Zahlenrätsel (PFZ)

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MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlenrätsel (PFZ)
Hallo Leute Wink

ich habe mal wieder eine Frage an euch...
und zwar geht es um ein Zahlenrätsel. Die Aufgabe lautet wie folgt:

"Gesucht sind Zahlen a mit den folgenden Eigenschaften:

6 | a
a | 7776
Das 5-fache von a hat 40 Teiler

Wie kann man solche Zahlen geschickt finden? Beschreiben Sie kurz und prägnant eine Möglichkeit dafür und geben Sie die Zahlen (unter Begründung, dass sie auch alle gefunden haben) an."

Ich weiß, dass man da irgendetwas mit der Primfaktorzerlegung machen muss... aber das war es auch schon... Als wir dieses Thema behandelt haben, war ich krank und bin deshalb nie wirklich dahinter gekommen. ich weiß noch nicht einmal, wie man da ansetzen muss (und nicht nur hier nicht, sondern auch generell bei solchen Zahlenrätseln!) und was das alles überhaupt mit Primfaktorzerlegung zu tun hat...
vielleicht hat ja jemand lust einer verzweifelten Seele zu helfen? unglücklich
ich würde mich freuen Mit Zunge

liebe grüße,
misssixtieh
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MissSixtieh
Ich weiß, dass man da irgendetwas mit der Primfaktorzerlegung machen muss... aber das war es auch schon

Das ist doch schon mal ein Anfang: Beginne mit dem Ausrechnen der Primfaktorzerlegungen von 6 und 7776.
 
 
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm also die PFZ von 6 ist 2 · 3 und die von 7776 ist 2^5 · 3^5
aber ehrlich gesagt weiß ich jetzt nicht so recht, wie mir das weiterhelfen soll.. verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht lassen wir erstmal die 3. Bedingung weg und widmen uns den ersten beiden.

Wie sieht denn also (jetzt wo du die Primfaktorzerlegung kennst) ein beliebiger Teiler von 7776 aus?

Was muss zusätzlich noch gelten, damit solch ein Teiler dann seinerseits wieder durch 6 teilbar ist?


Und vielleicht schonmal etwas vorrausblickend: Weißt du wie sich aus der Primfaktorzerlegung die Anzahl der Teiler ergibt?
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das richtig in erinnerung habe, muss die Primfaktorzerlegung eines beliebigen Teilers von 7776 vollständig in der PFZ von eben 7776 auftreten (also ein Teilprodukt davon sein). Also könnte 2 · 3² beispielsweise ein Teiler von 7776 sein.
Damit ein solcher Teiler noch zusätzlich durch 6 teilbar ist, muss in der PFZ dieses Teilers die PFZ von 6 auftreten, die ja 2 · 3 ist. Also wäre 2 · 3² bis jetzt ersteinmal sogar möglich.
Wie sich aus der PFZ die Anzahl der Teiler ergibt weiß ich glaub ich auch .. war das nicht so?!: wenn p die Primfaktoren beschreibt und a die zugehörige Potenz, dann gibt es für diesen Primfaktor (a+1) Teiler. Also 2 · 3² hätte demnäch (1+1) · (2+1) = 6 Teiler...
Aber wie hilft mir das jetzt weiter? und ist das überhaupt bis jetzt alles soweit richtig, was ich hier sage?

Ps: Danke schonmal, an alle, die mir bis jetzt geholfen haben!! Mit Zunge smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles richtig. Jetzt musst du dich nur von deinem konkreten Beispiel lösen und allgemein Zahlen betrachten und schauen, wann sie die gegebenen Eigenschaften erfüllen.
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

da bin ich ja schonmal beruhigt, dass das alles richtig ist smile - bin ich anscheinend doch kein hoffnungsloser Fall Big Laugh
danke nochmal, für die schnelle antwort smile

hmmm aber wenn ich ehrlich bin, weiß ich nicht so wirklich wie ich jetzt weiter machen soll... weil ich nicht weiß, wie ich die 3. Bedingung "übersetzen" soll unglücklich und ohne diese kann ich ja auch noch keine zahlenpaare konstruieren...
wäre lieb, wenn man mir noch einmal helfen könnte Gott

liebe grüße und noch einen schönen samstag-abend,
misssixtieh Wink
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir vielleicht nocheinmal jemand helfen? Gott
wär lieb, weil ich in knapp 2 wochen eine klausur u.a. über dieses thema schreibe Gott
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Na denk doch einfach weiter:

Zitat:
Original von MissSixtieh
Das 5-fache von a hat 40 Teiler

Mit den bisherigen Erkenntnissen bedeutet das:

hat genau 40 Teiler.

