Windschiefe Geraden & HNF --> Verständnis |
| 27.02.2011, 11:45 | Subversor | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Windschiefe Geraden & HNF --> Verständnis bald schreibe ich Matheabitur und - naja - ich bin nicht so der Profi in Mathe und ich habe ein paar Verständnisprobleme. Ich wäre froh, wenn man mir helfen könnte.. 1) Bei windschiefen Geraden ist ja klar, dass man deren Abstand mit Hilfe der einen Formel berechnen kann. Andererseits kann den Abstand zweier windschiefer Geraden g und h auch mittels Lotfußpunkt bestimmen, wo man die beiden Geraden als Punkt sieht und den Vektoralso von GH bestimmt, man also ZWEI Variablen hat. Also beide Geraden als parametrisierten Punkt. Wie muss ich mir diesen Vektor GH vorstellen, ist das im Pirnzip eine Ebene, weil 2 Varaiblen? Und dann GH * den einen und GH * den anderen Richtungsvektor. Was bedeutet das genau, was habe ich dann für Punkte, ich kann mir das nicht genau vorstellen.. Auf jeden Fall ist der Abstand dieser beiden Punkte der kürzeste Abstand.. Was sind diese 2 Punkte? Der eine Punkt ist orthogonal zum einen, der andere orthogonal zum anderen Richtungsvektor? 2) Wenn 2 Geraden je eine Flugroute darstellen und man den kürzesten Abstand der beiden Flugzeuge berechnen will, müssen die beiden Richtungsvektoren (--> Geschwindigkeitsvektoren) die gleiche Variable haben.. Das ist mir klar, von der Zeit her. Und dann Betrag/ Länge von GH! Nur mein Mathelehrer lässt dann bei der Längenberechnung des Vektors GH die Wurzel einfach weg.. Klar, ist dann auch einfacher zum Ableiten, aber kann man die einfach da weglassen? Und dieser Abstand muss dann nicht senkrecht sein wie bei Aufage 1.. Und eben zum Verständnis.. Beim Abstand von widnschiefen Geraden, also bei meiner Frage 1, könnte ich da nicht auch theoretisch die beiden windschiefen Geraden als parametrisierten Punkt nehmen, Länge von GH mit 2 Parametern und dann das Minimum? Also genau wie für Aufagabe 2) Nur da isses mit dem Minimum halt kompliziert, weil 2 verschiedene varaiblen? 3) Wie kann ich mir die Koordinatengleichung einer Ebene anschaulich vorstellen? Mir ist klar, dass wen x2 z.B. wegfällt, dass dann parallel zur x2-Ebene und so, aber was ist zB der Unterschied von 2x1+3x2+x3 = 5 und 2x1+2x2+x3 = 10 , was sagt 5 bzw 10 aus? 4) Und wie kann ich mir die HNF vorstellen? Bei einer Aufgabe zB,verläuft vom Punkt P (1 / 2 / a) zum Punkt Q ( -5 / 5 / a) eine geradlinige Stromlinie, die zu einer gewissen Ebene/ Dachfläche einen Abstand von 5 m hat. Ich wäre nie darauf gekommen, die Gerade als parametrisierten Punkt zu nehmen und dann mit der HNF zu berechnen. Ich hätte wahrscheinlich eine Hilfseebene erstellt, die Q enthält und orthogonal zur Dachfläche ist oder irgendwie.. Kann man generell sagen, dass wenn ein bestimmter Abstand gegeben ist, dass man dann immer die HNF benutzt..? Vielen Dank schon im Voraus und bitte auch antworten, wenn man nicht alles beantworten kann ^^ |
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| 27.02.2011, 12:04 | Subversor | Auf diesen Beitrag antworten » |
PS 5) Und ja noch zur Trigonometrie: Ich weiß zB, dass man am rechtwinkligen Dreieck mittels sin cos usw. Winkel bzw die Seitenlängen berechnen kann.. Aber warum hat sin cos zB als Extremwert 1 und warum ausgerechnet bei 2Pi die Periode. Was hat Pi mit den Dreiecken zu tun, warum bei Pi bzw 90° Hochpunkt und was bedeutet der y-Wert 1 dann? Und wenn ich im Abi dann irgendne sin cos Funktion und was weiß ich, des Schaubild zB nen Pegelstand vom Wasser darstellen soll, nehm ich Radian? Aber mit welcher Bezeihung, warum Bogenmaß, was hat es damit auf sich, ich les überall, aber versteh es einfach ned.. Wenn's um Grad geht, Degree und alles andere Radian? Versteht ihr, ich reche zwar dann mit sin cos, tan, kanns eventuell noch irgendwie beim Dreieck ausrechnen, aber was die Periodizität und der Verlauf der Graphen aussagen, sagt mir gar nichts... Ich kann mit dem Hochpunkt 1 und dergleichen nichts anfangen, versteh nicht, warum der bei Pi oder 90° ist. Und was ist dann anders beim Bogenmaß, was berechne ich da? Den Einheitskreis verstehe ich 0. 6) Ach, und noch ein letztes: Desöfteren wird vor allem wenn man zB Punkte bei einem gleichschenkligen Dreieck berechnen soll, der Normalenvektor/ Richtungsvektor mit der Länge 1 verwendet.. wann genau brauche ich den Normalenheitsvektor, anstatt des "normalen" Normalenvektors? |
