Winkelhalbierende durch Punkt |
| 28.02.2011, 03:59 | Vilosov | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Winkelhalbierende durch Punkt Hallo! Mich beschäftigt folgendes Problem: Gegeben seien drei Punkte A, B und C (nicht(!) auf einer Geraden). Gesucht ist der Ort aller Punkte P, für die gilt Winkel(APC)=Winkel(CPB) (für die also die Winkelhalbierenden von Winkel(APB) immer durch Punkt C gehen). Meine Ideen: (Für den Fall, dass die Punkte auf einer Geraden liegen ist die Lösung der Apolloniuskres) Folgende Punkte erfüllen die Bedingung: Der Lotfußpunkt von Punkt C auf die Gerade AB (90°) und die beiden Fermatpunkte des Dreiecks ABC (60° bzw, 120°). Zwei weitere Punkte lassen sich wie folgt kunstruieren: Bilde jeweils das Lot von AC (Lot(AC)) und BC (Lot(BC)) durch C, spiegle die Punkte A und B an C (ergeben A' und B'), ziehe Geraden AB' () und BA' (h). Die Schnittpunkte von AB' mit Lot(BC) und von BA' mit Lot(AC) erfüllen die Bedingung. Über weitere Ideen würde ich mich sehr freuen |
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| 28.02.2011, 15:20 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Winkelhalbierende durch Punkt ob sich das geschlossen darstellen läßt 
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| 28.02.2011, 20:10 | Vilosov | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zunächst einmal herzlchen Dank für die erste Antwort. Ich stelle gerade fest, dass ich einige Einschränkungen machen muss: Das mit den letzen beiden Punkten gilt nur, wenn Winkel(ACB)>90°. In diesem Fall sind dann auch Lot(AC) und Lot(BC) selbst die Winkelhalbierenden. Und das mit den Fermatpunkten (F1 und F2) gilt nur, wenn die Geraden CF1 bzw. CF2 die Strecke |AB| schneiden. Und auch der Lotfußpunkt muss (natürlich) auf der Strecke |AB| und nicht nur auf der Geraden AB liegen, was bedeutet, dass Winkel(CBA)<90° und Winkel(BAC)<90° sein muss. Grüße Vilosov |
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| 20.10.2011, 00:17 | Vilosov | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Winkelhalbierende durch Punkt So, nach langer Zeit hatte ich endlich mal wieder Zeit mich selbst mit meinem Problem zu beschäftigen. Und, man höre und staune, ich habe tatsächlich eine Lösung gefunden. Dazu zeichne man um C einen beliebigen Kreis (grün) und Wähle einen Punkt E auf dem Kreis. Der Schnittpunkt der Strecke |AB| mit der Geraden CE sei F. Nun konstruiere man den Apollonius-Kreis (magenta) von F zu A und B. Die Gerade CE schneidet den Apollonius-Kreis in den Punkte F und O/P. O/P ist dann ein Punkt auf der gesuchten Ortskurve, die sich schließlich abhängig von E bestimmen lässt. (Bei der Konstruktion mit geogebra, woher die Zeichnung ist, musste ich den Apollonius-Kreis zweimal Konstruieren, über A und über B, um die vollständige Ortskurve zu erhalten. Daher die Doppelbezeichnung O/P.) Viele Grüße Vilosov |
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| 20.10.2011, 00:38 | Vilosov | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Winkelhalbierende durch Punkt kleiner Nachtrag: Den Kreis um C kann man auch weglassen und gleich O/P in Abhängigkeit von F betrachten. |
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