Wie kannst du nun diese bereits bekannte Teileranzahl mittels ausdrücken? Dass du die dazu nötigen Kenntnisse besitzt, hast du oben bereits angedeutet:

Zitat:
Original von MissSixtieh
wenn p die Primfaktoren beschreibt und a die zugehörige Potenz, dann gibt es für diesen Primfaktor (a+1) Teiler. Also 2 · 3² hätte demnäch (1+1) · (2+1) = 6 Teiler...

Also frisch weitergemacht! Freude


EDIT: Eine Nachfrage noch: Ist wirklich 40 Teiler gemeint oder nicht doch eher 40 positive Teiler? verwirrt
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

ahh okay, ich glaube jetzt hab ichs...:

wenn · · 5 hat genau 40 teiler zutreffen soll, muss ich alpha und beta so wählen, dass (alpha+1) · (beta+1) = 20 ist. (denn · ist (1+1) = 2 und 20 · 2 = 40)
Die einzige Möglichkeit 40 zu erhalten, ist alpha = 3 und beta = 4 zu setzen (oder andersherum).
dann hat man:
· · 5
· · 5
und das ergibt:
(3+1) · (4+1) · (1+1) = 4 · 5 · 2 = 40 Teiler.
Die gesuchte Zahl selbst hat 20 Teiler.

ist das jetzt alles soweit richtig?

und dann habe ich nochmal eine andere frage bzw. ein problem.. ich versuche dieses einmal an einer beispielaufgabe (wie wir sie in der vorlesung hatten) deutlich zu machen. und zwar lautet die aufgabe:
"Finden sie die jeweils kleinste Zahl a, die durch 5 und durch 7 teilbar ist und genau 12 Teiler besitzt."
wir haben so angesetzt, dass wir alle möglichen Zerlegungen der 12 aufgeschrieben haben:
12 = 1 · 12
12 = 2 · 6
12 = 3 · 4
12 = 2 · 2 · 3 (-> PFZ)
Dann haben wir zu diesen Zerlegungen folgendes hinzugeschrieben:
12 = 1 · 12 =
12 = 2 · 6 = ·
12 = 3 · 4 = p² ·
12 = 2 · 2 · 3 = · · r²
das ergibt ja dann jeweils immer 12 Teiler.
die 5 und die 7 sind bereits primzahlen, deshalb gibt es hier keine PFZ.
also wissen wir, dass die 5 und die 7 in der PFZ von a auftreten müssen. in welcher potenz, weiß man noch nicht.
nun hat mein prof gesagt, dass wir die 5 und die 7 einfach in die pfz von 12 einsetzen und den 3. Faktor beliebig wählen (da die Zahl aber die kleinste sein soll, hat er für den 3. Faktor -- nämlich r -- 2 eingesetzt).
jetzt frage ich mich, ob man das immer so machen muss!? also muss man IMMER mit der PFZ einer Zahl bei solchen Zahlenrätseln rechnen oder könnte ich bspw. auch mit der Zerlegung 1 · 12 rechnen? liegt das nur daran, dass man hier angeblich NUR mit der PFZ rechnen kann, dass man die kleinste Zahl sucht?
weil wenn man nämlich IMMER bei solchen zahlenrätseln mit der PFZ rechnen müsste, dann müsste man bei der obrigen Aufgabe mit der PFZ von 20 = 2 · 2 · 5 rechnen... tut man ja aber nicht...kann mir jemand erklären, wieso?

