Verschoben! Gruppe

28.02.2011, 20:00

Grupp

Gruppe

Hallo,

kann man aus folgenden gruppenähnlichen Axiomen die Existenz von Linkseins und Rechtsinverse ableiten?
GxG -> G:

1) Assoziativität gilt
2) ae=a (e Rechtseins)
3) a'a=e (a' Linkinverses)

Danke.

28.02.2011, 20:04

Grupp

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, gehört in Rubrik Hochschulmathe.

28.02.2011, 21:50

_sunflower_

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

klar geht das (in einer Zeile sogar):

a = ae = a(a'a) = a a' a (wegen Assoziativität)

--> a a' = e aber auch a'a=e (nach Vor.)

---> a = a'

Also ist das Inverse eindeutig bestimmt.

Ciao

28.02.2011, 22:16

C3P0

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das geht nicht. Aus a = a a' a folgt so noch nicht a a'= e, da wir ja nicht wissen, dass e auch linksneutral ist.
Tatsächlich hat z.B. die Menge

$\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} a &0 \\ b &0 \end{pmatrix}: a,b \in \mathbb{R}, a\neq 0\} \end{eqnarray*}$

das rechtsneutrale Element $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und zu jedem $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a &0 \\ b &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ existiert das Linksinverse $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a^{-1} &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
die Menge bildet aber keine Gruppe (es gibt z.B. kein linksneutrales Element).

Grüße

28.02.2011, 22:25

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, C3P0 hat natürlich recht, das geht nicht, allerdings gibt es viel einfachere Beispiele, als das von ihm angegebene... Sei dazu G eine beliebige Menge mit |G|>1 und der Operation *, welche erklärt ist durch

$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in G: x \ast y =x \end{eqnarray*}$

Du solltest dir dann selbst überlegen, dass die Bedingungen 1)-3) dann klarerweise erfüllt sind, aber G trotzdem keine Gruppe ist...

01.03.2011, 20:45

Grupp

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mystic,

setze ich in Deinem Bsp. y=x => jedes Element ist sich selbst Rechtseins und Linkseins, woraus folgt: x ist auch beiseitig das Inverse. Sind die Gruppenaxiome damit nicht erfüllt?

01.03.2011, 20:51

abc2011

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Grupp
jedes Element ist sich selbst Rechtseins

... widerspricht der Definition einer Rechtseins. (Dort muss man ALLE Elemente in die entsprechende Gleichung einsetzen können.)

01.03.2011, 21:14

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Grupp
Hallo Mystic,

setze ich in Deinem Bsp. y=x => jedes Element ist sich selbst Rechtseins und Linkseins, woraus folgt: x ist auch beiseitig das Inverse. Sind die Gruppenaxiome damit nicht erfüllt?

Betrachten wir der Einfachheit halber den Fall, dass G nur aus 2 Elementen besteht, z.B. G={a,b}, mit der dann durch

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c|cc} * &a &b\\ \hline a &a &a\\b &b &b \end{array} \end{eqnarray*}$

erklärten Operation *. Wo siehst du hier ein Einselement?

02.03.2011, 18:34

Grupp

Auf diesen Beitrag antworten »

Mystic:
Ich sehe lauter Einsen, smile

.
Einselement == (Rechteins=Linkseins) ?
In der Gruppentheorie wird die Eindeutigkeit von 1 erst bewiesen, d.h |G| zunächst unbekannt.

abc2011:
Die Gr.axiome lassen sich, meiner Meinung nach, in der Literatur sprachlich
mehrdeutig interpretieren. Würde es heißen, es gibt GENAU ein e: x*e=x für alle x, so wäre es falsch, denn Eindeutigkeit wäre vorausgesetzt.

Müßten die Axiome nicht heißen (?):

2) Es gibt MINDESTENS eine Einsfunktion:
G->G mit x -> x*e1=x und e1,e2...ei Element G.
3) Für alle x gilt: zu jedem x gibt es mindestens ein x': x*x'=ei .

Dann ist {a,b} bestimmt keine Gruppe, außer aus Verknüpfung und Axiomen ließe sich a=b beweisen.

02.03.2011, 19:00

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Grupp
Mystic:
Ich sehe lauter Einsen, smile

.
Einselement == (Rechteins=Linkseins) ?

Komisch, ich sehe keine einzige Eins, ja nichteinmal eine Linkseins... Was wäre deiner Meinung nach z.B. eine Linseins in meinem Beispiel, d.h., ein $\begin{eqnarray*} e \in \{a,b\} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} ea=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} eb=b \end{eqnarray*}$ ?

