Median und Varianz einer Verteilungsfunktion

27.02.2011, 16:22

imeno

Median und Varianz einer Verteilungsfunktion

Wie berechnet man Median und Varianz der Verteilungsfunktion
$\begin{eqnarray*} F(x) = 1 - \frac{27}{x^3} \end{eqnarray*}$ für x >= 3

Muss ich hier vielleicht ableiten damit ich auf die Dichtefunktion komme von der ich dann irgendwie den Median und Varianz bestimmen kann?

lg

27.02.2011, 16:57

imeno

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okay bin schon ein bisschen weiter. und zwar bin ich auf folgende definition gestoßen:

Der median ist das 0.5-Quantil mit $\begin{eqnarray*} x_{med} = F^{-1}(0.5) \end{eqnarray*}$

Könnte mir jemand zeigen wie ich auf die inverse Verteilungsfunktion komme?

27.02.2011, 17:05

Cel

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Dieses $\begin{eqnarray*} F^{-1} \end{eqnarray*}$ ist nicht die Umkehrfunktion, sondern das Urbild.

Suche also die Zahl x, für die F(x) = 0,5 gilt.

Für die Varianz brauchst du aber nach wie vor eine Dichte, die du durch Ableiten erhälst, das hast du richtig erkannt.

27.02.2011, 18:16

imeno

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ah okay...

also:
ich suche als erstes die x für F(x) = 0.5
$\begin{eqnarray*} 0.5 = 1 - \frac{27}{x^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0.5 * \frac{27}{x^3} = \frac{27}{x^3} - (\frac{27}{x^3})^2 \end{eqnarray*}$ //darf ich das?
$\begin{eqnarray*} 0.5 = \frac{27}{x^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{0.5}{27} = \frac{1}{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{27}{0.5} = x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{27}{0.5}} = x \end{eqnarray*}$

und x = 3.779 = med

richtig???

als nächstes die ableitund der Verteilungsfnktion.
da bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} (1 - \frac{27}{x^3})' = (1 - 27x^{-3})' = -27 * (-3) * x^{-4} = 81x^{-4} = f(x) \end{eqnarray*}$

und wie komme ich nun zur varianz?
idee: erwartungswert ausrechnen ... den krieg ich mit integral von x * f(x) dx
und danach varianz mit integral von x^2 * f(x) - E(X)^2

oder bin ich da aufn holzweg und es geht leichter?

27.02.2011, 18:21

Cel

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Zitat:

Original von imeno
und x = 3.779 = med

Lieber ein Ungefährzeichen hier.

Ansonsten: Alles richtig (jedenfalls vom Ergebnis, was du da bei der Rechnung in den ersten Zeilen machst, verstehe ich nicht so recht), jetzt musst du dich ans Rechnen machen. Augenzwinkern

27.02.2011, 19:44

imeno

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dann auf gehts:

$\begin{eqnarray*} \int_3^\infty x*81x^{-4} = 81* (-1/2) x^{-2} |_3^\infty = 4.5 \end{eqnarray*}$ = Erwartungswert E(X)

Nun die Varianz
$\begin{eqnarray*} Var(X) = \int_3^\infty x^2 * 81x^{-4} dx - (E(X))^2 = -\frac{81}{x}|_3^\infty - (E(X))^2 = 27 - (4.5)^2 = 6.75 \end{eqnarray*}$ = Varianz Var(X)

richtig?

nun gibt es hier noch einen zusatzpunkt bei dem ich wieder anstehe...

"Es soll die bedingte Wahrscheinlichkeit P[X>4 | X<=6] berechnet werden"

kannst du mir da auch noch weiter helfen? smile

28.02.2011, 10:00

Cel

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Deine Rechnung ist richtig. Für die bedingte W' gibt es doch eine schöne Formel:

$\begin{eqnarray*} P(X > 4 | X \leq 6) = \frac{P(X > 4, X \leq 6)}{P(X \leq 6)} = \frac{P(4< X \leq 6)}{P(X \leq 6)} = \dots \end{eqnarray*}$

28.02.2011, 17:02

imeno

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okay zwei fragen:

Woher kommt diese Formel. Hab nach "bedingter Wahrshceinlichkeit" gesucht aber auf ne formel dieser Form bin ich nicht gestoßen.

Und wie berechne ich P(4 < X <=6) bzw P(X<=6)?
Normalerweise schau ich da für ein bestimmtes n und k in der tabelle für die binomialverteilung nach.... aber hier?

könntest du mir das erklären?

28.02.2011, 18:15

Cel

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Die Formel kommt zum Beispiel hierher. Dabei ist zum Beispiel $\begin{eqnarray*} A = \{X > 4\} \end{eqnarray*}$ . In A befinden sich also alle Werte, die größer als 4 sind und die die Zufallsvariable X annehmen kann.

Um diese ganzen W'keiten zu berechnen, nutze die Verteilungsfunktion. Immerhin gelten Sachen wie

$\begin{eqnarray*} P(X \leq a) = P(X < a) = F(a) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} P(X \geq a) = P(X > a) = 1 - P(X \leq a) = 1 - P(X < a) = 1 - F(a) \end{eqnarray*}$ .

28.02.2011, 19:10

imeno

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thx also...

$\begin{eqnarray*} P(X>4|X\leq6) = \frac{P(X>4, X\leq6)}{P(X\leq6)} = \frac{P(4<X\leq6)}{P(X\leq6)} = \frac{F(6) - F(4)}{F(6)} = \frac{0.875 -0.578125}{0.875} = 0.339 = 33.9% \end{eqnarray*}$

?

smile

oder