Gleichmächtigkeit von Teilmengen der reellen Zahlen

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmächtigkeit von Teilmengen der reellen Zahlen
Hallo,

ich überlege mir, wie man beweisen kann, dass Teilmengen von reellen Zahlen untereinander gleichmächtig sind und auch zur Gesamtheit aller reellen Zahlen gleichmächtig sind.

So sollen ja die reellen Zahlen im Intervall [0;1] gleichmächtig zu den reellen Zahlen im Intervall [-1;1] sein.

Wie könnte man das begründen?

Es müsste ja vergleichbar sein mit der bijektiven Zuordnung |N --> |Z
(auch wenn es anscheinend doppelt so viele +1 ganze Zahlen wie natürliche gibt)

Reicht es aus, zu beweisen, dass die reellen Zahlen im Intervall [0;1] überabzählbar sind (Cantor Diagonalv. II) und somit auch Überabzählbarkeit von [-1;1] (R) ?

Vielen Dank
Pascal
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du betrachtest hier schon bestimmte Teilmengen der reellen Zahlen, nämlich abgeschlossene Intervalle; {0;1;2} wäre auch eine Teilmenge der reellen Zahlen aber bestimmt nicht gleichmächtig zu {1;2;3}, was auch eine Teilmenge wäre.

In deinem Fall reicht es eine bijektive Abbildung anzugeben.
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also ich meinte überabzählbare Teilmengen der reellen Zahlen.
Dass die reellen Zahlen im Intervall [0;1] überabzählbar sind, beweist es für den Rest - das ist klar.

Aber ich habs noch nicht ganz raus, wie man dann beweisen kann, dass eine Bijektion zwischen [0;1] und [-1;1] besteht.

Soll das so ähnlich wie bei Z --> N gemacht werden?

Pascal
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es reicht, eine konkrete, bijektive Funktion anzugeben. Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie soll so eine Funktion aussehen?
Bei abzählbaren Mengen ist das einfacher!

Wie kann man eine eindeutige Zuordnung von allen Zahlen von 0 bis 1 auf alle Zahlen von -1 bis 1 abbilden?

Meine Idee:
(reelle Zahlen kann man ja "spreizen")
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dir eine Funktion f(x)=ax+b empfehlen. Aus deiner Zeichnung werde ich nicht so ganz schlau.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird schwierig, eine lineare Funktion zu erstellen, die beweist, dass die reellen Zahlen im Intervall [0;1] gleichmächtig zu denen im Intervall [-1;1] sind.

Es ist doch richtig, dass selbst die reellen Zahlen im Intervall [0;1] schon eine überabzählbare Menge darstellen?

Also kann man sagen, dass die reellen Zahlen auf einem noch so kleinem (beliebig kleinem) Abschnitt auf dem Zahlenstrahl VIEL mächtiger sind, als ALLE natürlichen / rationalen (usw... , gleichmächtige zu |N) Zahlen.

Das errinert schon an die Kontinuumshypothese...

Was meinst du denn für eine lineare Funktion???
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte das schwer sein? Im Prinzip benötigt man nur Handwerkszeug aus der 7. Klasse um so eine Funktion zu finden, auch wenn man in der 7ten Klasse das natürlich nicht mit dem Hintergrund macht, die Gleichmächtigkeit zweier Intervalle zu zeigen.

Ja, jedes Intervall [a;b] mit a<b ist überabzählbar.

Beispiel

[0;1] ist gleichmächtig zu [0;2], denn ist eine bijektive Abbildung.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Hier habe ich es so verdeutlicht:




Das soll das strecken / spreizen der reellen Zahlen auf dem Zahlenstrahl verdeutlichen.


Die Funktion errinert mich an den Beweis der Gleichmächtigkeit von N und N mit 0
nämlich f(x) = x+1

Vielen Dank
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Zeichnung [0;1] --> [-1;1]
Jetzt habe ich noch mal eine ganz tolle Abbildung gezeichnet, an der man es sich ganz einfach klarmachen kann:
Vielen Dank für die Hilfe, Iorek!

Pascal
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

So wird die Funktion verlaufen, wie wäre die zugehörige Funktsiongleichung? Augenzwinkern

Übrigens: Bilder bitte direkt über Dateianhänge im Forum hochladen, externe Bildhoster sind nicht gern gesehen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktionsgleichung ist , da es sich um eine lineare Funktion handelt.