02.03.2011, 19:40

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Grupp

Müßten die Axiome nicht heißen (?):

2) Es gibt MINDESTENS eine Einsfunktion:
G->G mit x -> x*e1=x und e1,e2...ei Element G.

Es genügt ja vorauszusetzen, dass es mindestens ein linksneutrales Element gibt, allerdings muss man dann auch voraussetzen, dass es zu jedem Element mindestens ein Linksinverses gibt.

Aus all dem folgt dann jeweils die Eindeutigkeit der Neutralen und Inversen.

Die Beweise dazu kannst Du Dir mal selbst überlegen.

02.03.2011, 21:00

Grupp

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, habe kapiert.
Jetzt abschließend zu meiner Eingangsbehauptung.
Durch Widerspruch mittels zweier Spezialfälle habt ihr die Beh. widerlegt.
Wie beweist man das allgemein aus den Axiomen?
Bei den Gr.axiomen ist das für die Links-/Rechtseins doch
auch möglich.

02.03.2011, 22:59

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, _sunflower_ hat oben einen Ansatz gepostet, der noch einen Mangel hatte.

Ich rekaputliere mal.

Es gebe ein $\begin{eqnarray*} e \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ea = a \quad (*) \end{eqnarray*}$ .
Und für alle $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ gebe es $\begin{eqnarray*} a^{-1} \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^{-1}a = e \quad (**) \end{eqnarray*}$ .

Wir zeigen dass $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ auch Rechtsinverses ist:
$\begin{eqnarray*} aa^{-1} \stackrel{(*)}{=} e(aa^{-1}) \stackrel{(**)}{=} \left( \left(a^{-1}\right)^{-1}a^{-1} \right) aa^{-1} \stackrel{(**)}{=} \left(a^{-1}\right)^{-1} (ea^{-1}) \stackrel{(*)}{=} \left(a^{-1}\right)^{-1}a^{-1} \stackrel{(**)}{=} e \end{eqnarray*}$

Wie könnte man nun schließen, dass $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ auch rechtsneutral ist?

02.03.2011, 23:26

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Wir zeigen dass $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ auch Rechtsinverses ist: [...]

Also ich mach das immer in 2 Schritten, von denen jeder für sich genommen sehr einprägsam ist, nämlich

1. $\begin{eqnarray*} aa^{-1} \end{eqnarray*}$ ist ein Idempotent (einfach Nachrechnen!)
2. Das einzige Idempotent ist aber offensichtlich e.

02.03.2011, 23:35

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den guten Hinweis. Das ist nicht so ein Gewürge.

04.03.2011, 13:06

Grupp

Auf diesen Beitrag antworten »

G2: Rechtseins e, G3: Linksinverses LI a' u. a'' zu a'.

42:
(a''e)a'=a''(ea')=...

..jetzt fordere die allg. Bedingung B: a''=a (also LILI=a).
Dieses ist allgemeiner als Impotenz aa=a (also a'=a) zu

fordern. Allerdings....

...=a(ea')=(ae)a'=(a)a'=e, daher ea' auch Rechtseins.
Frage: ea'=e (?).

Mit a=a(ea')=(ae)a'=aa' (*)
(*)=> a'a=a'(aa')=ea'=(nach G3)=e, also ea'=e (!).

(*)=> aa=(aa')a=a(a'a)=a(e)=a (Idempotenz).
Jetzt:
ee=e(a'a)=(ea')a=(e)a=e=ae (Einselement)#

Schluß:
Mit Forderung B ist G eine Gruppe, sonst nicht (?).
Ist alles o.k?
Gibt es eine schwächere Forderung als B?

04.03.2011, 13:08

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich steig da nicht durch: Bitte LaTex!

04.03.2011, 18:35

Grupp

Auf diesen Beitrag antworten »

Mist, ich habe Rechtsinvers mit Rechtseins verwechselt!
Es muß heißen:

e=(a''e)a'= (mit B) =.....

...=a(ea')=(ae)a'=(a)a'=e, daher ea',a' beides

Rechtsinverse.
Frage: ea'=a' (?).

Mit (e)a'=(a'a)a'=a'(aa')=a'(e)=a' (!).
Außerdem gilt:
ae=a(a'a)=(aa')a=ea Einselement ex. =>Gruppe #

Sagt bitte, daß es jetzt stimmt.

Neue Frage »

Antworten »

Verschoben! Gruppe

Verwandte Themen