Eigenvektoren

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Ohla Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich bin momentan dabei eine Eigenwertaufgabe zu lösen und hänge dabei momentan an der Aufgabe die Eigenvektoren anzugeben. also folgende Matrix:



als Eigenwerte habe ich heraus bekommen.

So nun zum eigentlichen Problem. z.B für der Eigenvektor. Da sieht die Matrix dann so aus:

Wie gehe ich jetzt vor? Ich kann einen Parameter freiwählen, doch in welcher Zeile "darf" ich dann den Parameter einsetzen und woher soll ich wissen welchen x ich als Parameter nehmen soll? Es kommen ja verschiedene Werte raus, es iat ja abhängig welche Zeile ich nehme oder ob ich x1, x2 oder x3 als Parameter wähle.

Danke im Vorraus.

Meine Ideen:
Ich weiß das ich durch die 1 Nullzeile jetzt einen Parameter freiwählen kann.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
Eigenwerte sind richtig.

Überlege dir, dass immer gilt , egal, wie x_2 gewählt wird, was bietet sich also an parametrisiert zu werden?
Ohla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
also dann entweder x_1 oder x_3 aber wie finde ich nun heraus welche Zeile ich nehmen soll?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
Wieso parametrisierst du nicht x_2 ?

In welcher Zeile du beginnst ist so ziemlich egal, es bietet sich noch an, die erste Zeile mit zu multiplizieren und von der letzten zu subtrahieren.
Ohla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
wenn ich nun z.B x_2 als parameter t wähle also x_2 = t wie soll das gehen? das t fällt dadurch doch weg?
Und ja stimmt man kann die matrix noch mal vereinfachen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
Das verstehe ich nicht, wieso fällt das x_2 weg?

gerade x_2=t kann man doch beliebig wählen, da für jedes t aus R gilt: t*0=0
 
 
Ohla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
könntest du mir da irgndwie ein Beispiel dazu machen? mit anderen zahlen oder so ich, hab das Gefühl ich versteh da irgndwas nicht ganz. Wäre nett.
Ohla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
also die Matrix nochmal vereinfacht:


Stimmt das? und wenn ich dann x_2 als Parameter wähle also x_2=t und das auf die 3. Zeile anwende:



das meinte ich das t fällt dadurch doch weg? oder habe ich irgendwas total falsch verstanden?
Ohla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
kann das sein das der Eigenvektor zu Lambda_1 = 1

x_1 = 0
x_2 = 1
x_3 = 0
(0 1 0) * t?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
Wir nehmen diese Matrix:



Wir parametrisieren x_2, also x_2=t, die dritte Zeile liefert x_1=0 und die erste Zeile liefert x_3=0, damit ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 (0,1,0), wie du richtig erkannt hast.
Ohla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
Super, Vielen Dank.

Gibt es noch irgndwelche Tipps, wie ich am besten so eine Matrix umforme (Dreiecksform?)damit ich die Eigenvektor-Aufgaben löse und gibt es irgendwelche Tipps nach denen ich mich richten kann um zu wissen was ich parametisier?

Danke bis hier hin hat mir schon sehr geholfen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
Um die Matrix aus Zeilenstufenform zu bringen hilft Gauß, wenn man sie auf Zeilenstufenform hat kann man eine Unbekannte parametrisieren, welche sich da am ehesten anbietet ist "hinschauen", es gibt dafür aber keine Vorschrift, es bietet sich jedoch immer die Nullspalte an, falls vorhanden (in diesem Fall x_2) oder. wenn die Matrix auf Dreicksgestalt vorliegt die letzte.
Ohla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren
Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen smile !
grimey Auf diesen Beitrag antworten »

mich interessiert gerade wie man da auf die eigenwerte kommt. könnte wer bitte den lösungsweg posten?
grimey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von grimey
mich interessiert gerade wie man da auf die eigenwerte kommt. könnte wer bitte den lösungsweg posten?

nicht nötig, ich habs Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

@ grimey:

Wenn du in einen abgeschlossenen Thread noch postest, weil du irgendwelche Fragen hast, musst du viel Glück haben, dass derjenige, der den Thread bearbeitet hat gerade zufällig online ist oder sich irgendjemand in ihn verirrt (was bei 14 Posts recht unwahrscheinlich ist).

Also einfach selbst einen Thread eröffnen un den Thread, auf den du dich beziehst verlinken, die Wahrscheinlichkeit, dass dir jemand hilft ist dann wesentlich größer.
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