Genauer gesagt: , denn die Steigung muss 2 sein: Das eine Intervall ist doppelt so lang wie das andere (enthält aber genauso viele Elemente - gleichmächtig!). Zusätlich brauche ich einen y-Achsenabschnitt bei -1, da sich so die zugeordnete Menge von -1 bis 1 auf der y-Achse bewegen kann, die Ausgangsmenge von 0 bis 1!

Das sollte jetzt auch für mich klar geworden sein, auch wenns eigentlich überhaupt nicht schwer ist!

Pascal
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt noch schnell die Bijektivität nachweisen, das sollte aber nicht allzuschwer sein, und dann wärs fertig. smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektivität
Bijektivität: Ein-eindeutigkeit, also eine eindeutige Zuordnung (Funktion) + Umkehrfunktion eindeutig

Das ist meine eigene Definition. Man könnte auch sagen injektiv + surjektiv = bijektiv.


Die Funktion ordnet jeder Zahl ihr doppeltes verringert um 1 zu -> eindeutig, weil Funktion.

Die Umkehrfunktion müsste so hergeleitet werden:




Also auch eine eindeutige Zuordnung -> kann durch eine Funktion angegeben werden!

[attach]18424[/attach]

Pascal
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was deine "eigene" Definition ist, ist leider irrelevant, du solltest schon injektiv bzw. surjektiv nachweisen.

Deine Umkehrfunktion ist quasi ein Nachweis der Surjektivität, wenn du einen anderen Begriff verwendest (Stichwort: Urbild).

Injektivität ist auch in 2 Zeilen gemacht.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man dann sagen, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist.
Muss ich das nachweisen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nur weil man es sagt, ist die Funktion nicht injektiv oder surjektiv, das muss natürlich nachgewiesen werden. Augenzwinkern

Die Surjektivität hast du schon fast gemacht, mit der Umkehrfunktion nur anders benannt. Das Problem dabei ist, dass die Existenz der Umkehrfunktion erst dann gegeben ist, wenn die Bijektivität nachgewiesen ist.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also es heißt ja:
Surjektivität: Jedes Element der Zielmenge wird mindestens einmal angenommen.
Injektivität: Jedes Element der Zielmenge wird höchstens einmal angenommen.

Soweit sollte das richtig sein.

Ich ordne den Zahlen aus dem Intervall [0;1] die Zahlen aus dem Intervall [-1;1] zu.
Das heißt:
Definitionsmenge ist .
Wertebereich ist .

Bei der Umkehrfunktion tauschen Definitionsmenge und Wertebereich.

Was muss ich jetzt noch zeigen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Ok, also es heißt ja:
Surjektivität: Jedes Element der Zielmenge wird mindestens einmal angenommen.
Injektivität: Jedes Element der Zielmenge wird höchstens einmal angenommen.

Soweit sollte das richtig sein.


Und warum ist das so? Du musst doch gerade beweisen, dass die Funktion diese Eigenschaften besitzt.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich beschreibe dann mal nur das bijektive Verhalten:
Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugewiesen.

Die Funktion

weist jedem x-Wert genau einen y-Wert zu (lineare Fkt.)
Das doppelte verringert um eins ist eindeutig und immer nur eine bestimmte Zahl.

Die Funktion

weist jedem y-Wert genau einen x-Wert zu (lineare Fkt.)
eins hinzu und Ergebnis halbieren.

Wenn ich da die richtige Formulierung nicht hinkriege, kannst du mir vielleicht sagen, was du dann meinst?

Ich will es ja gerne wissen smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du beschreibst da wörtlich etwas, das ist aber leider kein mathematischer Beweis, auch deine Umkehrfunktion bringt keinen Nutzen.

Wie habt ihr die Surjektivität denn definiert? Du kannst bzw. solltest direkt mit der Definition arbeiten.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn du mit "wir" unsere Schulklasse meinst, dann gar nicht.

Das ist keine Hausaufgabe oder so etwas. Ich bin einfach nur interessiert.


Surjektivität habe ich so kennen gelernt, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal angenommen wird, wie zum Beispiel bei der Funktion .
Man kann für x z.B. 3 oder auch -3 einsetzen -> Es kommt 9 heraus.

