Links- und Rechtseigenvektoren

02.03.2011, 10:20

charis

Links- und Rechtseigenvektoren

Ich habe hier ein Skript vor mir liegen, dessen Inhalt ich an einer Stelle so gut wie gar nicht verstehe. Eigentlich ist der Sachverhalt etwas komplexer und beinhaltet eine Herangehensweise mit DGLn, aber ich möchte es erst einmal allgemein versuchen.

Die Matrix $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}} \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ .

Um ihre $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ EV zu bestimmen, löst man zunächst

$\begin{eqnarray*} \det \bigl( \underline{\underline{A}} - \lambda \bigr) = \underline{0} \end{eqnarray*}$

und man erhält die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ .

Für die Bestimmung der Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \underline{x}_{i} \end{eqnarray*}$ nach

$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}} - \lambda \bigr) \cdot \underline{x}_{i} = \underline{0} \end{eqnarray*}$ , berechnet man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal

$\begin{eqnarray*} \bigl( \underline{\underline{A}} - \lambda \bigr) \cdot \underline{x} = \underline{0} \end{eqnarray*}$

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}} = \begin{pmatrix}5 & 1\\4 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigenwerte:
Das EW-Problem lautet:
$\begin{eqnarray*} 10 - 5 \lambda - 2 \lambda + \lambda^{2} - 4 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{1} = 6, \lambda_{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Eigenvektoren:
EV für EW 6:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & 1\\4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{2} = \alpha \Rightarrow x_{1} = -\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \alpha \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

EV für EW 1:
genau analog ...

... $\begin{eqnarray*} x = \alpha \begin{pmatrix}- \frac{1}{4}\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ist das alles bisher korrekt?

02.03.2011, 10:24

Airblader

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Hi,

solche Ergebnisse kannst du z.B. unter dem u.g. Link gleich selber korrigieren, das erspart dir die Zeit, auf Antworten zu warten. Bedenke bei den Eigenvektoren natürlich, dass es nur bis auf Vielfache gleich sein wird.

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm

air

02.03.2011, 10:27

charis

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Ok, danke ... ist dort durch lineare Rumschieberei im Grunde genomme das gleiche Ergebnis wie bei mir oder habe ich einen Fehler gemacht? Ich bin da total raus, daher frage ich nach.

02.03.2011, 10:33

Airblader

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Dein(e) Eigenvektor(en) für den Eigenwert 6 stimmen nicht. Man sieht dem LGS eigentlich auch sofort an, dass die Lösung $\begin{eqnarray*} x = \alpha\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein muss. Vermutlich hast du irgendwo einen Vorzeichenfehler in der Rechnung gehabt.

air

02.03.2011, 10:50

charis

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Stimmt ... danke! Es muss
$\begin{eqnarray*} -x_{1} + \alpha = 0 \Longrightarrow -x_{1} = -\alpha \end{eqnarray*}$ sein. War klar dass dann so ein kleiner Fehlder kommt. smile

Ok, dann mal zu Linkseigenvektoren. Durch die Formulierung

$\begin{eqnarray*} \bigl( \underline{\underline{A}} - \lambda \bigr) \cdot \underline{x}_{i} = \underline{0} \end{eqnarray*}$

berechnet man
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ,
was "rechts" steht. (Daher wird er wohl Rechtseigenvektor genannt?) Um die Linkseigenvektoren (Skript und Google/Wiki sagt das ist y) zu berechnen, stellt man die adjungierte Variante zu dem homogenen EW-Problem auf.
Da setzt es aus bei mir, genauer gesagt habe ich dazu nichts genaues gefunden, das ist eher so ein graues Feld. Ich würde halt gerne etwas "klares" als Rechenanleitung finden, damit ich mir das einmal selber vorrechnen und irgendwie gegenchecken könnte. =)

02.03.2011, 10:58

Airblader

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Auf wikipedia findet man eine hilfreiche Bemerkung:

Zitat:

Wegen $\begin{eqnarray*} x^T A = (A^T x)^T \end{eqnarray*}$ sind die Linkseigenvektoren von A gerade die Rechtseigenvektoren der transponierten Matrix $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$

Du musst deine Matrix also nur transponieren und dann das ganze Prozedere nochmal machen, so erhälst du die Linksvektoren.

air

02.03.2011, 11:19

charis

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Ok ... und davor steht:

Zitat:

Manchmal bezeichnet man einen so definierten Eigenvektor auch als Rechtseigenvektor und definiert dann entsprechend den Begriff des Linkseigenvektors durch die Gleichung
$\begin{eqnarray*} x^\top \cdot A= \lambda \, x^\top \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} x^{\top} \cdot A = (A^\top \cdot x)^\top \end{eqnarray*}$ sind die Linkseigenvektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gerade die Rechtseigenvektoren der transponierten Matrix $\begin{eqnarray*} A^\top \end{eqnarray*}$ .

