Inneres, Abschluss

02.03.2011, 00:13

Thomas007

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Inneres, Abschluss

Guten Abend, liebe Matheboard'ler!

Da ich auch nach dem Durchlesen der Definitionen von den Begriffen "Inneres" und "Abschluss" noch nicht richtig sattelfest bin, würde ich die Begriffe gerne noch einmal durchgehen.
Im Skript steht, dass das Innere von Q die leere Menge sei. Aber wieso? Man kann doch leicht eine Zahl aus Q finden, die nahe genug von bspw. 1/3 ist.
Der Abschluss ist IR, was für mich nur teilweise nachvollziehbar ist. 1/2 z.B. ist ja in Q, wie auch in IR. Also kann 0.5 doch kein äusserer Punkt sein? :S
(alternatives Beipsiel wäre IR \ IN)

Für eine Aufklärung bin ich sehr dankbar!
Gute Nacht, Thomi

02.03.2011, 00:33

zweiundvierzig

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RE: Inneres, Abschluss

Zitat:

Original von Thomas007
Im Skript steht, dass das Innere von Q die leere Menge sei. Aber wieso? Man kann doch leicht eine Zahl aus Q finden, die nahe genug von bspw. 1/3 ist.

Sicher, aber das ist nicht das Entscheidende.

Das innere einer Menge ist die größte offene Teilmenge. Es gibt aber kein Intervall in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ : Jedes $\begin{eqnarray*} (a,b) \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ enthält unendlich viele Löcher, da die irrationalen Zahlen fehlen. Es ist $\begin{eqnarray*} (a,b) \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ keine offene Menge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Somit kann $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ keine nichtleere Menge enthalten, die in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ offen ist. Entsprechend ist das Innere der rationalen in den reellen Zahlen leer.

Zitat:

Original von Thomas007
Der Abschluss ist IR, was für mich nur teilweise nachvollziehbar ist. 1/2 z.B. ist ja in Q, wie auch in IR. Also kann 0.5 doch kein äusserer Punkt sein? :S
(alternatives Beipsiel wäre IR \ IN)

Ein nichtleerer Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist nicht mit seinem Abschluss disjunkt, es gilt $\begin{eqnarray*} \overline X = X \cup \partial X \end{eqnarray*}$ . Dass $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb Q} = \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgt, da bereits $\begin{eqnarray*} \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Letzteres kannst Du Dir überlegen, indem Du Dir für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ anguckst. Was lässt sich dann über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \cap I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \cap I \end{eqnarray*}$ sagen?

02.03.2011, 01:00

Thomas007

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RE: Inneres, Abschluss
Danke für die Erklärungen.
Könntest du - zur Kontrolle - die folgenden Ergebnisse überprüfen?
für IR^n \ IN^n :

Inneres: { }
Abschluss: IR^n
Rand: IR^n

Liebe Grüsse, Thomi

02.03.2011, 01:28

zweiundvierzig

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Über Deine Vorschläge bezüglich Innerem und Rand solltest Du nochmal nachdenken.

Um das Innere zu ermitteln, betrachte mal einen Punkt $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \setminus \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Damit dieser Punkt ein innerer Punkt ist, muss es ein Intervall um $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geben, das keine natürliche Zahl enthält. Gelingt das so ohne weiteres?

Zum Rand überleg Dir folgendes: für welche Punkte in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, dass jeweils alle ihre Umgebungen natürliche Zahlen enthalten?

02.03.2011, 22:43

Thomas007

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Ooh stimmt.
Ich korrigiere: Inneres: IR^n
Rand: IN

Hättest du mir evtl. auch zum Abschluss ein so gutes Vorgehen, wie man den Abschluss finden kann?