Injektivität bedeutet ja, dass jedes Element der Zielmenge nur höchstens einmal angenommen wird (oder eben garnicht) -> Ist so eine Funktion stetig ???

Naja, die Kombination aus höchstens ein Element der Zielgruppe und mindestens ergibt folglich: GENAU EINS!

nicht mehr / weniger

Da der Definitionsbereich für Lineare Funktionen doch sein sollte, müsste die Funktion auch überall definiert sein.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist das natürlich was anderes, wenn ihr das gar nicht definiert habt bzw. du das als Interessensaufgabe machst. Deine Umschreibungen sind soweit richtig, allerdings lässt sich damit nicht mathematisch arbeiten.

Gucken wir uns dann zuerst einmal die Injektivität an, die ist etwas einfacher.

Eine mögliche Definition wäre: eine Funktion ist injektiv genau dann, wenn aus stets folgt oder anders gesagt: wenn du zwei gleiche Funktionswerte hast, dann ist schon .

Ist das soweit verständlich?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das besagt, dass man einen Funktionswert auf einen x-Wert zurückführen kann - und zwar ganz eindeutig.

Ist es richtig, dass das so ist, weil es den Funktionswert nur einmal gibt?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wäre ein Schluss den man daraus ziehen kann, dass es zu jedem Element des Zielbereichs höchstens 1 Element des Wertebereichs gibt, sodass gilt.

Kannst du jetzt mit Hilfe der Definition die Injektivität nachweisen?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Element x gibt es immer höchstens einmal.
Wenn man den F-Wert einer linearen Funktion kennt, gibt es dazu genau einen x-Wert.
Das ist bei linearen Funktionen so, weil sie sich immer auf einen x-Wert zurückführen lassen können.

Es wird kein F-Wert mehrfach angenommen
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt wieder eine wörtliche Umschreibung, kein mathematischer Nachweis. Augenzwinkern

Fang einfach mal ganz streng nach Definition mit der Gleichung an, forme die entstehende Gleichung dann so um, dass du auf kommst. Damit wäre die Injektivität nachgewiesen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Versuch:

Funktionswerte sind identisch
einsetzen und +1
dann durch 2 teilen
x1 ist tatsächlich gleich x2


War das gemeint?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so meinte ich das. Freude

Du fängt mit zwei gleichen Funktionswerten an und führst dann Äquivalenzumformungen durch bis du erhältst. Damit ist die Injektivität gezeigt. smile

Fehlt noch die Surjektivität.

Definition: Eine Funktion ist surjektiv genau dann, wenn zu jedem mindestens ein existiert, sodass ist.

Hier kannst du jetzt fast deine Bestimmung der Umkehrfunktion von eben verwenden, du musst nur die Begriffe etwas austauschen.

Sei , d.h. eine beliebige (aber feste) Zahl aus diesem Intervall. Wenn du zeigen kannst, dass für jedes aus diesem Intervall die Gleichung lösbar ist, dann ist die Surjektivität gezeigt.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Reine Termumformung ergibt, dass es zu jedem x genau ein y gibt:

x=(y+1)/2
2x=y+1
y=2x-1
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man es von unten nach oben liest und die Aussage ändert zu "zu jedem y gibt es ein x", dann stimmt es. Augenzwinkern

Damit wäre die Surjektivität gezeigt, da die Funktion auch injektiv ist, ist sie somit bijektiv. smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt also zu jedem y ein x - genau, so stimmts Augenzwinkern





Man muss also für den Beweis der Injektivität die Funktion nehmen und f(x1)=f(x2) nach x1=x2 umstellen und somit beweisen, dass selber F-Wert selber x-Wert nach sich zieht.

Für die Surjektivität muss man dann die Funktion auch betrachten allerdings nach x auflösen, um zu zeigen, dass es genau ein x für festes y gibt.

Also folgt aus Injektivität und Surjektivität die Bijektivität.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist so der Grundgedanke, ja. Allerdings zeigst du bei der Surjektivität nicht unbedingt, dass es genau ein x für festes y gibt, du zeigst lediglich, dass es mindestens ein x für festes, beliebiges y gibt.

Da wir jetzt eine bijektive Abbildung von [0;1] nach [-1;1] haben, ist die Aussage nachgewiesen. smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Ohne Hilfe hätte ich das nicht geschafft.
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