Konvergenz und Grenzwert

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marie_ Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Grenzwert
Hallo, habe hier folgende Aufgabe:

für . (das - soll jeweils zum Index gehören)
Man beweise, dass die Folge konvergiert und bestimme ihren Grenzwert.

Erstmal die Konvergenz zeigen indem man zeigt, ob sie monoton steigend oder fallend und beschränkt ist.
Kann man gleich davon ausgehen, dass a<b? Oder muss man da vielleicht eine Fallunterscheidung machen?
Und wie gehe ich dann an die Grenzwertbestimmung heran?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dieser Folge kannst du keine Monotonie zeigen, weil sie nicht monoton ist. Du musst also einen anderen Weg finden. Berechne mal den Term

!

Gruß MSS
marie_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das wären dann



und wie gehts dann weiter?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie kommst du darauf?

Gruß MSS
marie_ Auf diesen Beitrag antworten »

ist ja definiert, dementsprechend das gleiche dann für .
fällt raus, weil einmal + und einmal -.
Oder ist das schon falsch?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann setz mal nur den Term ein und lasse so stehen!

Gruß MSS
 
 
marie_ Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das wären dann

Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Damit hast du dann

.

Sei . Dann heißt das

.

Was für eine Folge ist damit? Wie ist ihre explizite Darstellung?

Gruß MSS
marie_ Auf diesen Beitrag antworten »

hat das nicht alles auch etwas mit den Fibonaccizahlen zu tun?
Immerhin, wenn man sich ansieht, also speziell die Klammer, erkennt man doch eine Ähnlichkeit.
Divergenz Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also mit der Fibonacci-Zahlenfolge hat das nicht so viel zu tun, die ist auch schließlich divergent. Schau dir wirklich mal in Ruhe die Folge an, wie es dir Mathespezialschüler gesagt hat!
marie_ Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste eine Nullfolge sein.
Als explizite Darstellung hab ich .
Ist das richtig? Und ein kleiner Tip, wie es dann weiter geht?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Fast richtig. Besser ist es so:

.

Wenn konvergiert, dann ist sowieso immer eine Nullfolge. Das bringt dir also nicht viel. Aber nun gilt ja:



.

Für kannst du jetzt die explizite (noch von abhängende Formel) einsetzen.

Gruß MSS
marie_ Auf diesen Beitrag antworten »

Und was habe ich dann damit gezeigt bzw kann ich damit zeigen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dann die Summe ausrechnen und erhältst eine explizite Form, an der du den Grenzwert sehr gut erkennst ...

Gruß MSS
marie_ Auf diesen Beitrag antworten »

aber habe ich damit auch schon gezeigt, dass die Folge überhaupt konvergiert?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib doch erstmal die explizite Form hier rein!

Gruß MSS
marie_ Auf diesen Beitrag antworten »

hab dann erstmal für die eingesetzt, .
Dann kann man in das ausklammern und bekommt
.
Weiß im moment aber nicht wirklich, wies dann weiter geht.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Rechts steht eine geometrische Summe! Dafür solltest du eine Summenformel kennen. Bzw. eigentlich kannst du auch gleich laufen lassen. Du musst nur vorher sagen, dass, weil die Reihe konvergiert, auch konvergiert.

Gruß MSS
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