Nullstellen berechnen einer Parabel 4. Grades

27.02.2011, 09:47

sabse-1502

Nullstellen berechnen einer Parabel 4. Grades

Hallo,

Ich muss von einer Parabel 4 . Grades die Nullstellen berechnen die 4 hat .
Nun mit 3. gRad mach ich des mit der Substitution erstes x ausklammer ist 0 dann substituieren.
Bloss wie mach ich des 4. grades ?

Die gleichung lautet
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} ( x^{4} \end{eqnarray*}$ +6x+5 )

27.02.2011, 10:05

abc2011

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RE: Nullstellen berechnen einer Parabel 4. Grades
Eine Nullstelle ist ganzzahlig und kann erraten werden. Die anderen sind irrational bzw. sogar nichtreell und können nur mit schwerfälligen Formeln gefunden werden (oder müssen angenähert werden).

27.02.2011, 10:06

MathPhil

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$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} ( x^{4} +6x+5 ) = y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{4} + 6x + 5= 0 \end{eqnarray*}$
Bei solchen Fällen musst du erst durch Hinsehen probieren auf eine Lösung zu kommen, danach machst du Polynomdivision:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{ x^{4} + 6x + 5}{x+1} = x^{3} - x^{2} + x +5 \end{eqnarray*}$

So mithilfe der Polynomdivision kannst das vorhandene Polynom um einen Grad kleiner machen. x=-1 ist die einzige Nullstelle. Da für $\begin{eqnarray*} x^{3} - x^{2} + x +5 \end{eqnarray*}$ nicht 0 rauskommt.
Wenn du noch Fragen hast, schreib sie einfach hin, ich kanns nochmal erklären.

27.02.2011, 10:09

abc2011

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Zitat:

Original von MathPhil
x=-1 ist die einzige Nullstelle.

Nein, aber es ist die einzige Nullstelle, die «erraten» werden kann.
(Ein Polynom 3. Grades hat immer eine reelle Nullstelle.)

27.02.2011, 10:10

sulo

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Zitat:

Original von MathPhil
x=-1 ist die einzige Nullstelle.

Hmm....

27.02.2011, 10:19

MathPhil

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Nullstellen
Ok, ja, du hast recht, sry xD
Hier sind die Nullstellen, mich wundert es aber nur, weil die Aufgabe ziemlich schwer ist xP
[attach]18324[/attach]

27.02.2011, 10:22

sabse-1502

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Hey danke also klappt das nur mit polynomdiv.? Kann ich Substitution eig immer anwenden?

27.02.2011, 10:23

MathPhil

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RE: Nullstellen
Hmm....Die Zeichnung sieht bei mir anders aus, ich kann zur Zeit nicht wirklich weiterhelfen, tut mir leid ;P

27.02.2011, 10:25

sabse-1502

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Die sieht auch änderst aus

27.02.2011, 10:26

Hubert1965

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RE: Nullstellen berechnen einer Parabel 4. Grades
Hallo!

Erstens:
Eine Parabel ist ein Polynom 2. Grades.
Ein Polynom 4. Grades ist keine Parabel. Eine "Parabel 4. Grades" gibt es nicht.

Zweitens:
Du meinst vermutlich nicht

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}(x^{4~+6x+5}) \end{eqnarray*}$
Das ist nämlich weder eine Parabel, noch ein Polynom, noch ein Ding 4. Grades.

sondern ich glaube, du meinst das:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}(x^{4}+6x+5) \end{eqnarray*}$

Für die Nullstellensuche kannst du den konstanten Faktor weglassen, der hat auf die Nullstellen keinen Einfluss:

$\begin{eqnarray*} x^{4}+6x+5 \end{eqnarray*}$

Als erstes versucht man durch herumprobieren auf eine Nullstelle zu kommen, und siehe da, bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ verschwindet der Term tatsächlich:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{4}+6\cdot(-1)+5~=~0 \end{eqnarray*}$

Die erste Nullstelle ist also -1:

