p-Sylow

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
p-Sylow
Meine Frage:
Hallo, liebe Matheboardler!
Ich habe mal wieder eine Frage zu dem beliebten Thema "Sylowsätze".

Zeigen Sie:

(1) Es sei G eine Gruppe, p eine Primzahl. Ist G abelsch, so gibt es nur eine p-Sylowgruppe von G.

(2) Ist N ein Normalteiler von G, der eine p-Gruppe ist, so ist N in allen p-Sylowgruppen von G enthalten.

Meine Ideen:
Ich versuche mich erstmal an (1). Bei (2) muss ich noch ein bisschen überlegen; in der Zwischenzeit könntet ihr ja vielleicht einen Blick auf meine Idee zu (1) werfen.

Zu (1):

Angenommen, es gibt zwei p-Sylowgruppen P und Q.
Nach dem 2. Sylowsatz sind dann P und Q konjugiert zueinander, das heißt, es gibt ein .

Da G abelsch ist, sind alle Untergruppen Normalteiler.
Daher gilt: .



Widerspruch zur Annahme.

So oder so ähnlich müsste das doch gehen?


Edit:

Zu (2):

Sei P eine p-Sylowgruppe von G.
Laut dem 2. Sylowsatz ist N enthalten in einer zu P konjugierten p-Sylowgruppe:
für ein . N ist Normalteiler:


Wenn man nun auf beiden Seiten jeweils von links mit , sowie von rechts mit multipliziert, folgt: .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: p-Sylow
unglücklich Keine Algebraiker hier, die mal kurz einen Blick auf meine Lösungsideen riskieren würden?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: p-Sylow
Ah, jetzt habe ich begriffen. Danke!

100 % brauche ich auch nicht, bin ja froh, wenn ich den Ansatz habe.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: p-Sylow
Bitte, gern geschehen... Augenzwinkern
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