Wär lieb, wenn mir jemand NOCH EINMAL helfen könnte unglücklich
ich weiß, so langsam nerve ich, aber ich muss die klausur in 2 Wochen einfach bestehen.. ist schon mein 2. Versuch unglücklich

Danke schonmal.

Liebe grüße,
misssixtieh
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MissSixtieh
Die einzige Möglichkeit 40 zu erhalten, ist alpha = 3 und beta = 4 zu setzen (oder andersherum).
dann hat man:
· · 5
· · 5
und das ergibt:
(3+1) · (4+1) · (1+1) = 4 · 5 · 2 = 40 Teiler.
Die gesuchte Zahl selbst hat 20 Teiler.

ist das jetzt alles soweit richtig?

Ja, ist richtig, falls du mit den 40 die Anzahl der positiven Teiler meinst (siehe Edit in meinem letzten Beitrag).
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm also wir rechnen nur mit positiven Zahlen in unserem Seminar - nicht mit negativen! Von daher ist hier die positive Anzahl der Teiler gemeint.
Aber wie begründe ich jetzt eigentlich, dass ich wirklich ALLE Zahlen gefunden habe, auf die diese 3 Eigenschaften zutreffen? Und habe ich überhaupt alle gefunden?

wäre auch sehr lieb, wenn mir noch jemand bei dem problem helfen könnte, dass ich im 2. Teil meines letzten Beitrags geschildert habe. weil ich wegen diesem nie so wirklich weiß, wie ich bei diesen aufgaben ansetzen soll.

Liebe grüße,
misssixtieh.

Ps: Danke schonmal, leute - ihr seit echt die Besten!!! ich wüsste echt nicht was ich ohne dieses board hier machen sollte!! Danke, danke, DANKE!!! Mit Zunge
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MissSixtieh
Aber wie begründe ich jetzt eigentlich, dass ich wirklich ALLE Zahlen gefunden habe, auf die diese 3 Eigenschaften zutreffen? Und habe ich überhaupt alle gefunden?

Ja, hast du.

Du hast die Gleichung in ganzen Zahlen zu lösen, außerdem kennst du noch die sich aus und ergebenden Einschränkungen und , auch wenn du sie oben nicht explizit genannt hast.

Für die beiden Faktoren des Produkts 20 gilt also und , da bleiben angesichts der Primfaktorzerlegung nicht mehr viele Varianten für diese Faktoren übrig. Augenzwinkern
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar - das habe ich jetzt verstanden! Danke Mit Zunge

Ich wäre nun noch sehr dankbar, wenn mir jemand hierbei helfen könnte:

Zitat:
und dann habe ich nochmal eine andere frage bzw. ein problem.. ich versuche dieses einmal an einer beispielaufgabe (wie wir sie in der vorlesung hatten) deutlich zu machen. und zwar lautet die aufgabe: "Finden sie die jeweils kleinste Zahl a, die durch 5 und durch 7 teilbar ist und genau 12 Teiler besitzt." wir haben so angesetzt, dass wir alle möglichen Zerlegungen der 12 aufgeschrieben haben: 12 = 1 · 12 12 = 2 · 6 12 = 3 · 4 12 = 2 · 2 · 3 (-> PFZ) Dann haben wir zu diesen Zerlegungen folgendes hinzugeschrieben: 12 = 1 · 12 = 12 = 2 · 6 = · 12 = 3 · 4 = p² · 12 = 2 · 2 · 3 = · · r² das ergibt ja dann jeweils immer 12 Teiler. die 5 und die 7 sind bereits primzahlen, deshalb gibt es hier keine PFZ. also wissen wir, dass die 5 und die 7 in der PFZ von a auftreten müssen. in welcher potenz, weiß man noch nicht. nun hat mein prof gesagt, dass wir die 5 und die 7 einfach in die pfz von 12 einsetzen und den 3. Faktor beliebig wählen (da die Zahl aber die kleinste sein soll, hat er für den 3. Faktor -- nämlich r -- 2 eingesetzt). jetzt frage ich mich, ob man das immer so machen muss!? also muss man IMMER mit der PFZ einer Zahl bei solchen Zahlenrätseln rechnen oder könnte ich bspw. auch mit der Zerlegung 1 · 12 rechnen? liegt das nur daran, dass man hier angeblich NUR mit der PFZ rechnen kann, dass man die kleinste Zahl sucht? weil wenn man nämlich IMMER bei solchen zahlenrätseln mit der PFZ rechnen müsste, dann müsste man bei der obrigen Aufgabe mit der PFZ von 20 = 2 · 2 · 5 rechnen... tut man ja aber nicht...kann mir jemand erklären, wieso? Wär lieb, wenn mir jemand NOCH EINMAL helfen könnte unglücklich ich weiß, so langsam nerve ich, aber ich muss die klausur in 2 Wochen einfach bestehen.. ist schon mein 2. Versuch unglücklich Danke schonmal.


