Galoisgruppe eines Polynoms und Sn

02.03.2011, 22:24

Merlinius

Galoisgruppe eines Polynoms und Sn

Hallo, ich versuche gerade einen Beweis zu verstehen und bin an einer Stelle unsicher. Und zwar:

Zitat:

Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ein irreduzibles Polynom vom Grad 3 mit genau einer reellen Nullstelle. Sei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} [E:\mathbb Q] = 6 \end{eqnarray*}$

Der Anfang ist mir klar, aber der Vollständigkeit halber: Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die reelle Nullstelle. Dann $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a) : \mathbb Q] = 3 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ irreduzibel über Q.

Nach Gradsatz ist:

$\begin{eqnarray*} [E:\mathbb Q] = [E:\mathbb Q(a)] \cdot [\mathbb Q(a) : \mathbb Q] \text{ (*), s.u.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =3 \cdot [E:\mathbb Q(a)] \geq 3\cdot 2 = 6 \end{eqnarray*}$

, da die andere(n) Nullstelle(n) von f nicht reell sind, also auch nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegen, also $\begin{eqnarray*} [E:\mathbb Q(a)] \geq 2 \end{eqnarray*}$

So jetzt gehts folgendermaßen weiter, was ich nicht 100%ig nachvollziehen kann (wobei ich glaube, dass es sehr simpel ist):

"Da $\begin{eqnarray*} \text{Grad }f = 3 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung, gilt für die Galoisgrupe $\begin{eqnarray*} Gal(E/\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} Gal(E/\mathbb Q) \subset S_3 \end{eqnarray*}$

und damit abermals wegen (*) die Bedingung:

$\begin{eqnarray*} [E:\mathbb Q] | 6 \end{eqnarray*}$ "

Meine Gedanken: Die Idee ist hier wohl, dass f separabel ist (z.B. weil f irreduzibel und char Q = 0), und somit $\begin{eqnarray*} Gal_{\mathbb Q} (f) = G(E/\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ isomorph zu einer Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ . Ich würde jetzt denken: Folglich $\begin{eqnarray*} [E:\mathbb Q] = |G(E/\mathbb Q)| \leq 6 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} |S_3| = 6 \end{eqnarray*}$ . Allerdings verstehe ich nicht ganz den Verweis auf die Gradformel und den Schluss, dass [E : Q] ein Teiler von 6 ist.

02.03.2011, 22:48

Mystic

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RE: Galoisgruppe eines Polynoms und Sn

Zitat:

Original von Merlinius
, da die andere(n) Nullstelle(n) von f nicht reell sind, also auch nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegen, also $\begin{eqnarray*} [E:\mathbb Q(a)] \geq 2 \end{eqnarray*}$

Ich kapier nicht, wieso bei dir offenbar noch $\begin{eqnarray*} [E:\mathbb Q(a)] > 2 \end{eqnarray*}$ "drin" ist, wo doch das irreduzible Polynom, das nach dem Herausdividieren des Linearfaktors x-a übrigbleibt, den Grad 2 hat... Wie soll das gehen? verwirrt

02.03.2011, 23:31

Merlinius

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Okay, also angenommen meine "beiden" (oder auch eine) verbleibenden Nullstellen heißen $\begin{eqnarray*} b, c \in C \end{eqnarray*}$ , C algebraischer Abschluss.

Dann ist das verbleibende Polynom vom Grad 2 irreduzibel über $\begin{eqnarray*} Q(a) \end{eqnarray*}$ , also insb. nach Normierung das Minimalpolynom von b über Q(a), also $\begin{eqnarray*} [Q(a, b) : Q(a)] = 2 \end{eqnarray*}$ . Und weil dieses Polynom über Q(a, b) zerfällt, muss auch $\begin{eqnarray*} c \in Q(a, b) \end{eqnarray*}$ sein, also $\begin{eqnarray*} [Q(a, b, c) : Q(a)] = [E: Q(a)] = 2 \end{eqnarray*}$ , richtig?

Davon mal abgesehen würde ich den obigen Beweis trotzdem gerne verstehen. Also wenn da jemand etwas Input für mich hätte, wäre das toll.

02.03.2011, 23:53

Mystic

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Ja, ich hätte auch so argumentiert, dass aus

$\begin{eqnarray*} f(x),x-a \in \mathbb{Q}(a) \end{eqnarray*}$

folgt, dass das Ergebnis der Division f(x)/(x-a) auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a) \end{eqnarray*}$ liegen muss und da es nur komplexe Nullstellen hat, dann irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a)[x] \end{eqnarray*}$ sein muss...

Um über den Beweis im Eingangsposting nachzudenken ist es mir heut schon zu spät, vielleicht morgen... Wink

03.03.2011, 00:04

Merlinius

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Vielen Dank auf jeden Fall

03.03.2011, 22:45

Merlinius

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Zitat:

So jetzt gehts folgendermaßen weiter, was ich nicht 100%ig nachvollziehen kann (wobei ich glaube, dass es sehr simpel ist):

"Da $\begin{eqnarray*} \text{Grad }f = 3 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung, gilt für die Galoisgrupe $\begin{eqnarray*} Gal(E/\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} Gal(E/\mathbb Q) \subset S_3 \end{eqnarray*}$

und damit abermals wegen (*) die Bedingung:

$\begin{eqnarray*} [E:\mathbb Q] | 6 \end{eqnarray*}$ "

Also wenn mir noch jemand mit dem Verständnis der obigen Argumentation helfen kann (Mystic oder auch jemand anderes), würde mich das freuen.

04.03.2011, 00:16

Mystic

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Ich muss sagen, ich hab da auch nicht den Durchblick, was die Beweisidee dahinter ist, jedenfalls klingt für mich das alles reichlich kompliziert und verworren, so als ob da jemand im Kreis geht...Wenn das ein Ausschnitt aus einer Vorlesungsmitschrift oder einem Skriptum sein sollte, könnte der Fehler ja auch durchaus auch beim Vortragenden liegen, allerdings müsste man, um das zu checken, genau wisssen, was man an dieser Stelle nun voraussetzen darf und was nicht...

Aufgrund der Tatsache, dass f(x) drei verschiedene Nullstellen hat, nämlich eine reelle und zwei konjugiert komplexe, ist es nach meinem Verständnis von vornherein sonnenklar, dass die Galoisgruppe $\begin{eqnarray*} Gal(E/\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ einfach die $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ sein muss, da sie einerseits $\begin{eqnarray*} Gal(E/\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ aus allen Permutationen der 3 Nullstellen von f besteht, welche sich zu Automorphismen von E fortsetzen lassen, und andererseits echte Untergruppen der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ einfach nicht in Frage kommen...

Sorry also, dass ich dir da bei deinem Problem nicht wirklich weiterhelfen kann...

04.03.2011, 01:14

Merlinius

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Es ist eine "Musterlösung" zur obigen Aufgabe, vom Lehrstuhl auf der Homepage veröffentlicht. Wobei ich schon öfter das Gefühl hatte, dass diese Musterlösungen mit Absicht unnötig kompliziert gemacht werden.

Aber dennoch sind sie eigentlich so gut wie immer formal korrekt. Na ja, kann man nichts machen. Vielleicht ist es auch ein Schreibfehler. So genau weiß man das nie.

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