In welchen Punkten kommen sich 2 Flugzeuge am nächsten?

03.03.2011, 20:07

Flow123

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In welchen Punkten kommen sich 2 Flugzeuge am nächsten?

Meine Frage:
Bezogen auf ein geeignetes Koordinatensystem mit der Einheit 1 km befindet sich ein erstes Flugzeug zum Beobachtungsbeginn im Koordinatenursprung und bewegt sich geradlinig mit einer Geschwindigkeit von 300 km/h in Richtung des Vektors $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Ein Zweites Flugzeug befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt (20|34,2|15,3) und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 400 km/h in Richtung des Vektors $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten sich ihre Flugbahnen am nächsten kommen, und berechnen Sie den Abstand der beiden Punkte.
Wie lange nach Beobachtungsbeginn befinden sich die Flugzeuge jeweils an diesem Punkt?

b) Zu welchem Zeitpunkt ist der Abstand zwischen den beiden Flugzeugen am kleinsten?

Meine Ideen:
Geradengleichungen sind ja kein Problem:

$\begin{eqnarray*} f_{1}:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \frac{300}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{2}:\vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 34,2 \\ 15,3\end{pmatrix} + t \cdot \frac{400}{\sqrt{17}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ebenso wenig der Normalenvektor
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

um den minimalen Abstand zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} d = 0,091 km \end{eqnarray*}$

Gefordert ist in der Aufgabe jedoch ein anderer Ansatz, auf den ich einfach nicht komme. Gesucht sind die Punkte, die jeweils den minimalen Abstand zur anderen Gerade (Flugbahn) haben.

Ich hoffe, dass ihr helfen könnt.

Danke!

03.03.2011, 20:45

Leopold

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In a) ist einfach der Abstand der (vermutlich windschiefen) Geraden gesucht. In b) ist dagegen der kürzeste Abstand der beiden Flugzeuge gesucht. Berechne dazu den Abstand $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ zweier Geradenpunkte in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Minimiere diese Funktion, oder einfacher: ihr Quadrat.

03.03.2011, 20:46

riwe

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RE: In welchen Punkten kommen sich 2 Flugzeuge am nächsten?
bilde den abstand der beiden (noch gesuchten) punkte G auf g und H auf h und bestimme das minimum als funktion von t

03.03.2011, 20:52

Flow123

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Vielen Dank euch beiden für die schnelle Antwort!

Zitat:

In a) ist einfach der Abstand der (vermutlich windschiefen) Geraden gesucht.

Den Abstand habe ich schon berechnet – mit fehlen aber die Punkte auf den beiden Geraden die von einander den Abstand 0,091 haben (um auch den Zeitpunkt der Ankunft berechnen zu können).

Den Ansatz von b) hab ich vorhin schon einmal versucht: 2 allgemeine Punkte auf f1 und f2 und dann mit der üblichen Abstandsformel und dem GTR das Minimum berechnet. Das Ergebnis war aber falsch, konnte den Fehler nicht finden.

Gruß

03.03.2011, 21:15

riwe

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deine 2.gleichung hat zumindest hier den falschen richtungsvektor.

bei b) erhalte ich - ohne gewähr als punkt auf f1 P(1.77/3,55/1.77)
aber mit diesen zahlen Big Laugh

Big Laugh

edit: ergebnis bei b) ist falsch, siehe unten

03.03.2011, 21:26

Flow123

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Zitat:

deine 2.gleichung hat zumindest hier den falschen richtungsvektor.

Ups, da hab ich nach dem Copy'n'paste vergessen, die Werte anzupassen.

Zitat:

bei b) erhalte ich - ohne gewähr als punkt auf f1 P(1.77/3,55/1.77)

Du meinst bestimmt den a) Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Würdest du mir bitte noch deinen Ansatz verraten?

Ich habe selbst keine vollständigen Lösungen. Bei a) muss d=0,091 km herauskommen (was ich mit einem anderen Ansatz bereits geschafft habe; so.o.) und bei der b) t=2,5; d=39,7 km.
Für die Punkte habe ich keine Lösung.

Gruß

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03.03.2011, 21:37

C15

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Ich würde mal die Einheiten nicht wechseln

03.03.2011, 21:54

riwe

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nein ich meinte aufgabe b) aber wie nicht anders zu erwarten habe ich mich verrechnet.

jetzt erhalte ich

t= 2.51 min und d = 39.67 km
der ansatz ist der, den Leopold bzw. ich oben skizziert haben:

also f(t)=d²(G auf g und H auf) -> min

03.03.2011, 22:13

Flow123

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Ok, danke. Die Teilaufgabe b) werde ich mir morgen nochmals näher betrachten.