$\begin{eqnarray*} x_{0_1}~=~-1 \end{eqnarray*}$

Nun führst du eine Polynomdivision aus, bei der du den ganzen Term durch $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$ dividierst:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{4}+6x+5}{x+1}~=~x^3-x^2+x+5 \end{eqnarray*}$

Nun hast du ein Polynom dritten Grades, und wie du dafür die Nullstellen finden kannst, findest du hier beschrieben: http://www.montgelas-gymnasium.de/mathe/...tkubgleich.html

27.02.2011, 10:38

sulo

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RE: Nullstellen berechnen einer Parabel 4. Grades
Ich habe folgende Versionen der Funktion gezeichnet:

1) f(x) = 0.4*(x^4+6*x+5) => rot, wird von Nr 2 (blau) überlagert
2) f(x) = 0.4*x^4+2.4*x+2 => blau
3) f(x) = x^4+6*x+5 => grün

Die Nullstellen sind eindeutig.

@Hubert1965

Zitat:

Original von Hubert1965
Eine "Parabel 4. Grades" gibt es nicht.

Doch, gibt es schon, auch wenn die Bezeichung eher selten zu finden ist. Siehe z.B. hier bei Wiki: Klick

smile

27.02.2011, 10:49

Mystic

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RE: Nullstellen berechnen einer Parabel 4. Grades

Zitat:

Original von Hubert1965
Eine Parabel ist ein Polynom 2. Grades.
Ein Polynom 4. Grades ist keine Parabel. Eine "Parabel 4. Grades" gibt es nicht.

Naja, "Parabel" steht ja auch für "Gleichnis", z.B., ist das neue Testament voll von Parabeln... Insofern kann man auch z.B.

$\begin{eqnarray*} y=x^4 \end{eqnarray*}$

als Parabel ansprechen... Sie schaut (zumindestens auf den ersten Blick) gleich aus wie eine "echte" Parabel, d.h., eine Parabel "im engeren Sinn", ist aber dann doch keine... Big Laugh

@sulo

Bei dem von dir verlinkten Artikel auf der Wikipedia sind die "Warnungen", was seine Seriosität betrifft, fast genauso lang, wie der Artikel selbst, was jetzt nicht unbedingt ein gutes Zeichen ist... verwirrt

27.02.2011, 15:24

Hubert1965

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RE: Nullstellen berechnen einer Parabel 4. Grades

Zitat:

Original von Mystic
Naja, "Parabel" steht ja auch für "Gleichnis", z.B., ist das neue Testament voll von Parabeln... Insofern kann man auch z.B.

$\begin{eqnarray*} y=x^4 \end{eqnarray*}$

als Parabel ansprechen...

Nein, kann man nicht.

Zu jedem Kegelschnitt, mit Ausnahme des Kreises gibt es einen gleichlautenden sprachwissenschaftlichen Begriff:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse_(Sprache)
http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Sprache)
http://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Sprache)
Darüber könnte man sich im Deutsch-Board http://www.deutschboard.de/ stundenlang unterhalten, aber wir sind hier im Matheboard. Und in der Mathematik hat der Begriff "Parabel" nur zwei Bedeutungen, die aber bei näherer Betrachtung ohnehin ein und dasselbe Ding meinen:

1)
Eine Parabel ist ein Kegelschnitt, der dadurch entsteht, dass eine Ebene einen Rotations-Kegel so schneidet, dass genau eine der unendlich vielen Mantellinien des Kegels parallel zur Ebene verläuft. Alle anderen Mantellinien schneiden die Ebene, die Menge aller Schnittpunkte nennt man eine Parabel.

2)
Eine Parabel ist ein Polynom zweiten Grades. Wenn man ganz streng sein möchte, sollte man sogar eher sagen: Eine Parabel ist der Graph eines Polynomes zweiten Grades mit reellen Koeffizienten.

Dass die beiden Definitionen das gleiche Objekt meinen, liegt für den Fachmann auf der Hand und muss hier nicht näher erläutert werden.