ps: In meinem Beitrag weiter oben, lässt sich dies wohl besser lesen Augenzwinkern
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir nicht bitte noch einmal jemand helfen? unglücklich Gott
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Streng logisch vorgehen:

Du hast schon richtig aufgelistet, dass Teilerzahl 12 bei den vier Varianten



auftreten kann. Die erste Variante scheidet im vorliegenden Fall aus, da du ja bereits zwei verschiedene Primteiler 5 und 7 hast.

Die Varianten 2 und 3 sind mit zu untersuchen (anders herum, also ergeben sich größere Zahlen) sowie die letzte Variante dann noch mit .

Warum ? Weil dann die Ergebniszahl offensichtlich minimal wird im Vergleich zu allen anderen . Aus ähnlichen Erwägungen fallen auch Varianten wie sofort flach.


Aus den drei Kandidaten , und ist nun noch der kleinste herauszufinden, und das ist die letztere Zahl.

Zitat:
Original von MissSixtieh
weil wenn man nämlich IMMER bei solchen zahlenrätseln mit der PFZ rechnen müsste, dann müsste man bei der obrigen Aufgabe mit der PFZ von 20 = 2 · 2 · 5 rechnen... tut man ja aber nicht...

Doch, tut man, du hast es dir nur noch nicht klargemacht: Etwa die Produktzerlegung



(die ja bei zunächst ja auch ein denkbarer Fall wäre) fällt weg, weil das Ergebnis nicht der Einschränkung genügt usw.

Es scheint so, als ist dir auch die Lösung der ersten Aufgabe noch nicht in allen Details klar. verwirrt
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

Hey René,

ersteinmal danke, dass du dir jetzt bereits schon sooo oft Zeit für meine Fragen genommen hast smile finde ich echt toll!!! Also, danke, danke, danke!! Mit Zunge
dann jetzt zu deinem beitrag:

Zitat:
Original von René Gruber
Es scheint so, als ist dir auch die Lösung der ersten Aufgabe noch nicht in allen Details klar. verwirrt


Hmmm ja, da könntest du recht haben =/ ich habe nämlich allgemein ein großes Problem bei diesen Zahlenrätseln, weil ich auch oftmals nicht weiß, wie ich diese angehen soll... also mir fehlt oft der Ansatz, heißt ich weiß nicht, was ich als erstes machen soll etc.. hast du vielleicht ein patentrezept dafür? also wie man bei solchen Aufgaben ansetzt??

und hab ich das jetzt richtig verstanden?:
wäre nicht nach der kleinsten Zahl gefragt gewesen wären durchaus auch die Varianten 2 und 3 in frage gekommen!? also !?

Zitat:
Original von René Gruber

Doch, tut man, du hast es dir nur noch nicht klargemacht: Etwa die Produktzerlegung



(die ja bei zunächst ja auch ein denkbarer Fall wäre) fällt weg, weil das Ergebnis nicht der Einschränkung genügt usw.


okay also könnte man rein theoretisch bei solchen Zahlenrätseln immer mit JEDER Produktzerlegung rechnen (natürlich nur, solange es von den Bedingungen her passt) und nicht NUR immer mit der Primfaktorzerlegung einer Zahl (sonst hätte man ja bei 20 mit rechnen müssen - tut man ja aber nicht, da es von den bedingungen her nicht passt).
kann ich das so festhalten?

