Bild A = Bild A*A^T |
02.03.2011, 14:51 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bild A = Bild A*A^T in nem Skript, das ich grad durcharbeite steht folgende Behauptung: Für jede beliebige reelle Matrix A gilt: Hat jemand für mich für die Richtung einen Denkanstoß? |
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02.03.2011, 15:15 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
im(A) ist die Menge der Linearkombinationen der Spalten von A. Betrachten wir nun eine Matrix B, so dass das Produkt AB definiert ist, dann ist wobei die i-te Spalte von B ist. Betrachten wir nun das Produkt für einen Vektor x, haben wir Sprich, wir haben eine Linearkombination der Spalten von AB, jetzt schau dir diese Spalten mal genau an, was ist jede Spalte eigentlich ? |
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02.03.2011, 15:28 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jede Spalte von AB ist im Bild von A enthalten. Somit ist ABx auch im Bild von A. Aber das zeigt mir doch nur die Richtung meiner Behauptung, oder? |
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02.03.2011, 15:35 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm, stimmt. Also ist zu zeigen, wenn gilt, dass es dann auch Koeffizienten z_i gibt mit |
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02.03.2011, 15:37 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau. Und das geht wie? Das ist ja exakt das Problem das ich hatte |
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02.03.2011, 15:52 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schreib mal genau auf was ist und sortiere die Summen um. edit : Und schon wieder die andere Richtung gezeigt... allerdings liefert dieser Weg auch die Lösungsidee für die Hinrichtung. edit2: Die Frage ist doch, ob für also die Gleichung für z lösbar ist. Vielleicht hilft das mehr. (Das riecht nach Pseudoinverse) |
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03.03.2011, 11:40 | turbojunge | Auf diesen Beitrag antworten » |
ist ja klar. Wenn man jetzt noch zeigen kann, dass die Dimensionen der beiden Vektorräume gleich sind, ist man fertig. Dazu zeigt man am einfachsten, dass , Daraus folgt aus Dimensionsgründen und wg. die Dimensionsgleichheit wie oben beschrieben. Tipp: Um zu zeigen, dass betrachtet man u.a. den Wert . Hier geht dann auch ein, dass die Matrix reelle Einträge hat... |
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