dass es kleiner als V ist, also es passt in den Pyramidenstumpf). Ich brauche nun hx, also die Höhe von der Grundfläche A1 bis zu einer Fiktiven Fläche Ax innerhalb des Pyramidenstumpfs, so dass der neue Pyramidenstumpf {A1, Ax, hx} das Volumen Vx hat. Wie mache ich das?

Meine Ideen:
Ich habe zuerst die Formel einfach nach h umgestellt. Damit bekomme ich zwar eine Höhe zu einem bestimmten Volumen, aber das Problem ist, dass damit automatisch sich der ursprüngliche Pyramidenstumpf verformt (ist ja auch logisch). Das darf aber nicht passieren. Im Prinzip will ich eine Grube mit einer größeren Grundfläche als die Öffnungsfläche mit einer bestimmten Menge an Wasser füllen und will wissen, wie hoch dann der Wasserstand ist.

Hat wer vielleicht schon eine Lösung parat? (Ich habe gegoogled, aber bisher nur ähnliche Schulaufgaben gefunden, doch keine Lösungswege...) Ich muss dazu sagen, dass ich nicht mehr zur Schule gehe und auch schon etwas älter bin, dennoch könnt ihr Lösungen ohne Rücksicht auf Verluste posten. Ich bin für jede Hilfe dankbar. Noch besser wäre auch, wenn die Lösung nummerisch bestimmbar bliebe (also z.B. eine einfache Formel).
Strategik Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe da mal nen Ansatz gefunden, aber ob der richtig ist, weiß ich leider nicht. Hier mein Ansatz:

(1) Der Pyramidenstumpf ist ein Teil einer Pyramide. Deren Höhe kann ich errechnen durch A1 / A2 * h = H, da der Querschnitt sich mit steigender Höhe linear verhält.

(2) Ax verhält sich ebenfalls linear, d.h mit steigener Höhe interpoliert man zwischen Fläche A1 und A2. Die Formel dadurch müsste sein: Ax = A2 * x/h + A1 * (1 - x/h) (Ax ist die interpolierte Fläche der gesuchten Höhe x)

(3) Nun konstruiere ich eine Pyramide mit A1 als Grundfläche und höhe H. Dazu benutze ich die Formel für ne Pyramide (V = h/3 * A). Das sieht dann so aus: V = A1/3 * H.

(4) Von der A1-Pyramide berechnet in (3) ziehe ich das gesuchte Volumen Vx ab und erhalte: V = A1/3 * H - Vx.

(5) Nun konstruiere ich eine weitere Pyramide, diesmal mit Ax als Grundfläche, Höhe ist (h - x) und das Volumen ist das eben errechnete V in (4). Die Formel stelle ich gleichzeitig nach (h - x) um. Das ergibt dann: (h - x) = (A1² * h - A2 * Vx) / (A2² * x/h + A1*A2*(1 - x/h))

So.. nach zig Umformungen bekomme ich 2 Lösungen mit:

x1,2 = (A1*h - A2*h) / (2*A1 - 2*A2) {+/-} sqrt[ (A2*h - A1*h)² / (2*A1 - 2*A2)² + (A1² * h² - A2*Vx*h) / (A1*A2 - A2²) ]

Ich hab noch nicht geschaut, ob sich das noch weiter vereinfachen lässt. Ich weiß auch nicht, ob ich alles richtig gerechnet habe. Würde mich freuen, wenn sich das ein echter Mathematiker smal anschauen könnte.

Danke im Voraus!
Strategik Auf diesen Beitrag antworten »

Mist, ich habe einen Fehler in (5) entdeckt ^^:

Die Höhe darf nicht (h - x) sein, sondern muss (H - x) sein, d.h. also, die Formel sieht dann so aus:

(A1/A2 * h - x) = (A1² * h - A2 * Vx) / (A2² * x/h + A1*A2*(1 - x/h))


Nach zig umformungen komme ich zum folgenden Ergebnis:

x1,2 = (A1² * h) / (2*A1*A2 - 2*A2²) {+/-} sqrt[ (A1² * h)² / (2*A1*A2 - 2*A2²)² - (A2 * h * Vx) / (A1*A2 - A2²) ]



Sieht gar nicht sooooooo kompliziert aus, aber ich habe gehofft, dass die Formel noch einfacher ist. Vielleicht habe ich irgendwo nen Denkfehler oder wieder falsch gerechnet... Auch die Tatsache, dass es 2 Ergebnisse gibt ist mir nicht ganz geheuer. Ich berechne x, da gibts doch keine 2 Lösungen eigentlich.

Ihr seht: ich komme so nicht weiter smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

strahlensatz Augenzwinkern
Strategik Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich weiß leider nicht, wie mir da der Strahlensatz weiterhelfen soll. Könntest Du das etwas näher erläutern? Lehrer

Es geht hier ja auch um Volumina und scheinbar auch um Polynome 2ten Gerades, und keine einfachen Linearitäten... verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »



wobei die "charakteristische" längen sind mit a , z.b. bei quadratischer grundfläche die seitenlänge des quadrates.

dann gilt mit dem strahlensatz

und H kannst du durch h und die flächen der angabe bestimmen.

das ergibt ohne gewähr

 
 
Strategik Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo riwe,

danke für die Hilfe smile Ich bin gerade dabei die Lösung zu nachvollzuziehen.

Für H nehme ich also: , Das habe hier hier gefunden: mathematische-basteleien.de

Eingesetzt in Deine Formel, kommt sowas bei raus:


Sieht erstmal nicht sooo schlecht aus smile Jetzt muss es nur noch gehen. Auch habe ich da noch paar Dinge zu beachten: , , , aber das ist nicht das Problem.

Ich melde mich wieder, wenn ich das ausprobiert habe (die Formel wird in einer Software verwendet... da kann ich dann sehen, ob das hinhaut.)

Ich bedanke mich erstmal sehr für die Hilfe @riwe.
Strategik Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

so, ich habe es getestet und es funktioniert tatsächlich smile Nochmals, vielen Danke für Deine Hilfe!

Ich habe übrigens Deine Formel direkt genommen und vorher H ausgerechnet. Ist für den PC einfacher als die Einsetzung, die ich gepostet habe.

Ich musste auch den Fall für A2 > A1 (Volumina und Höhe jeweils umgedreht) und A2 = A1 (V = h * A) ausrechnen, das war aber dann ganz einfach.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

gerne geschehen,
bleibt nur anzumerken: da hättest du nicht suchen müssen, das steht eh oben (strahlensatz!):

woruas die formel folgt.

diese seite gefällt mir auch sehr gut, da konnte ich mir schon manche anregung holen Augenzwinkern
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