Liebe Grüße,
misssixtieh.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MissSixtieh
wäre nicht nach der kleinsten Zahl gefragt gewesen wären durchaus auch die Varianten 2 und 3 in frage gekommen!? also !?

So ist es. Die Zahl hat ja auch 12 Teiler und besitzt die Teiler 5 und 7.

Zitat:
Original von MissSixtieh
sonst hätte man ja bei 20 mit rechnen müssen

Diesen Gedankensprung verstehe ich nicht. unglücklich
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber

Diesen Gedankensprung verstehe ich nicht. unglücklich


ich wusste ja anfangs noch nicht, dass man rein theoretisch bei solchen Zahlenrätseln mit JEDER Produktzerlegung rechnen kann (natürlich nur, solange die Bedingungen dies zulassen). ich bin davon ausgegangen, dass man IMMER nur mit der PRIMFAKTORZERLEGUNG rechnen kann. und die ist bei 20 (Teilern) ja nicht oder sondern .
verstehst du jetzt was mit der Aussage:

Zitat:
Original von MissSixtieh

okay also könnte man rein theoretisch bei solchen Zahlenrätseln immer mit JEDER Produktzerlegung rechnen (natürlich nur, solange es von den Bedingungen her passt) und nicht NUR immer mit der Primfaktorzerlegung einer Zahl (sonst hätte man ja bei 20 mit rechnen müssen - tut man ja aber nicht, da es von den bedingungen her nicht passt).
kann ich das so festhalten?


meine? oder hab ICH irgendwo einen ganz gewaltigen Denkfehler? verwirrt
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Alles sehr interessant, nur was hat das Produkt mit drei verschiedenen Primzahlen mit der bereits vorliegenden bekannten Primfaktorzerlegung (rechts) bei



zu tun, in der nur die zwei verschiedenen Primzahlen 2,5 auftauchen??? unglücklich
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm also wir haben das irgendwie anders gelernt...
die Primfaktorzerlung von 20 ist ja 2 · 2 · 5... rein theoretisch ist das ja auch 2² · 5 aber wir haben gelernt, dass man diese gleichen primfaktoren bei solchen zahlenrätseln nicht zusammenfassen darf, sondern einzeln betrachten muss. also 2 · 2 · 5 = ...
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst nicht um immer neue Ausreden verlegen zu sein, um deine total verkorkste Parallele zu rechtfertigen. Bin mal gespannt, wieso du den einfachen Faktor 5 als , also das Quadrat einer Primzahl kodierst. Finger1

Bevor du dich auch hier wieder herauswindest, etwas ganz anderes gemeint zu haben, dann sage mir mal ganz genau, welche drei Primzahlen du meinst, wenn du



gleichsetzt. verwirrt
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

oh neiiiin Finger1 ich bin auch ein wenig doof Finger1 +
ich hab mich hier total vertan - mein Fehler!!
ich meinte natürlich 20 = 2 · 2 · 5 = ... keine ahnung wieso ich immer r² geschrieben hab... war ich wohl etwas durcheinander.

werden meine aussagen denn dadurch etwas klarer? oder ist das immer noch alles falsch durchdacht?
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MissSixtieh
hmmm also wir haben das irgendwie anders gelernt...
die Primfaktorzerlung von 20 ist ja 2 · 2 · 5... rein theoretisch ist das ja auch 2² · 5 aber wir haben gelernt, dass man diese gleichen primfaktoren bei solchen zahlenrätseln nicht zusammenfassen darf, sondern einzeln betrachten muss. also 2 · 2 · 5 = ...


aber bei der aussage bleibe ich eigentlich.. bis auf das mit dem r² wo natürlich stehen muss...
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Der Unsinn nimmt immer größere Ausmaße an:

Zitat:
Original von MissSixtieh
20 = 2 · 2 · 5 =

Man sollte nur Gleichheit schreiben, wenn man auch Gleichheit meint: Jetzt erst wird mir klar, dass du von 20 Teilern (!!!) der Zahl sprichst, da darfst du doch nicht 2 · 2 · 5 = schreiben! Forum Kloppe Forum Kloppe Forum Kloppe