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| 27.02.2011, 18:50 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » |
1) Du vermischt da etliche Dinge miteinander, so dass man im Endeffekt keinen Überblick mehr darüber hat, was du genau wissen willst. Alternativ zur Abstandsformel kann man eine Ebene E aufstellen, welche z.B. die Gerade g enthält und als weiteren Spannvektor den Richtungsvektor von h bekommt. Nun kann man sich einen Punkt H von h hernehmen und den entsprechenden Lotfußpunkt S in E berechnen und die Länge des Vektors entspricht dann dem Abstand der beiden windschiefen Geraden. Wenn man sich insbesondere für die beiden Punkte G und H auf g und h interessiert, welche den geringsten Abstand voneinander haben, dann ist der Ansatz recht vielversprechend. 2) Das Quadrieren der Abstandsfunktion ändert nichts an den Extremstellen, also darf man es hier tun. Auf den Abstand zueinander windschiefer Geraden lässt sich das nicht ohne weiteres übertragen, da ihr bestimmt keine Analysis im Mehrdimensionalen besprechen werdet 
3) Falls die 3 in der ersten Ebene einer deiner vielen Tipfehler ist, dann könntest du durch die HNF etwas über den Abstand der Ebenen zum Ursprung bzw auch voneinander aussagen. 4) Ich seh nicht wirklich was du wissen willst aber allgemein ist die Formel für den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene ja mit der HNF einer Ebene verbunden und immer wenn es um entsprechende Abstandsprobleme geht, bietet sich diese Formel oftmals an. Um die HNF einer Ebene zu erhalten, musst du deren Koordinatengleichung nur noch durch den Betrag des entsprechenden Normalenvektors dividieren. 5) Das ist wirklich eine Nummer zu krass, bitte gib dir mal etwas Mühe und sprech deutsch mit uns 
6) Kann man so pauschal nicht sagen, das kommt immer ganz auf die Situation bzw AUfgabe an und was das jetzt mit gleichschenkligen Dreiecken zu tun hat ist so auch nicht zu entschlüsseln. |
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| 27.02.2011, 19:14 | Draos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu 1) Ähm...ja du kannst es dir als Ebene vorstellen, hilft aber nicht für das Verfahren. Stells dir so vor, dass du den Vektor zwischen deinen parametisierten Punkte (G und H), darauf prüfst, ob er senkrecht auf den Geraden steht (was minimaler Abstand zwischen 2 Geraden heißt). Bekommst dann ein Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen -> Lösung. Zu 2) Eigentlich sollte der Lehrer es begründet haben, warum er eine Wurzel wegließ, kann ich aber nix dazu sagen, da ich die Aufgaben nicht kenne. Du kannst natürlich auch die Aufgabe 1 mit Differentialrechnung lösen, aber dazu brauchst du bei 2 Variablen partielle Differentialrechnung. zu 3) Bei ist das d der Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung. zu 4) Die HNF ist eine Ebenengleichung ohne Parameter. Wenn ein Punkt die Gleichung erfüllt, liegt der Punkt auf der Ebene. Man kann auch parametisierte Punkte prüfen damit und erhält Werte für den Parameter bei denen der parametisierte Punkt auf der Ebene liegt. zu 5) Sinus wird am Einheitskreis (Kreis mit Radius 1) definiert. [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus#Definition_am_Einheitskreis]Definition[/latex]. zu 6) Eigentlich ist es egal, ob du den Normalenvektor nimmst oder nicht. Wenn der Normalenvektor normiert ist, brauchst du dessen Länge (1) nicht beim Abstand betrachten, sonst schon. |
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