Graphen von Polynomen beliebiger Ordnung heißen nicht "Parabeln" sondern "Kurven". Eine Parabel ist also ein Spezialfall einer Kurve, aber nicht jede Kurve ist eine Parabel. Insbesondere ist jede Kurve, die nicht zu einem Polynom zweiten Grades gehört, keine Parabel.

27.02.2011, 15:33

abc2011

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RE: Nullstellen berechnen einer Parabel 4. Grades

Zitat:

Original von Hubert1965
Graphen von Polynomen beliebiger Ordnung heißen nicht "Parabeln" sondern "Kurven".

So eindeutig ist das keineswegs: «Allgemein werden unter Parabeln die Funktionsgraphen von ganzrationalen Funktionen verstanden. Hat die Funktion den Grad n, dann wird der Graph als Parabel der Ordnung n bezeichnet.» nennt etwa auch Wikipedia.

27.02.2011, 16:33

tigerbine

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An die Teilnehmer der Fachdiskussion:

Gemäß dem von abc2011 verlinkten Wiki-Beitrag wird in den meisten Schulbüchern der Graph von ganzrationalen Funktionen benannt. Ich halte es für gefährlich nun den Begriff "Kurve" in einem Thread in der Schulmathematik in den Raum zu stellen, den man als Bild eines Weges definieren kann.

Ziel des Threads muss sein, sabse-1502 bei der Lösung ihrer Aufgabe zu helfen. Wenn man Sprachgebrauch schon rügen möchte, dann eher

Zitat:

Die gleichung lautet $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} ( x^{4} \end{eqnarray*}$ +6x+5 )

Dort steht keine Gleichung. Augenzwinkern

Es geht also entweder um die Lösungen der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} ( x^{4}+6x+5 ) = 0 \end{eqnarray*}$

oder die Nullstellen der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{2}{5} ( x^{4}+6x+5 ) \end{eqnarray*}$

Eine ganzzahlige Nullstelle offenbart der Plot von sulo (Man untersuche die Teiler von 5 mit "+" und "-" als Vorzeichen). Danach ist gefragt, ob ihr das Verfahren von Cardano hattet [eher schwer zu rechnen], oder was euch vorgegeben ist (Lehrplan!), wie ihr weiter Verfahren sollt. vielleicht kennt ihr Näherungsverfahren. (Weiß nicht, gilt hier nicht als Antwort Augenzwinkern

)

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

Einen schönen Sonntag! Wink

27.02.2011, 17:18

abc2011

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Bringt dieser Beitrag konstruktiv irgend was Neues?

27.02.2011, 17:24

tigerbine

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Ja, auch wenn es dir wohl verborgen geblieben ist, warum sich ein Moderator bei diesem Gesprächsverlauf einschalten musste. Augenzwinkern

27.02.2011, 18:07

abc2011

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RE: Nullstellen berechnen einer Parabel 4. Grades
Der allererste Antwort-Beitrag war:

Zitat:

Original von abc2011
Eine Nullstelle ist ganzzahlig und kann erraten werden. Die anderen sind irrational bzw. sogar nichtreell und können nur mit schwerfälligen Formeln gefunden werden (oder müssen angenähert werden).

Sowohl die Fragestellerin fragt nach Nullstellen als auch ich antworte mit Nullstellen. Dass die Funktionsgleichung ohne «f(x)=» begann, gibt der Moderation nicht das recht, sich so aufzuspielen.

27.02.2011, 18:10

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
An die Teilnehmer der Fachdiskussion:

Gemäß dem von abc2011 verlinkten Wiki-Beitrag wird in den meisten Schulbüchern der Graph von ganzrationalen Funktionen benannt. Ich halte es für gefährlich nun den Begriff "Kurve" in einem Thread in der Schulmathematik in den Raum zu stellen, den man als Bild eines Weges definieren kann.

Vielleicht solltest du bei der Bewertung meines Betrages nicht nur um dich selbst kreisen. unglücklich

Die Ursache eines Modpostings lag mit Nichten im "vergessenen" f(x). Des weiteren: Bei Fragen zu meiner Vorgehensweise (Off-Topic!)kannst du mich gerne per pn kontaktieren.

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