Und was soll überhaupt dieser Bezug, es ist seit Ewigkeiten klar, dass sich diese Teilerzahl 20 auf das Produkt von zwei statt drei Primzahlpotenzen bezieht, nämlich . Alles, was da noch zu klären war, ist die Aufteilung der drei Primfaktoren 2, 2 und 5 auf die Faktoren und , das habe ich oben schon ausführlichst erzählst. Stattdessen wirfst du hier deine total unpassenden Nebelkerzen wie , die nichts, aber auch gar nichts mit dieser Aufgabe zu tun haben. unglücklich
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß, dass nichts mit der Aufgabe zu tun hat!!
aber ich weiß auch nicht, was ich jetzt noch sagen soll, weil ich echt ein wenig angst habe, dass es dann wieder völliger unsinn ist und du dich noch mehr aufregst...

ich wollte ja auch eigentlich nur wissen, ob man bei solchen zahlenrätseln immer mit jeder produktzerlegung der teileranzahl rechnen kann.. aber ich glaube jetzt verstanden zu haben, dass man es KANN! ...

ps: ich finde es ein wenig gemein, dass du mich hier so angehst - ich mache diese fehler bestimmt nicht extra! naja aber trotzdem danke, für deine hilfe.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MissSixtieh
ps: ich finde es ein wenig gemein, dass du mich hier so angehst

Ja, mag sein: Aber Leute wie du, die mit ständigen Nachfragen "kann mir noch jemand helfen" hier rumpushen und dann aber die Beiträge nicht richtig lesen oder nicht genug drüber nachdenken, und dann zudem noch solche völlig überflüssigen Missverständnisse wie mit dieser "Gleichheit" oben provozieren, denen werfe ich schon mal harte Worte an den Kopf für die von ihnen ohne Not verursachte Zeitverschwendung. Jetzt kannst du meinetwegen beleidigt sein, aber ich erwarte im Hochschulbereich schon etwas mehr.
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe alle deine Beiträge gelesen und auch darüber nachgedacht!! ich bin in mathe halt keine allzu große Leuchte - leider ist es aber Bestandteil meines Studiums und ich komme nicht drum herum.
das mit der gleichheit war auch nicht extra - da hatte ich einen gehörigen Denkfehler, der jetzt aus dem weg geräumt ist und mir auch einige klarheit verschafft hat...

und wie bereits gesagt: ich mache das alles nicht extra!!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich mal fragen, in welchem Studienfach man sich im Nebenfach Mathematik mit Teileranzahlaufgaben befasst? verwirrt
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

im lehramtsstudium mit schwerpunkt grundschule.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Auskunft.

Dann will ich mal wenigstens noch darstellen wie ich mir eine vollständige Lösung der ersten Aufgabe vorstelle, denn nach der jetzigen Odyssee habe ich immer noch das ungute Gefühl, dass du einiges durcheinanderbringst. Dabei verwende ich zwecks korrekter Symbolik die Teileranzahlfunktion :

Zitat:
Aus folgt zunächst die Struktur mit , aus dann zusätzlich noch .

Die Teilerbedingung kann wegen in die Gleichung



umgesetzt werden. Die Primfaktorzerlegung führt zu folgenden möglichen Fällen:

1)
2)
3)
4)
5)
6)

(d.h., der erste Faktor durchläuft alle möglichen möglichen positiven Teiler der Zahl .)

Aber nur die Fälle 3) und 4) genügen den obigen Bedingungen . Somit gibt es nur die beiden Lösungen und .
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die nochmalige ausführliche erläuterung!!!
so wie du mir das jetzt erklärt hast versteh ich das alles!
mich hatte nur verwirrt, dass wir in der vorlesung immer noch (zusätzlich zu den möglichen Fällen, die du oben aufgeschrieben hast) die pfz der teileranzahl zugefügt haben..
ich habe jetzt einfach mal ein solches beispiel aus der vorlesung rauskopiert... vielleicht verstehst du dann ein wenig, dass ich mich das alles etwas verwirrt hat...
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja richtig, aber im vorliegenden Fall hat sich doch alles durch die Zusatzinformation wesentlich vereinfacht und nur noch auf den einen Fall eingeengt, womit die Analogiebetrachtung zu deinem Scan weitgehend hinfällig ist: Welchen Sinn macht es, diese Zusatzinformation zu vergessen, und stattdessen sich erstmal in dieser Unzahl von Unterfällen zu verausgaben? Das ist eine Frage der Verhältnismäßigkeit der Mittel - man muss nicht aus jeder Mücke einen Elefanten machen.
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt habe ich das alles verstanden!!
danke für deine unglaubliche Geduld!!

