Maximaler Abstand zu Asymptote?

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27.02.2011, 14:43	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximaler Abstand zu Asymptote? Hallo, es geht um die Funktionsschar $\begin{eqnarray} f_a(x) = \frac{x^3}{x^2+a} \end{eqnarray}$ . Gesucht sind die Punkte ( $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ ), die den maximalen Abstand zur Asymptote von $\begin{eqnarray} f_a \end{eqnarray}$ haben. (Gemeint ist der "wirkliche" Abstand). Ich habe leider keine Idee, wie das funktionieren soll. [attach]18330[/attach] Meine erste Überlegung war, dass das gesuchte Stück (schwarz) ja eine Strecke der Funktion $\begin{eqnarray} n(x) = -x \end{eqnarray}$ ist. Diese wollte ich dann so verschieben, dass sie durch den Punkt (schwarz) verläuft. Und dann mit den beiden Seiten den Pythagoras benutzen. $\begin{eqnarray} y_f = -x_f +n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_f \end{eqnarray}$ sollen die Koordinaten des Punktes sein. $\begin{eqnarray} \frac{{x_f}^3}{{x_f}^2+a} &=& -x_f +n\\<br /> n &=& \frac{{x_f}^3}{{x_f}^2+a}+x_f\\<br /> y &=& -x_f + \frac{{x_f}^3}{{x_f}^2+a}+x_f\\<br /> y &=& \frac{{x_f}^3}{{x_f}^2+a}\\<br /> \end{eqnarray}$ Womit ich wieder da wäre, wo ich auch angefangen habe. Wie könnte man das denn lösen? Viele Grüße Nedec
27.02.2011, 20:12	Draos	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt den maximalen Abstand zur Geraden könnte man den maximalen Abstand zur Umkehrfunktion ( $\begin{eqnarray} x=f_a^{-1}(y) \end{eqnarray}$ ) bilden und dann halbieren.
27.02.2011, 20:18	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort. Aber geht der Abstand von $\begin{eqnarray} f_a \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \frac{x^2+2}{x^3} \end{eqnarray}$ nicht gegen unendlich? Trotzdem: Ich habe immer noch keine Ahnung, wie man überhaupt den Abstand berechnet... Hast du vielleicht einen Tipp?
27.02.2011, 20:21	Draos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umkehrfunktion ist $\begin{eqnarray} x=f_a^{-1}(y)=\frac{y^3}{y^2+a} \end{eqnarray}$ . Spiegel deine Funktion einfach an der Geraden y=x
27.02.2011, 20:31	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie spiegele ich denn etwas an der Winkelhalbierenden? Kann mich nicht erinnern, das mal gelernt zu haben... Und was mache ich dann mit der Funktion?
27.02.2011, 20:38	Draos	Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegeln tust du an der Geraden y=x, in dem du in der Funktion x und y vertauschst und in $\begin{eqnarray} f_a^{-1}(x) \end{eqnarray}$ steht die ^(-1) nicht für Reziproke. So für nen Abstand brauchst du 2 Punkte, einer auf der Funktion, der andere auf der Umkehrfunktion. $\begin{eqnarray} P(x_P,f_a(x_P)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q(f_a^{-1}(y_Q),y_Q) \end{eqnarray}$ . Dann kann man anwenden, dass der maximale Abstand senkrecht auf y=x steht und dass P an y=x gespiegelt Q ergibt. Das heißt, Q ist $\begin{eqnarray} Q(f_a(x_P),x_P) \end{eqnarray}$
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27.02.2011, 20:58	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber ich versteh kein Wort. Hängt schon bei der Umkehrfunktion... Wenn ich $\begin{eqnarray} x = \frac{y^3}^{y^2+a} \end{eqnarray}$ kann ich damit ja irgendwie gar nichts anfangen - wie zeichnet man die zum Beispiel?
27.02.2011, 21:08	Draos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm....mal ne Frage: Das ist eine Aufgabe welcher Klassenstufe? Die Umkehrfunktion ist eine Funktion, die man bei einer Spiegelung an der Geraden y=x erhält. Formeltechnisch vertauscht man x und y. Aus y=x^2 wird also x=y^2. Zeichnen schau mal oben da ist für unsere gesuchte (a=1).
27.02.2011, 21:16	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke, so weit komme ich mit. Anscheinend eine Aufgabe der 11. Klasse, aber ich fühle mich irgendwie... überfordert.
27.02.2011, 21:23	Draos	Auf diesen Beitrag antworten »
K nächster Schritt: (wusste nicht ob jeder zu der Zeit Umkehrfunktionen hatte oder es gibt nen anderen Weg der mich nicht einfiel ) Im Anhang sind 2 Punkte eingezeichnet, P und Q. P liegt auf $\begin{eqnarray} f_a(x) \end{eqnarray}$ . Q liegt auf $\begin{eqnarray} f_a^{-1}(x) \end{eqnarray}$ Wie würdest die Koordinaten von P allgemein beschreiben, wenn du weißt, dass dieser auf $\begin{eqnarray} f_a \end{eqnarray}$ liegt?