Beste Grüsse und vielen Dank,
Thomi

02.03.2011, 23:05

zweiundvierzig

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Es wäre gut, wenn Du Deine Ergebnisse auch begründen könntest, damit man Deinen Gedankengang nachvollziehen und direkt darauf eingehen kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Thomas007
Ich korrigiere: Inneres: IR^n

Das Innere muss Teilmenge des Raumes sein, es kann also nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ das Innere unseres betrachteten Raums sein. Aber möglicherweise bist Du auf der richtigen Spur.

Zitat:

Original von Thomas007
Rand: IN

Ja, das stimmt an sich, wobei Du hier natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb N^n \end{eqnarray*}$ sagen musst, wenn Du Dich in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ befindest.

Edit:

Zitat:

Original von Thomas007
Hättest du mir evtl. auch zum Abschluss ein so gutes Vorgehen, wie man den Abschluss finden kann?

Wie schon gesagt, es genügt auf jeden Fall, den Rand zu kennen. Wenn man bereits weiß, dass die vorliegende Menge abgeschlossen ist, dann weiß man auch, dass sie selbst gleich ihrem Abschluss ist.

Du kannst Dir mal überlegen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} X^\circ = X \iff \text{$X$ ist offen} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline{X} = X \iff \text{$X$ ist abgeschlossen} \end{eqnarray*}$

Außerdem hat man im Kontext metrischer Räume ja, dass der Abschluss $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ aus allen Grenzwerten von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ -wertigen Folgen besteht. Damit ist ein metrischer Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ genau dann abgeschlossen, wenn alle konvergenten Folgen mit Gliedern in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ihren Grenzwert haben.

Im Beispiel der ersten Aufgabe $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb Q} = \mathbb R \end{eqnarray*}$ bekommt man daher, dass jede reelle Zahl durch eine Folge rationaler Zahlen approximiert werden (z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ).

Gilt für $\begin{eqnarray*} Y \subset X \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \overline{Y} = X \end{eqnarray*}$ sagt man auch, $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ liegt dicht in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Das Beispiel von $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb Q} = \mathbb R \end{eqnarray*}$ illustriert diese Bezeichnung.

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02.03.2011, 23:19

Thomas007

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RE: Inneres, Abschluss
Okey. Also kann das Innere IR^n \ IN^n sein? ..also genau die vorgegebene Menge?
Weil: Man kann sich zB die reelle Zahl 0.9 nehmen. In einer genügend grossen Umgebung liegt die natürliche Zahl 1, welche wir aber nicht berücksichtigen. Das kann man mit allen Zahlen machen --> Innere = IR^n \ IN^n.

02.03.2011, 23:26

zweiundvierzig

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RE: Inneres, Abschluss

Zitat:

Original von Thomas007
Okey. Also kann das Innere IR^n \ IN^n sein? ..also genau die vorgegebene Menge?

Deine Antwort ist richtig, die Begründung aber nicht ganz. Im übrigen Du solltest Dich schon entscheiden, in welcher Dimension Du Dich befindest. Ich beschränke mich der Einfachheit halber jetzt mal auf $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Thomas007
Weil: Man kann sich zB die reelle Zahl 0.9 nehmen. In einer genügend grossen Umgebung liegt die natürliche Zahl 1

Hier müsste es so weitergehen: "...wir können aber eine sehr kleine Umgebung wählen, welche die 1 nicht enthält, d.h. 0.9 ist ein innerer Punkt".
Das ist genau die Anschauung, die man dabei haben muss.

Zitat:

Original von Thomas007
[...] welche wir aber nicht berücksichtigen.

Das kann man der Stelle so nicht sagen. Ja, die 1 liegt nicht in unserer Ausgangsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Aber würden wir mit jeder Umgebung um 0.9 auch die 1 treffen, dann läge jede Umgebung ja auch zu einem Teil außerhalb des Raumes $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb N \end{eqnarray*}$ , womit 0.9 kein innerer Punkt wäre (sondern ein Randpunkt).

02.03.2011, 23:39

Thomas007

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RE: Inneres, Abschluss
Okey.
Ich versuche, das mit anderen Beispielen etwas zu festigen.