Viele liebe grüße,
misssixtieh Mit Zunge
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

soo ich bins nochmal Augenzwinkern Wink

ich habe gestern und heute nochmal ein paar solche Zahlenrätsel versucht zu lösen...
wäre es okay, wenn ich meine Ergebnisse dazu posten würde und ihr würdet mir dann sagen, ob das soweit alles richtig ist oder was ich verbessern sollte?
danke im voraus Mit Zunge

Also die Aufgaben lauten:

"In dieser Aufgabe werden Zahlen mit vorgegebenen Eigenschaften gesucht. Finden Sie jeweils heraus, ob es solche Zahlen geben kann. Begründen Sie ggf, dass es solche Zahlen nicht gibt oder geben Sie (wenn möglich) drei verschiedene Zahlen mit dieser Eigenschaft an. Beschreiben Sie kurz und prägnant den Aufbau solcher Zahlen: Wie kann man weitere Zahlen mit diesen Eigenschaften konstruieren?

a) Die Zahl a soll gerade sein, aber nicht durch 4 teilbar und a soll genau 8 Teiler haben.
Meine Lösung:
a soll 8 Teiler besitzen; d.h. sie kann in den folgenden Varianten auftreten:
1) 1 · 8 -->
2) 2 · 4 --> a =
3) 2 · 2 · 2 --> a =
a soll gerade sein; d.h. einer der Primfaktoren muss 2 sein (da 2 die einzige gerade Primzahl ist).
a darf nicht durch 4 teilbar sein; d.h. die 2 darf nicht in einer höheren Potenz als 1 auftreten (da eine gerade Quadratzahl immer durch 4 teilbar ist). Damit fällt Varianten 1 weg. Variante 2 geht in Ordnung, solange man für p die 2 einsetzt. Bei Variante 3 kann ich für jeden der drei Primfaktoren 2 einsetzen.
Aus den so gewonnenen Kenntnissen, kann ich nun verschiedene Zahlen konstruieren.
3 Stück wären:
1)
2) oder auch
3)

b) Die Zahl a soll gerade sein, aber nicht durch 8 teilbar und a soll genau 5 Teiler haben.
Meine Lösung:
a soll 5 Teiler besitzen; d.h. sie kann nur in der folgenden Varianten auftreten:
1)1 · 5 --> a =
a soll gerade sein; p muss 2 sein
a darf nicht durch 8 teilbar sein; aufgrund der oben gewonnen Kenntnisse (dass a = sein muss), kann es Zahlen mit dieser 3. Eigenschaft jedoch nicht geben, da a damit durch 2 und durch 4 teilbar ist und solche Zahlen somit auch gleichzeitig durch 8 teilbar sind.

c) Gesucht ist eine ungerade Quadratzahl a mit genau 5 Teilern.
Meine Lösung:
a soll 5 Teiler besitzen; d.h. sie kann nur in der folgenden Varianten auftreten:
1)1 · 5 --> a =
a soll eine ungerade Quadratzahl sein; d.h. man kann für p jede beliebige Primzahl (außer der 2, da diese gerade ist) einsetzen.
3 verschiedene Zahlen mit diesen Eigenschaften:
1)
2)
3)

d) Gesucht ist eine gerade Quadratzahl a mit genau 5 Teilern.
Meine Lösung:
a soll 5 Teiler besitzen; d.h. sie kann nur in der folgenden Varianten auftreten:
1) 1 · 5 --> a =
a soll eine gerade Quadratzahl sein; d.h. p muss 2 sein (da 2 die einzig gerade Quadratzahl ist).
a = 2^4 =
Es gibt nur diese eine Zahl, die o.g. Bedingungen erfüllt. (stimmt das? da bin ich mir etwas unsicher...)