Mir fehlen aber nach wie vor die beiden Punkte in a). Fällt dir dazu noch was ein?

Viele Grüße
Flow123

03.03.2011, 22:17

riwe

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ein möglicher ansatz zur bestimmung der gesuchten punkte ist der:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 20 \\34.2 \\ 15.3 \end{pmatrix} +\frac{400}{\sqrt{17}}t\begin{pmatrix} -2 \\2 \\ 3 \end{pmatrix} -\frac{300}{\sqrt{6}}s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot(-2,2,3)^T=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot(1,2,1)^T=0 \end{eqnarray*}$

damit hast du ein lgs in s und t und damit die gesuchten punkte, deren abstand du dann noch zur kontrolle berechnen solltest

03.03.2011, 22:24

Flow123

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Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot(-2,2,3)^T=0 \end{eqnarray*}$

Was bedeutet diese Schreibweise (das ^T)?

03.03.2011, 22:35

riwe

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das ist die zeilenschreibweise des spaltenvektors Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (a_1,a_2,a_3)^T=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

reine faulheit, man könnte auch sagen ökonomie Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.03.2011, 12:34

Flow123

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Hmm, ich komme mit der Aufgabe überhaupt nicht klar. Seltsam, sie wirkt eigentlich nicht sonderlich kompliziert.

riwe, ich habe dir eine Nachricht mit meiner bisherigen Rechnung geschickt, vielleicht findest du ja noch Zeit und Lust, mir beim Lösen der Aufgabe zu helfen.

Insbesondere weiß ich nicht, warum ich bei der b) mit meinem Ansatz nicht auf die korrekte Lösung komme, da wir das in der Schule immer so gemacht haben (und bei einer vergleichbaren Aufgabe funktioniert es auch).

Den Ansatz zur a) habe ich leider auch noch nicht verstanden…

Danke und viele Grüße von
Flo

05.03.2011, 13:17

mYthos

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Zitat:

Original von Flow123
...
riwe, ich habe dir eine Nachricht mit meiner bisherigen Rechnung geschickt, vielleicht findest du ja noch Zeit und Lust, mir beim Lösen der Aufgabe zu helfen.
...

@Flow123
Von diesem Vorgehen mögest du bitte dringend in Hinkunft absehen!
Die Aufgaben, deren Weg zur Lösung und auch das Aufdecken von Rechenfehlern sollen hier im Thread behandelt werden, damit alle Leser etwas davon haben und NICHT per PN!
PN sind ausschließlich für kurze private Mitteilungen bestimmt und nicht das Medium für weitergehende Nachhilfestunden.

mY+

05.03.2011, 13:31

riwe

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zur erklärung des obigen ansatzes:

G liege auf der geraden g und H auf h, dann beschreibt das obige gebilde $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ den gesuchten, noch unbekannten vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\overrightarrow{GH} \end{eqnarray*}$ , bzw. die gesuchten punkte, sobald du s und t bestimmt hast.

da dieser vektor auf die beiden geraden senkrecht steht, ergibt das skalarprodukt mit den richtungsvektoren von g und h = 0.

damit kannst du s und t bestimmen und anschließend deren abstand

t = 0.009732....
s = 0.147542...

d = 0.091168...

05.03.2011, 13:36

riwe

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wie mythos schon sagt, fragen ins board stellen

ich habe mir dein zeug angeschaut:

soweit ich auf die schnelle sehen konnte:
a) untersuche nicht d sondern d², das ist viel einfacher.
b) um das minimum zu bestimmen, mußt du (noch) was machen?

jetzt werde ich die sonne genießen

05.03.2011, 15:28

Flow123

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Zitat:

Original von mYthos
Von diesem Vorgehen mögest du bitte dringend in Hinkunft absehen!

Ok, wird nicht wieder vorkommen.

Zitat:

Original von riwe
ein möglicher ansatz zur bestimmung der gesuchten punkte ist der:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 20 \\34.2 \\ 15.3 \end{pmatrix} +\frac{400}{\sqrt{17}}t\begin{pmatrix} -2 \\2 \\ 3 \end{pmatrix} -\frac{300}{\sqrt{6}}s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot(-2,2,3)^T=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot(1,2,1)^T=0 \end{eqnarray*}$

damit hast du ein lgs in s und t und damit die gesuchten punkte, deren abstand du dann noch zur kontrolle berechnen solltest

Zitat:

Original von riwe
zur erklärung des obigen ansatzes:

G liege auf der geraden g und H auf h, dann beschreibt das obige gebilde $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ den gesuchten, noch unbekannten vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\overrightarrow{GH} \end{eqnarray*}$ , bzw. die gesuchten punkte, sobald du s und t bestimmt hast.

da dieser vektor auf die beiden geraden senkrecht steht, ergibt das skalarprodukt mit den richtungsvektoren von g und h = 0.

