Grenzwert

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Stef- Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert
Hi,

kann man den folgenden Grenzwert so berechnen:



oder habe ich mir das zu leicht gemacht?

Danke!
hellraiser Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert
Das sollte so gehen, wenn du den Zähler richtig "runtergebracht" hast
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert
Wieso die Umformung? Schauen wir uns
an.

Der Zähler geht gegen Null und der Nenner gegen -unendlich.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Warum so kompliziert?
Setz doch einfach ein
hellraiser Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, warum einfach wenns auch schwer geht Augenzwinkern

Hier lernt man echt einiges dazu
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pseudo-nym
Warum so kompliziert?
Setz doch einfach ein


dir ist schon klar, dass du das so nicht schreiben kannst, denn

ist unbestimmt
 
 
El_Snyder Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke er hat sich einfach das lim gespart Big Laugh
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

das ändert nichts.
ich darf ja auch nicht einfach schreiben:
El_Snyder Auf diesen Beitrag antworten »

warum? der funktionswert nähert sich für x -> unendlich der stelle 0, also ist der entsprechende grenzwert = 0
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

du hast es schon gesagt, der grenzwert ist null, aber der bruch bzw. wenn du es lieber als funktion hast, ist immer grösser bzw. kleiner als null.
ausserdem ist keine zahl und somit kann man damit auch nicht rechnen. mit kannst du lediglich rechnen, wenn du das als symbol für einen grenzwert zulässt.

dazu ein beispiel:
sei
und
(was man so schreiben kann, wenn man weiss, dass es sich um einen grenzwert handelt)

in dem sinne wäre dann z.b. (nach den grenzwertsätzen) aber ein sinnvolles rechnen erlaubt das nicht.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal, dir ist aber schon klar das



für



steht und der Grenzwert ist doch Null, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn der Grenzwert Null ist, gibt es zu deiner Schreibweise einiges anzumerken.

1. Die Schreibweise mit dem Doppelpunkt habe ich bislang nur bei dir gesehen und ist meines Wissens keine unter Mathematikern anerkannte Schreibweise.

2. Der Term ist nicht definiert, weil es die Zahl "unendlich" einfach nicht gibt.

3. Selbst wenn es unendlich als Zahl gäbe, ist der Ausdruck doppelt gemoppelt und damit sinnfrei, da du den Grenzwert x gegen Null ja schon vollzogen hast.

Das "Unendlich"-Zeichen darf nur als Zeichen für den Grenzübergang oder als Grenzwert, wenn dieser nach unendlich divergiert, geschrieben werden. Das mag etwas pingelig sein, verhindert aber solche Schnellschüße wie:

pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Die Schreibweise hab ich von meinem Mathelehrer, aber wenn das nicht Standard ist, dann lass ich das in Zukunft.

Gibt es vielleicht ein anderes Zeichen mit dem man sich bei Umformungen sparen kann?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also meines Wissens nicht. Aber vielleicht hat sich da in den letzten 20 Jahren eine Konvention herausgebildet, die ich noch nicht kenne.

Alternativ kann man ja den Term erstmal ohne das lim umformen und den Grenzwert dann am Schluß bilden.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ob diese Schreibweise eine neue Standart ist, entzieht sich ebenfalls meiner Kenntnis. Aber ein neuer Standard ist das jedenfalls nicht. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte man nicht rechnen dürfen? Ich sehe dahinter kein Problem. Es ist ja nicht zu bestreiten, daß oder keine reellen Zahlen sind. Dem widerspricht jedoch nicht, daß für diese Elemente dennoch gewisse Rechenregeln gelten, zum Beispiel die obige. Auch mit der Zahl gibt es ja Probleme, etwa bei der Division durch . Muß man deshalb diese Zahl auch in anderen Situationen verbieten, etwa ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Warum sollte man nicht rechnen dürfen? Ich sehe dahinter kein Problem. Es ist ja nicht zu bestreiten, daß oder keine reellen Zahlen sind. Dem widerspricht jedoch nicht, daß für diese Elemente dennoch gewisse Rechenregeln gelten, zum Beispiel die obige. Auch mit der Zahl gibt es ja Probleme, etwa bei der Division durch . Muß man deshalb diese Zahl auch in anderen Situationen verbieten, etwa ?


hallo leopold,
ich freue mich, dich wieder hier zu sehen!
werner
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Warum sollte man nicht rechnen dürfen?