27.02.2011, 21:26	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
Als $\begin{eqnarray} P(x\|f_a(x)) \end{eqnarray}$ ?
27.02.2011, 21:26	Draos	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau und wie lautet Q?
27.02.2011, 21:30	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} Q(x_Q\|f_a^{-1}(x_Q)) \end{eqnarray}$ - aber ich weiß ja nicht, wo dieses $\begin{eqnarray} x_Q \end{eqnarray}$ liegt, oder?
27.02.2011, 21:40	Draos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hättest du mal hochgeschielt $\begin{eqnarray} Q(f_a^{-1}(y_Q),y_Q) \end{eqnarray}$ und doch du weißt, dass P und Q den maximalen Abstand haben sollen und somit Q das Spiegelbild von P an y=x ist. Also gilt, dass $\begin{eqnarray} y_Q=x_P \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} Q(f_a(x_P),x_P) \end{eqnarray}$ . Somit wäre der Abstand von P und Q: $\begin{eqnarray} d^2=(x_P-f_a(x_P))^2+(x_P-f_a(x_P))^2 \end{eqnarray}$ So weit klar? dann versuch mal den Rest. (Aso habe gerade gefunden, dass Abstand der Asymptote meist auch einfach der Betrag des Restterms ist, aber du wolltest ja "wirklichen" Abstand)
27.02.2011, 21:59	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaach jetzt verstehe ich das mit der Umkehrfunktion, das heißt der Funktionswert der Umkehrfunktion ist das x der Ausgangsfunktion und umgekehrt? Jetzt gibt $\begin{eqnarray} d(x_P) \end{eqnarray}$ den Abstand an, also muss das jetzt ableiten und das Maximum berechnen?
27.02.2011, 22:00	Draos	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt, so war meine Idee (vergess nicht zu halbieren)
27.02.2011, 22:22	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} d^2 &=& 2(x_P - f_a(x_P))^2\\<br /> d(x) &=& \sqrt{2} \left(x - \frac{x^3}{x^2+a}\right)\\<br /> d'(x) &=& \sqrt{2} \left(1 - \frac{3x^2-2x}{(x^2+a)^2}\right) \end{eqnarray}$ Ist das richtig? Wenn ja, wie löse ich das?
27.02.2011, 22:26	Draos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \end{eqnarray}$ Richtig anwenden. Na du musst dann die erste Ableitung um Extrema rauszufinden. Dann in die 2. Ableitung mit dem x-Wert überprüfen, ob es ein Maximum ist.
27.02.2011, 22:30	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, da fehlt was... Ich bin absolut fertig, morgen geht es weiter. Vielen Dank für die Hilfe, Draos! Hat mir sehr weitergeholfen.
28.02.2011, 10:46	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt geht es nur noch um das richtige Ableiten. Man kommt schneller zu der Lösung, wenn man sich überlegt, dass in dem Punkt mit maximalem Abstand die Tangente an die Kurve parallel zur Asymptote sein muss. Das führt direkt zu $\begin{eqnarray} 1=f'_a(x_p) \end{eqnarray}$
28.02.2011, 12:30	abc2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel schneller und ohne Umkehrfunktion geht es, wenn das folgende 45°-45°-90°-Dreieck verwendet wird (Hypotenuse als Wertedifferenz ist gesuchter Abstand mal Wurzel 2). Die Tangente ist parallel zur Asymptote. Das Bild benützt a=2. [attach]18363[/attach] Edit: Sorry, habe den Beitrag von Huggy übersehen.
28.02.2011, 14:45	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
@Huggy: Wow, das ist einfach. Danke! Komme jetzt auf $\begin{eqnarray} x_P = \sqrt{a} \end{eqnarray}$ . Nur aus Interesse: Wie würde ich denn jetzt die Distanz zur Asymptote ausrechnen? Ich habe immer noch keine Ahnung, wie man auf den Punkt Q kommt. @abc2011: Die Hypotenuse wird ja dann beschrieben durch $\begin{eqnarray} g(x_P) - f_a(x_P) \end{eqnarray}$ (g = Asymptote), oder? Aber hier die gleiche Frage: Wie komme ich auf die Katheten und dann auf Q?
28.02.2011, 14:49	abc2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Das steht schon oben: Hypotenuse als Wertedifferenz ist gesuchter Abstand mal Wurzel 2. (Das Dreieck ist ein halbes Quadrat.)
28.02.2011, 15:23	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
Komme jetzt auch auf $\begin{eqnarray} x = \sqrt{a} \end{eqnarray}$ . Vielen Dank für Eure Hilfe.
28.02.2011, 15:57	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll x sein? Der Abstand? Dann stimmt das nicht. $\begin{eqnarray} x_p=\sqrt a \end{eqnarray}$ ist richtig.
28.02.2011, 17:31	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die Aufgabe lautet "Bestimmen sie die Punkte" und ich habe jetzt $\begin{eqnarray} P_1(\sqrt{x}\|\frac{\sqrt{x}^3}{2a}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_2(-\sqrt{x}\|\frac{-\sqrt{x}^3}{2a}) \end{eqnarray}$ raus.
28.02.2011, 17:33	Nedec	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine natürlich a statt x, sorry.

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