Basis eines Unterraums |
02.03.2011, 16:52 | Maddin123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Basis eines Unterraums Hey Leute! Habe ein Problem bei folgender Fragestellung: Sei U = {x element R³ | 2x1 + 5ax2 + ax3 = 0 } ein Unterraum von R³ Bestimmen sie eine Basis von U Meine Ideen: Kann ich als Antwort eine Beliebige Matrix, die eine R³ Basis erzeugt verwenden, zb: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 oder muss ich was spezielleres machen? Vielen Dank schonmal für die Hilfe |
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02.03.2011, 16:55 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Basis eines Unterraums
Ja, nämlich eine Basis dieses Untervektorraums finden. Ibn Batuta |
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02.03.2011, 17:49 | m-power | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, zuerst einmal sehe ich an deiner Nachfrage, dass du den Begriff des Untervektorraums nicht verstanden hast. Daher schau dir die Definition bitte genau an und verinnerliche sie (z. B. durch einfache Beispiele); siehe auch Wikipedia hierzu (Artikel "Vektorraum"). Du hast also folgende Menge gegeben: Da es in der Aufgabenstellung heißt "Sei ein Untervektorraum ..." ist davon auszugehen, dass du nicht überprüfen musst, dass ein Untervektorraum ist; sondern das als Tatsache annehmen darfst. Nun sind in diesem Untervektorraum viele Elemente, nämlich gewisse Vektoren des dreidimensionalen Raumes , wie zum Beispiel Aber das Element ist offensichtlich nicht in enthalten. Also muss gelten. Insbesondere ist die von dir angegebene Basis keine Basis von , sondern eine Basis von . Du musst dir nun überlegen, wie eine Basis von U aussehen könnte (davon gibt es mehr als eine). Genauer: Mit welchen Vektoren (des ) kann man alle Elemente in U mittles Linearkombination darstellen? Ich hoffe, ich konnte dir schon mal ein wenig helfen. Freundliche Grüße, m-power |
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02.03.2011, 17:53 | m-power | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte vergiss die Aussage in meinem vorherigen Posting: "Aber das Element ist offensichtlich nicht in enthalten." Das ist leider Quatsch gewesen :-D |
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03.03.2011, 16:41 | Corny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hoffe ich kann hier einfach mal weitermachen, weil mich die Lösung auch interessieren würde, weil ich auch noch nicht so vertraut bin mit Untervektorräumen. Meine Idee wäre, die Lösungen des Gleichungssystems zu berechnen. Dabei würden dann 2 frei wählbare Variablen auftreten. Das bedeutet mein Untervektorraum hat die Dimension 2, also benötigt mein 2 Basisvektoren um diesen aufzuspannen. Meine Lösung ist: Basis: ((-a/2,0,1),(-5a/2,1,0)) kann das stimmen? Also wie gesagt, ich hab einfach x1,x2,x3 berechnet und das Erzeugnis von der Lösung als Basis des Untervektorraums genommen. Ist das so richtig? Gruß Corny |
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03.03.2011, 16:48 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit deinem zweiten Basisvektor bin ich nicht einverstanden, wie kommt das a in der ersten Komponente zustande? |
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03.03.2011, 16:51 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich hab das eben auch mal nachgerechnet und komme auf das selbe Ergebnis. |
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03.03.2011, 16:53 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@MatheMathosi, danke für die Korrektur, ich habe bei meiner Rechnung ein a verschlampt. Dann kann ich das Ergebnis jetzt auch bestätigen. |
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03.03.2011, 16:56 | Corny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Perfekt. Danke an euch zwei Gruß Corny |
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03.03.2011, 17:06 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Frage hätte ich da doch noch : D.h. also bei so einer Aufgabe betrachte ich dann sozusagen die 1 x 3 Matrix und wende den Gauß an mit je nach dem womit die Gleichung eben gleichgesetzt ist. Die Lösung bildet dann eine Basis des Untervektorraumes oder ? |
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03.03.2011, 17:14 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das wäre das Vorgehen. Im Prinzip interpretiert man die Menge als Kern der linearen Abbildung mit . Der Kern einer linearen Abbildung ist bekantermaßen ein Vektorraum, und eine Basis des Kerns erhält man mit Gauß. |
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03.03.2011, 17:16 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Optimal gut danke dir. |
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