Heißt das: Die Linkseigenvektoren sind die transponierten Rechtseigenvektoren, bzw. man definiert die erste Gleichung basierend darauf?
Aber ich merke schon dass die Frage an sich Schmu ist. Ich finde das so verwirrend, eine klare Aussage daraus kann ich nicht wirklich schließen.

Generelle Frage für das transponieren und anschließende neue Berechnen für die Linkseigenvektoren:
Wenn die Matrix A quadratisch ist, sind die neuen Eigenwerte und resultierenden Eigenvektoren doch genau die gleichen, weil bei quadratischen Matrizen ist die Determinante einer Matrix gleich ihrer Transponierten, oder?

02.03.2011, 11:24

Airblader

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Edit: Achtung, das stimmt nicht ganz, Korrektur siehe unten.

Ja, es gilt $\begin{eqnarray*} \det A = \det A^T \end{eqnarray*}$ , aber du berechnest ja $\begin{eqnarray*} \det (A - \lambda) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \det (A^T - \lambda) \end{eqnarray*}$ und das sind verschiedene Dinge. Diese zwei Matrizen (also $\begin{eqnarray*} A - \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^T - \lambda \end{eqnarray*}$ ) sind nicht einfach transponiert zueinander. Augenzwinkern

Wie gesagt, du musst die Matrix transponieren und davon die (Rechts-)Eigenvektoren berechnen.

air

02.03.2011, 12:42

charis

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(alle Großbuchstaben sind Matrizen, kleine Buchstaben VEktoren)
Naja, also in dem Skript hier steht, das ist jetzt für das Forum etwas abegekürzt, folgendes:

Zitat:

es gibt zwei EW-Probleme:
$\begin{eqnarray*} ( A \lambda + B) x = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (A^{\top} \kappa + B^{\top}) y = 0 \end{eqnarray*}$

das erste hat die char. Gl.
$\begin{eqnarray*} \det ( A \lambda + B) = 0 \end{eqnarray*}$

die zweite char. Gl. ist
$\begin{eqnarray*} \det (A^{\top} \kappa + B) = 0 \end{eqnarray*}$

Die Determ ... gleich der transp. Matrix:
$\begin{eqnarray*} \det \bigl( A^{\top} \kappa + B^{\top} \bigr) = \det \bigl( A^{\top} \kappa + B^{\top} \bigr)^{\top} = \det \bigl( A \kappa + B \bigr) = 0 \end{eqnarray*}$

Somit fallen die Eigenwerte zusammen.

Man muss dazu sagen, die Matrizen A und B beinhalten wiederum Matrizen ihrerseits und die ursprüngliche Gleichung lautet
$\begin{eqnarray*} A \dot{x} + B x = 0 \end{eqnarray*}$ . Ich glaube das ist jetzt nicht so wichtig, aber mit der Determinanten liegst du dann doch falsch, oder nicht?

02.03.2011, 13:08

Airblader

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Also für mich sieht es so aus, als ob du da das auf wikipedia als "allgemeineres Eigenwertproblem" bezeichnete Problem hast. Damit kenne ich mich leider nicht aus, darum bin ich mal vorsichtig und lasse jemand anderen antworten.

Oben habe ich tatsächlich was falsches geschrieben. Es gilt tatsächlich
$\begin{eqnarray*} (A - \lambda)^T = (A - \lambda E)^T = A^T - (\lambda E)^T = A^T - \lambda E^T = A^T - \lambda E = A^T - \lambda \end{eqnarray*}$ .
Die Eigenwerte sind damit sowohl für das linke als auch das rechte Eigenwertproblem gleich. Die Eigenvektoren aber nicht - das ist nur dann so, wenn $\begin{eqnarray*} A = A^T \end{eqnarray*}$ ist, wie man durch ähnliche Umformungen schnell einsehen kann (wird im Grunde auf wikipedia erklärt).

Ist aber eine Weile her und ihr scheint ja eh ein allgemeineres Problem zu betrachten. Daher, wie gesagt, halte ich mich mal lieber zurück. Augenzwinkern

air

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