Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung

01.03.2011, 19:27

studYY

Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung

Guten Abend smile

Ein Ballon startet im Punkt A (2|5|0).
Er bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit und ist nach einer Stunde im Punkt B(4|8|1).
Beim Start des Ballons befindet sich ein Flugzeug im Punkt C(10|15|1) und fliegt geradlinig mit 90km/h in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(alle Koordinaten in km).

1. Wie weit ist der Punkt C vom Startplatz A des Ballons entfernt?
2. Wie viele Minuten nach dem Start des Ballons kommen sich der Ballon und das Kleinflugzeug am nächsten?
Wie weit sind sie in diesem Augenblick voneinander entfernt?

Ansatz:
Zu 1. :

$\begin{eqnarray*} \vec{AC} \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |AC| = \sqrt{8^{2}+10^{2}+1^{2} }=12.85 \end{eqnarray*}$
Entfernung: 12.85km

Ich denke die erste Aufgabe ist noch sehr leicht, bei der zweiten habe ich aber meine Probleme:

Ich stelle erstmal beiden Geradengleichungen auf:

$\begin{eqnarray*} gB: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} gF: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 15 \\ 1 \end {pmatrix} + q * \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Geschwindigkeit Flugzeug: 90km/h
Geschwindigkeit Ballon: $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |AC| = \sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2} }=3.74 \end{eqnarray*}$

Laut Aufgabenstellung brauch der Ballon eine Stunde dafür, demnach
Geschwindigkeit Ballon: 3.74km/h

Ich muss doch die Geschwindigkeit in den Geradengleichungen berücksichtigen, um Aufgabe 2. zu lösen?
Aber wie stelle ich das an?

Danke für jede Hilfe. smile

01.03.2011, 19:43

riwe

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RE: Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung
dazu mußt du die richtungsvektoren normieren und mit der geschwindigkeit - eigentlich deren betrag - multiplizieren

01.03.2011, 19:48

studYY

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RE: Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung
Danke, dass du mir wieder hilfst riwe smile

Was bedeutet normieren?
Der Begriff ist im Unterricht noch nicht gefallen verwirrt

01.03.2011, 20:00

riwe

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RE: Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung
das bedeutet den vektor auf die länge 1 stutzen Augenzwinkern

z.b

$\begin{eqnarray*} \vec{v}=(1,2,3)^T\to \vec{v}_0=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^3}}\cdot(1,2,3)^T \to |\vec{v}_0|=1 \end{eqnarray*}$

damit kannst du nun "messen"

01.03.2011, 21:16

studYY

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RE: Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung
Okey, ich normiere beide Richtungsvektoren:

$\begin{eqnarray*} \vec{Rb}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{14} } =\begin{pmatrix} 0.53 \\ 0.8 \\ 0.27 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{Rf}= \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{9} } =\begin{pmatrix} -0.33 \\ 0.67 \\ 0.67 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So und diese Vektoren muss ich nun mit den passenden Geschwindigkeiten multiplizieren?

01.03.2011, 21:26

riwe

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RE: Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung
da machst du dir zuviel arbeit

$\begin{eqnarray*} \vec{v}_{ballon}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}\cdot (2,3,1)^T \end{eqnarray*}$

und analog für den flieger.

01.03.2011, 21:36

studYY

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RE: Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung
Aber bei

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{v}_{ballon}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}\cdot (2,3,1)^T \end{eqnarray*}$

stuzen wir den Vektor doch nicht auf 1, sondern mutliplizieren ihn nur mit 1, oder etwa nicht?

Zitat:

(2,3,1)^T

Ist das der Vektor oder der Betrag des Vektors?

01.03.2011, 22:22

riwe

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RE: Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung
zu 1) nein, das ist hier nur deshalb 1, weil das genau die strecke ist, die der ballon in 1 stunde zurücklegt Augenzwinkern

beim flieger hast du als faktor $\begin{eqnarray*} \frac{90}{3}\neq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a,b,c)^T \equiv \begin{pmatrix} a \\b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (die transponierte )
sozusagen um platz zu sparen Augenzwinkern

01.03.2011, 22:56

studYY

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RE: Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung
smile

Ok, nur nochmal zum Verständnis
( hab noch nie etwas normiert und kann leider noch nicht ganz folgen Wink

).

Ich habe also zwei Geradengleichungen, eine vom Ballon und eine vom Flugzeug.
Ich nehme mal die vom Ballon als Beispiel:
Auf dieser Geradengleichung beschreibt mein Richtungsvektor den Abstand zwischen zwei Punkten.
Und diesen Abstand verkürze ich nun auf den Wert 1.
Der Abstand zwischen den Punkten, also die Länge des Vektors entspricht der zurückgelegten Strecke des Ballons ( zwischen den Punkten )
Das heißt der Vektor beschreibt dann nur noch die Länge von einem Kilometer.
Und diesen speziellen Vektor multipliziere ich nun mit der Geschwindigkeit aber warum?
1km * 3km/h =3k²/h verwirrt

Mathematisch geht das so:

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=(1,2,3)^T\to \vec{v}_0=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^3}}\cdot(1,2,3)^T \to |\vec{v}_0|=1 \end{eqnarray*}$

Ist der Zähler für die Normierung allgemein immer 1, oder wofür steht hier die 1?

Tut mir Leid, wenn ich nerve unglücklich

01.03.2011, 23:10

riwe

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RE: Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung
1) du mußt mit der entsprechenden geschwindigkeit multiplizieren,
dann hast du eine (geraden)gleichung, die angibt, wohin und wie schnell sich der ballon in der zeit t bewegt.

2) der nenner ist immer 1, schau dir bitte dazu noch einmal an, wie ein vektor normiert wird, bzw. was das bedeutet
wenn wir das beispiel ballon nehmen:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=(2,5,0)^T+t*\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}(1,2,3)^T \end{eqnarray*}$
so bedeutet dies - da wir als einheit km/h haben:

nach 1 stunde ist der ballon geflogen:

insgesamt $\begin{eqnarray*} d=\sqrt{14} \end{eqnarray*}$ km und davon $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{14}}\cdot\sqrt{14}=1 \end{eqnarray*}$ in x-richtung, sagen wir nach süden, $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{14}}\cdot\sqrt{14} \end{eqnarray*}$ km nach osten/westen und letzlich $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt{14}}\cdot\sqrt{14} \end{eqnarray*}$ km in den himmel also nach oben, wenn die z-richtung nach oben zeigt, sonst wäre es schlimm Augenzwinkern

01.03.2011, 23:35

studYY

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RE: Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung
Analog für den Flieger wäre es:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=(10,15,1)^T+t*\frac{90}{3}(-1,-2,2)^T \end{eqnarray*}$

Richtig?

02.03.2011, 08:44

riwe

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RE: Anwendungsaufgabe: Vektorrechnung
Freude

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