Weil der Ausdruck genauso wenig definiert ist wie . Jedenfalls habe ich das vor 20 Jahren so gelernt. Falls sich in dieser Hinsicht in der Mathematik allgemein anerkannte weitergehende Definitionen ergeben haben sollten, wäre ich für entsprechende Literaturhinweise dankbar.
Anonymer Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold


Wenn mich nicht alles Täuscht wird hierbei eine Grenzwertbetrachtung durchgeführt, wenn man nun annimmt dass der Nenner geht und der Zähler eine unedndlich Große Reele Zahl darstellt, also geht, geht Notgedrungen der Funktionswert gegen Null.

z.B:



dann geht der Zähler und der Nenner daraus resultiert in etwas ungewöhnlischer Schreibweisse


warum sollte man das dann nicht so schreiben dürfen??
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die Gefahr, daß ich mich wiederhole, dieser Ausdruck ist nicht definiert:



Erst wenn es in der mathematischen Fachwelt und -literatur eine allgemein anerkannte Definition davon gibt, werde ich meinen Einspruch zurückziehen.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Weil der Ausdruck genauso wenig definiert ist wie .

Naja da gibt es eine kleine Gruppe von Mathematikern, die sich Funktionentheoretiker nennen, die rechnen mit , als wenn es ein fester Punkt wär. Ich war neulich bei einem Vortrag von Walter K. Hayman (zum Kolloquium für R. Kühnau) - Zitat:

"Let be a fix point of , i.e. ..."

oder noch ein weiteres schönes:

"Let be in the neighbourhood of infinity ...". Augenzwinkern



PS. Schön dass du wieder mal reinschaust, Leopold. http://4fxearth.net/phpBB2/smilies_mod/upload/2d90b895dd45ed3cc55332ea0ccf5f2b.gif
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für das Rechnen mit und als die Elemente der Zweipunktkompaktifizierung von gibt es Rechenregeln. Hier die wichtigsten (mit ist dabei immer eine reelle Zahl gemeint):












Wenn man diese Regeln so festlegt, gelten die Grenzwertsätze auch, wenn die Glieder oder als Grenzwert besitzen. Ein Beispiel:



So eine Regel ist ja genauer immer so zu lesen (auch im Falle eigentlicher Grenzwerte): Falls die Grenzwerte auf der rechten Seite existieren, so existiert auch der Grenzwert auf der linken Seite, und es gilt Gleichheit. Für den Grenzübergang sind bei auch oder sowie einseitige Grenzwerte zulässig.

Um das Beispiel weiterzuführen:





Aber Vorsicht! Andere Regeln als die oben genannten gelten nicht von vorneherein. So ist es z.B. nicht sinnvoll, für eine Regel festzulegen, weil die Existenz und der Wert des Grenzwertes von den Funktionen und beim Produkt abhängen. Solche Ausdrücke heißen daher auch "unbestimmte Ausdrücke".

@ DualSpace

Das in der Funktionentheorie ist natürlich ein anderes. Dort steht es für die Einpunktkompaktifizierung von .
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Das in der Funktionentheorie ist natürlich ein anderes. Dort steht es für die Einpunktkompaktifizierung von .

Jetzt wird es für mich interessant, denn seit diesem Vortrag versuche ich die "Umgebung von Unendlich" mal formal aufzuschreiben, bin bisher aber irgendwie noch auf keinen grünen Zweig gekommen.

Hast du eine Idee, wie man das macht?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Ergänzend sollte man noch eine geeignete Metrik für diese Topologie angeben, z.B. mit



P.S.: Auch ich freue mich, dass du auch offiziell wieder da bist. Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
noch eine geeignete Metrik für diese Topologie


... und hier gibt's ein Bildchen dazu
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