e) Die Zahl a soll eine Quadratzahl sein und 5·n soll doppelt so viele Teiler haben wie n
Meine Lösung:
n soll eine Quadratzahl sein; die PFZ von Quadratzahlen beinhaltet lediglich gerade Exponenten. Quadratzahlen haben also beispielsweise folgende Zerlegungen:
oder oder auch etc.
5n soll doppelt so viele Teiler haben wie n; wenn also beispielsweise doppelt so viele Teiler haben soll wie , muss die 5 in der 1. Potenz auftreten.
Einschränkung: Die 5 darf nicht als Primfaktor verwendet werden, da sich die Potenzen in dem Fall aufaddieren würden. Beispiel: --> 5 Teiler; --> 6 Teiler
3 verschiedene Zahlen, bei denen die o.g. Bedingungen erfüllt sind:
1)
2)
3)

f) Bestimmen Sie alle Vielfachen von 12, die genau 14 Teiler besitzen. Begründen Sie, dass es keine weiteren Zahlen mit diesen Eigenschaften geben kann. Gibt es auch Vielfache von 30 mit genau 14 Teilern?
Meine Lösung:
a soll 14 Teiler besitzen; d.h. sie kann in den folgenden Varianten auftreten:
1) 1 · 14 --> a =
2) 2 · 7 --> a =
a soll ein Vielfaches von 12 sein; PFZ von 12: --> diese PFZ muss in der PFZ von a vollständig auftreten! Damit fällt Variante 1 weg!
Damit dieses Vielfache von 12 genau 14 Teiler besitzt, muss mit multipliziert werden (--> für p wird 3 eingesetzt; für q 2 --> um 14 Teiler zu besitzen, muss die 2 in der 6. Potenz auftreten und · = · = ).
Also ista =
weitere Zahlen mit diesen Eigenschaften habe ich nicht gefunden. Aber wie begründe ich jetzt RICHTIG, dass es keine weiteren Zahlen mit diesen Eigenschaften gibt?
Gibt es auch Vielfache von 30 mit genau 14 Teilern?
Meine Lösung:
Nein! So ist die PFZ von 30 = ; besitzt also 3 Primfaktoren. Eine Zahl die 14 Teiler besitzt, hat aber höchstens 2 Primfaktoren. Hier liegt also ein Widerspruch! (Ist das so richtig begründet?)


Sooo, das wärs - erstmal danke an alle, die sich bis jetzt durch diesen langen Text "hindurch gequält" haben Augenzwinkern

Ich wär glücklich über jedes Statement smile

Liebe Grüße,
MissSixtieh Mit Zunge
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

und noch eine gaaaanz kleine Frage, die wahrscheinlich höchst trivial ist - ich steh nämlich irgendwie gerade total auf dem schlauch Ups

"Stimmt folgende Aussage:
Wenn a nur einen Primfaktor p hat, dann hat a zwei Teiler.?"

Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich momentan nicht weiß, wie Primfaktor nochmal genau definiert ist. Sagt man also beispielweise bei der PFZ von 4 (= 2 · 2), dass sie aus einem Primfaktor besteht (da man ja 2 · 2 zu 2² zusammenfasst) oder sagt man, dass sie aus 2 Primfaktoren besteht (auch wenn es sich hierbei um die gleiche Primzahl handelt)?
Heißt, ich weiß nicht ob mit "wenn a nur einen Primfaktor p hat" gemeint ist, dass die Primfaktoren nur in erster Potenz (also beispielsweise ) oder auch in höherer Potenz (da gleiche Primfaktoren als EINER angesehen werden, also z.B. was ja 5 · 5 · 5 wäre) auftreten dürfen.
ich hoffe ihr versteht, wie ich das meine Ups

Liebe grüße,
misssixtieh.
MissSixtieh Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir denn wirklich keiner ein kurzes feedback geben? unglücklich
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