03.03.2011, 10:28

Thomas007

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RE: Inneres, Abschluss
Gibt es noch mehr solche Saetze a la:
$\begin{eqnarray*} X^\circ = X \iff \text{$X$ ist offen} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline{X} = X \iff \text{$X$ ist abgeschlossen} \end{eqnarray*}$
?

Und noch eine Frage: Was macht man, wenn die Menge weder abgeschlossen noch offen ist?

03.03.2011, 21:52

zweiundvierzig

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RE: Inneres, Abschluss

Zitat:

Original von Thomas007
Gibt es noch mehr solche Saetze a la:
$\begin{eqnarray*} X^\circ = X \iff \text{$X$ ist offen} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline{X} = X \iff \text{$X$ ist abgeschlossen} \end{eqnarray*}$
?

Ich weiß nicht, was Du konkret suchst. Aus $\begin{eqnarray*} \partial X = \overline{X} \setminus X^\circ \end{eqnarray*}$ folgt z.B., dass der Rand immer abgeschlossen ist. Ansonsten würde ich Dir Literatur zur allgemeinen Topologie empfehlen, z.B. Querenburg: "Mengentheoretische Topologie" oder Bredon: "Topology and Geometry" (beide Springer).

Zitat:

Original von Thomas007
Und noch eine Frage: Was macht man, wenn die Menge weder abgeschlossen noch offen ist?

Du meinst, wie man in solchen Fällen Inneres oder Abschluss findet? Es gibt da kein allgemein bestes Vorgehen zur Argumentation, das hängt von der Menge ab.

03.03.2011, 22:19

Thomas007

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RE: Inneres, Abschluss
Was wäre also zum Beispiel das Innere, der Abschluss und der Rand dieser Menge?:
(die y-Achse gehört nicht mehr dazu, der Rand allerdings schon (und alles, was drinnen liegt))

[attach]18459[/attach]

(und auf was achtest du hier genau?)

03.03.2011, 22:44

zweiundvierzig

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Du betrachtest also als Menge das ausgefüllte berandete Dreieck durch (0,-1), (0,1) und (-1,0)?

Was sind denn Deine Vermutungen?

03.03.2011, 22:56

Thomas007

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Also, meine Vermutungen sind, dass das Innere alles innerhalb der Beschränkung ist (also kleiner als) [wie würde man das mathematisch korrekt aufschreiben?], der Rand ist halt die Berandung, also die rote Strecke plus die Teilstrecke auf der Achse und der Abschluss ist Inneres und Rand zusammen.
[und wieder die Frage, wie man das denn (falls es stimmt), mathematisch korrekt schreiben würde?]

03.03.2011, 23:12

zweiundvierzig

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Ja, deine Vermutungen sind richtig. Begründen kannst Du das, indem Du für die anschaulich inneren Punkte kleine Kugeln wählst, die den "Rand" nicht streifen, d.h. deren Radius jeweils kleiner ist als Abstand $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ des gewählten Punktes zum nächstliegenden Punkt auf der Berandung. Man kann z.B. den Radius als $\begin{eqnarray*} \varepsilon/2 \end{eqnarray*}$ wählen.

Für die Punkte auf der Berandung gilt, dass jede Umgebung sowohl das Innere des Dreiecks als auch Punkte außerhalb des Dreiecks trifft.

Um das sinnvoll aufzuschreiben, musst Du Dir eben Punkte und geeignete Abstände bezüglich der euklidischen Metrik wählen.

Man kann das ganze auch etwas globaler sehen, wenn man weiß, dass topologisch gesehen ein berandetes Dreieck das gleiche ist wie eine berandete Kreisscheibe (man sagt, sie sind Homöomorph). Anschaulich gesprochen lassen sich beide Figuren stetig ineinander verformen, wobei Betrag der Fläche und Existenz von Ecken keine Rolle spielen.

