Trägheitsmatrix - Hauptachsentranformation

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Trägheitsmatrix - Hauptachsentranformation
Hallo. da bin ich mit meinem nächsten Problem Augenzwinkern

Folgende Aufgabe soll ich lösen können.


(a) Berechne die Eigenwerte von S
(b) Gebe ohne Rechnung die Gestalt der Trägheitsmatrix nach Hauptachsentransformation an
(c) Bestimme ein (!) zu S gehörige Hauptachse


(a) * =

=


Damit sind die Eigenwerte der Matrix -1, -4, +2

(b) & (c) weiß ich überhaupt nicht wie ich es angehen soll. hoffe ihr könnt mir helfen

Lieben Gruß
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte dir die Suppe zwar nicht versauen, aber ich bekomme andere Eigenwerte raus.



Hierfür bekomme ich raus.


Ibn Batuta
 
 
Hm.. Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke. hätte nicht gedacht, dass ich damit Probleme habe traurig - hab's jetzt zum zweiten mal gerechnet und -1, +4, +1 raus. Das ist leicht verrückt.

Sieht jemand, was ich da falsch mache? - Ich nämlich nicht :P
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Dann helfe ich mal aus. Du machst mehrere Fehler, daher gebe ich dir einen Tipp, wie du das angehen kannst.



Entwicklung nach der 1. Zeile:




Ibn Batuta
Hm.. Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Versuch Nr.2






ich schmeiß mich weg. hab's von gestern auf heute verlernt....
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt soweit. Jetzt die Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen.


Ibn Batuta
Hm.. Auf diesen Beitrag antworten »

Oki Doki anscheinend ist genau das der Punkt, wo ich nicht weiß.


Die Nullstelle bestimme ich doch indem ich mich frage, wann wird, wann wird und wird.

also

Daher -1, 4 und 12. Oh mann. Da muss ich eine gigantische Lücke haben. Weil ich hab bisher jedes char. polynom so berechnet...
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Hier tun sich ja Abgründe auf!

Die Nullstellen eines Polynoms 3. Grades kann man mit mehreren Möglichkeiten herausfinden. Hier ist es aber ziemlich banal.



ausklammern ergibt:



Also wissen wir doch, wenn h=0 ist, ist der komplette Ausdruck 0. Somit haben wir den ersten Eigenwert.

Jetzt müssen wir noch überprüfen, wann das 0 wird. Also:



Das ist nun 8.-9. Klasse. Damit erhältst du die anderen beiden Eigenwerte. Wenn du sie fertig ausgerechnet hast, können wir ja die anderen beiden Teilaufgaben angehen..


Ibn Batuta
Hm.. Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Habe die (deine) Ergebnisse

Zu B) Jede symmetrische Matrix hat eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
Und da jede Trägheitsmatrix symmetrisch ist, hat jede Trägheitsmatrix 3 zueinander senkrechte Trägheitsaxen mit zugehörigen Eigenvektoren.

=>

Zu C) Keine Ahnung. Hat es etwas mit einem Spat zu tun?
Phase Auf diesen Beitrag antworten »

Trägheitsmatrizen haben keine negativen Eigenwerte

Ist also etwas komisch
Hm.. Auf diesen Beitrag antworten »

Naja. Angenommen das wär jetzt richtig, ober besser da würde stehen +2 statt -2. Wie gehe ich dann C an?

Die Aufgabe macht mich noch fertig und kostet mich viiiel zu viel Zeit smile

P.S.: Super vielen Dank für die Antworten bisher. Wirklich danke!
Gast 29 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ein Trägheitsmoment zu 0 idealisiet wird, dann sind die anderen beiden gleich

Man sucht hier nach einer Anwendung für Matrizen und legt keinen Wert auf Realität

Bei C ist ein Eigenvektor gesucht, der zeigt genau in die Richtung des Hauptträgheitsmoments
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zu b):
Aus der Aufgabenstellung geht hervor, daß ihr folgenden Satz in der Vorlesung schon hattet:
Jede symmetrische Matrix A wird bezüglich einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu einer Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente die Eigenwerte von A sind.
http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node57.html

Der Trägheitstensor ist symmetrisch, sodass du hier die Diagonalmatrix angeben sollst. Das hast du ja schon.

Zu c):
Stichwort Eigenvektoren.


Ibn Batuta
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi ich mache grad genau die selbe Aufgabe.

Die Eigenwerte sind bei mir auch 0, -2 und 6

ist die Antwort zu b) von hm.. richtig? Und was hat der Einspruch, bzgl der -2 zu bedeuten?

zu c)

ich habe Eigenvektoren schon berechnet:


was tue ich nun damit?
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