Stimmt, das ist eigentlich ziemlich logisch.

Ok, der zu g und h senkrecht stehende Vektor habe ich mit dem Kreuzprodukt bestimmt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das habe ich dann mit dem allgemeinen Vektor gleichgesetzt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}20 \\ 34,2\\15,3\end{pmatrix} + \frac{400}{\sqrt{17}}t\begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 3\end{pmatrix} - \frac{300}{\sqrt{6} }s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und ein LGS gebildet, welches aber leider nicht lösbar ist (erkennt man ja schon an den Vorzeichen):
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{800}{\sqrt{17}} & -\frac{300}{\sqrt{6}} & -16 \\ \frac{800}{\sqrt{17}} & -\frac{600}{\sqrt{6}} & -39,2 \\ \frac{1200}{\sqrt{17}} & -\frac{300}{\sqrt{6}} & -9,3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von riwe
a) untersuche nicht d sondern d², das ist viel einfacher.

Also einfach die Wurzel weglassen?

Zitat:

Original von riwe
b) um das minimum zu bestimmen, mußt du (noch) was machen?

Warum? Der GTR kann das Minimum doch direkt berechnen…

Naja, irgendwie habe ich gerade keine Lust mehr auf diese Aufgabe. Alles klappt, nur diese nicht traurig

traurig

Gruß Flow123

05.03.2011, 16:09

riwe

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da du eh schon fast alles (zum teil leider erfolglos) gerechnet hast, hier noch eine "anleitung und zusammenfassung":

das hast du falsch verstanden: x ist bereits der zu g ung h senkrechte vektor,
den brauchst du nicht mehr über das kreuzprodukt zu suchen.
also löse das system - wie oben hingemalt:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot(-2,2,3)^T=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot(1,2,1)^T=0 \end{eqnarray*}$

löse

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1649,24225 & -612,37243 & -74.3\\ 485.07125 & -734.84692 & -103.7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in t und s

wenn f(x) ein extremum an der stelle x0 hat, dann auch f²(x).
und ohne wurzeln geht´s halt einfacher

woher soll denn ich wissen, was dein GTR macht unglücklich

unglücklich

und noch eine anmerkung: du solltest/ mußt die geradenparameter verschieden bezeichnen.

nur bei teil 2 gilt t = s, da die beiden sich "zeitgleich" bewegen.

du kannst also einfach

$\begin{eqnarray*} \vec{x}^2\to min \end{eqnarray*}$ mit s = t berechnen

hier solltest du t= 0.041868 h bekommen (das enstspricht t = 2.5 min)

ich hoffe, jetzt macht´s klick Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.03.2011, 18:06

Flow123

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Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot(-2,2,3)^T=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot(1,2,1)^T=0 \end{eqnarray*}$

löse

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1649,24225 & -612,37243 & -74.3\\ 485.07125 & -734.84692 & -103.7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle bin ich falsch vorgegangen, dank der Zwischenergebnisse konnte ich meinen Fehler finden.

Hier meine vollständige Lösung:

flugzeuge.pdf

Mein Ansatz bei Teilaufgabe b) war eigentlich von Anfang an richtig – ärgerlicherweise ist mir eine Variable abhanden gekommen, weshalb das Ergebnis dann natürlich falsch wurde. Hammer

Hammer

Zitat:

Original von riwe
und ohne wurzeln geht´s halt einfacher

Stimmt, aber meinem Taschenrechner soll's ja nicht langweilig werden. Von Hand muss ich solche Aufgaben auch in Klausuren nicht berechnen.

Lieber riwe, vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld !
Auf die 2 Punkte in a) wäre ich alleine wohl nicht gekommen, da wir diese Fragestellung auch im Unterricht noch nicht hatten.

Viele Grüße
Flo

05.03.2011, 22:17

riwe

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Freude

eine weitere möglichkeit an die punkte zu kommen: "lotebenene" , schnitt derselben mit g und h Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.03.2011, 18:45

Flow123

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Zitat:

Original von riwe
eine weitere möglichkeit an die punkte zu kommen: "lotebenene" , schnitt derselben mit g und h Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Ansatz ist meiner Meinung nach besser – zumindest kann ich mir diese Vorgehen besser vorstellen (und dadurch leichter nachvollziehen). Darauf hätte ich eigentlich auch selbst kommen können / müssen. Leider hab ich derartige Rechnungen schon lange nicht mehr gemacht und war dementsprechend nicht mehr so gut im Theme "drin".

Danke nochmals,
Gruß Flo

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