03.03.2011, 23:28

Thomas007

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Hmm..na, dann würd ich mir mal die Punkte (0,1), (-1,0), (0,-1) nehmen und sagen, dass der Abstand zwischen ihnen wurzel aus 2 ist, ausser natürlich zwischen (0,1) und (0,-1). Da ist er 2.

Aber sehr formal ist das noch nicht..
Das ist eher mein Problem / meine Frage, wie man das "schön" formal beschreiben kann.

04.03.2011, 01:10

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Thomas007
Hmm..na, dann würd ich mir mal die Punkte (0,1), (-1,0), (0,-1) nehmen und sagen, dass der Abstand zwischen ihnen wurzel aus 2 ist, ausser natürlich zwischen (0,1) und (0,-1). Da ist er 2.

Worauf möchtest Du damit hinaus?

Zitat:

Original von Thomas007
Aber sehr formal ist das noch nicht..
Das ist eher mein Problem / meine Frage, wie man das "schön" formal beschreiben kann.

Hier mal ein Ansatz zur Formalisierung bezüglich meines vorigen Postings. Sei $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ das "Dreiecksinnere" und $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ der "Rand" (das explizite Aufschreiben der Punktmengen überspringe ich mal). Für $\begin{eqnarray*} x \in \Delta \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon := \inf_{p \in R} d(x,p) \end{eqnarray*}$ . Jeder Punkt $\begin{eqnarray*} p \in \Delta^C \end{eqnarray*}$ hat dann von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einen Abstand von mindestens $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ (Warum?), kann also nicht in $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon/2}(x) \end{eqnarray*}$ liegen.

Das bedeutet $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon/2}(x) \subset \Delta \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt ist.

04.03.2011, 17:48

Thomas007

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Okey. Ich verstehe.
Ich hätte eben an etwas à la "IR ohne blabla" gedacht - aber so ist es nicht nur korrekt, sondern auch nachvollziehbar smile

smile

Wie sähe es aber bei der Menge $\begin{eqnarray*} \{ 0 < x_i < 1 \} \end{eqnarray*}$ als Teilmenge des IR^2 aus?
Hier ist zB das Innere alles, was zwischen 0 und 1 liegt. Aber wie schreibt man das formal? (Hier müsste es doch möglich sein, es à la (0,1) (wie es in IR^1 wäre) zu schreiben, nicht?)

Liebe Grüsse, Thomi

05.03.2011, 03:27

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Thomas007
Wie sähe es aber bei der Menge $\begin{eqnarray*} \{ 0 < x_i < 1 \} \end{eqnarray*}$ als Teilmenge des IR^2 aus?

Meinst Du $\begin{eqnarray*} (0,1) \times \{0\} \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ? Das ist nicht offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , wie Du Dir geometrisch überlegen kannst.

Hingegen ist $\begin{eqnarray*} (0,1) \times (2,3) \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ offen, denn allgemein sind endliche Produkte offener Mengen wieder offen. Das Stichwort lautet Produkttopologie.

05.03.2011, 12:57

Thomas007

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Hm - ich weiss nicht, ob das wirklich gemeint ist.
Man soll für die folgende Teilmenge des IR^n das Innere, Rand, Abschluss angeben: Falls n=2, A={(x_1, ..., x_n) aus IR^n | 0 < x_1 < 1}

Kann man in diesem Fall nicht auch "alles, was zwischen 0 und 1 liegt" (für das Innere) formal beschreiben?

05.03.2011, 13:02

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Thomas007
Hm - ich weiss nicht, ob das wirklich gemeint ist.
Man soll für die folgende Teilmenge des IR^n das Innere, Rand, Abschluss angeben: Falls n=2, A={(x_1, ..., x_n) aus IR^n | 0 < x_1 < 1}

Es wäre gut, wenn Du die Objekte genauso notieren könntest, wie sie auf dem Blatt stehen. Wenn das die gleiche Menge wie im vorherigen Beitrag sein soll, weiß ich jetzt immer noch nicht, ob $\begin{eqnarray*} \{ (x_1, x_2) \in \mathbb R^2 \colon 0 < x_i < 1 \} = (0,1) \times (0,1) \end{eqnarray*}$ gemeint ist oder vielleicht auch $\begin{eqnarray*} \{ (x_1, x_2) \in \mathbb R^2 \colon 0 < x_1 < 1, x_2 \in \mathbb R \} = (0,1) \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Thomas007
Kann man in diesem Fall nicht auch "alles, was zwischen 0 und 1 liegt" (für das Innere) formal beschreiben?

Punkte sind durch zwei Koordinaten gegeben, daher hängen die topologischen Eigenschaften eben davon ab, wie der zweite kartesische Faktor bei der Menge aussieht.

05.03.2011, 13:14

Thomas007

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Es brauchte auch etwas Zeit, bis ich den Ausdruck richtig interpretiert habe. Aber es ist wohl die zweite Variante richtig (da es wirklich eine 1 ist im Indizes, kein "i". Das heisst: $\begin{eqnarray*} A = \{ (x_1, x_2) \in \mathbb R^2 \colon 0 < x_1 < 1, x_2 \in \mathbb R \} = (0,1) \times \mathbb R \end{eqnarray*}$

Das heisst also:
Inneres der Menge A: $\begin{eqnarray*} (0,1) \times \mathbb R \end{eqnarray*}$
Rand: {0,1} (kann das sein?)

05.03.2011, 13:19

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Thomas007
Das heisst also:
Inneres der Menge A: $\begin{eqnarray*} (0,1) \times \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ja, das ist richtig.

Zitat:

Original von Thomas007
Rand: {0,1} (kann das sein?)

Ich sag mal, das ist fast richtig. Die Menge $\begin{eqnarray*} \{ 0, 1\} \end{eqnarray*}$ liegt nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

05.03.2011, 13:23

Thomas007

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Zitat:

Ich sag mal, das ist fast richtig. Die Menge $\begin{eqnarray*} \{ 0, 1\} \end{eqnarray*}$ liegt nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Okey, genau das hab ich gedacht smile

smile

Man schreibt also $\begin{eqnarray*} \{ 0, 1\} \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

05.03.2011, 13:28

zweiundvierzig

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Ja, genau. smile

smile

Mal Dir das ganze mal als Bild auf. Du hast dann den unberandeten senkrechten Streifen $\begin{eqnarray*} (0,1) \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ , der von den Geraden $\begin{eqnarray*} \{0\} \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{ 1 \} \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ begrenzt wird. Dann solltes das ganze vielleicht noch etwas klarer werden.

05.03.2011, 13:38

Thomas007

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Besten Dank!
Gemalt hab ich's eben schon länger. Mir war nur nicht ganz klar, wie ich das formal korrekt beschreibe.
Nun ist es aber völlig nachvollziehbar und auch logisch smile

smile

Vielleicht trotzdem zur Kontrolle: Der Rand des angefügten Bildes ist also:
$\begin{eqnarray*} (0,1) \times (-1,0) \times (0,-1) \times \mathbb R^n \end{eqnarray*}$
(oder?)

05.03.2011, 13:52

zweiundvierzig

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Der topologische Rand des besagten Dreiecks sind gerade die drei Seiten. Aber so einfach kann man die nicht notieren, es handelt sich um Streckenabschnitte von Geraden, die zu keiner der Koordinatenachsen parallel sind.

Das, was Du aufgeschrieben hast, ist ein Würfel, der an jeden Punkt von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ geheftet wird.

Edit: Man kann die Seiten des Dreiecks durch stetige Wege parametrisieren.

05.03.2011, 14:05

Thomas007

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Hmm. Okey.
Mich dunkt, dass sowas mehr ein Thema der Geometrie / Topologie als der Analysis ist.
Ich denke auch, dass es reicht, anschaulich zu sehen, wo / was der Rand ist.

Also, nochmals vielen Dank für die Hilfe! smile

smile

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