Aus p(x) irred. in R[x] folgt p(x) primitiv.

04.03.2011, 14:20

Jan T.

Aus p(x) irred. in R[x] folgt p(x) primitiv.

Guten Tag,

ich wüsste gernw wieso folgt aus p(x) irreduzibel in einem faktoriellen Ring, dass p(x) dann auch primitiv ist. Diese Folgerung ist Teilschritt eines Beweises, den ich gerne verstehen würde. Ich bin allerdings nicht besonders firm, was die Implikationen, betrifft, die sich so in faktoriellen Ringen ergeben.

Vielen Dank für die Mühe einer Antwort!

Jan

04.03.2011, 14:39

Manus

Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen das Polynom wäre nicht primitiv, dann könnten wir den größten gemeinsamen Teiler (welcher dann keine Einheit ist) der Koeffizienten ausklammern und erhalten so eine nicht-triviale Faktorisierung des Polynoms.

04.03.2011, 15:02

Jan T.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah vielen Dank. Das heißt dann, dass alle Elemente die keine Einheiten sind, vollwertig als Polynome anerkannt werden, nämlich als Polynome vom Grad 0?

04.03.2011, 15:20

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jan T.
Ah vielen Dank. Das heißt dann, dass alle Elemente die keine Einheiten sind, vollwertig als Polynome anerkannt werden, nämlich als Polynome vom Grad 0?

Auch Einheiten sind "vollwertige Polynome", also Polynome vom Grad 0, anscheinend meinst du also was anderes...

04.03.2011, 16:24

Jan T.

Auf diesen Beitrag antworten »

Also angenommen ich betrachte ein Polynom in $\begin{eqnarray*} R[x] \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein faktorieller Ring ist), von der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot g(x) \end{eqnarray*}$ . Solange jetzt $\begin{eqnarray*} a \notin R[x]^* \end{eqnarray*}$ , kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} R[x] \end{eqnarray*}$ schon reduzibel ist, wohingegen, sei $\begin{eqnarray*} Quot(R):=K \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot g(x) \end{eqnarray*}$ als Element von $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ durchaus noch irreduzibel sein kann. Dat ist irgendwie mein Problem in $\begin{eqnarray*} R[x] \end{eqnarray*}$ ist dieses $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Polynom in $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ anscheinend nicht.

04.03.2011, 18:43

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jan T.
Also angenommen ich betrachte ein Polynom in $\begin{eqnarray*} R[x] \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein faktorieller Ring ist), von der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot g(x) \end{eqnarray*}$ . Solange jetzt $\begin{eqnarray*} a \notin R[x]^* \end{eqnarray*}$ , kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} R[x] \end{eqnarray*}$ schon reduzibel ist, wohingegen, sei $\begin{eqnarray*} Quot(R):=K \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot g(x) \end{eqnarray*}$ als Element von $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ durchaus noch irreduzibel sein kann. Dat ist irgendwie mein Problem in $\begin{eqnarray*} R[x] \end{eqnarray*}$ ist dieses $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Polynom in $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ anscheinend nicht.

Natürlich weiß ich genau, was du meinst, ich habe eben nur manchmal die dumme Angewohnheit mich ein bißchen dumm zu stellen, immer mit dem Ziel, dem anderen ein Präzisierung seiner Aussagen zu entlocken... Ich bin mir hier aber noch nicht wirklich sicher, ob mir das voll und ganz gelungen ist... unglücklich

Im Zusammenhang mit der Feststellung der Reduziblität eines Polynoms $\begin{eqnarray*} f(x) \in R[x] \end{eqnarray*}$ , welches ein $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ als Faktor hat, geht es nämlich nicht um die Frage, ob $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein "vollwertiges" Polynom ist oder nicht - das ist es nämlich immer (zumindestens nach der kanonischen Einbettung von R in R[x]), sondern um die Frage, ob a Einheit ist oder nicht... Um die letztere Frage zu beantworten, sollte man sich auch immer Rechenschaft darüber ablegen, in welchem Koeffizientenring man gerade arbeitet, denn das macht oft einen Riesenunterschied... Einfachstes Beispiel dazu: $\begin{eqnarray*} 2x \in \mathbb{Z}[x] \end{eqnarray*}$ ist reduzibel, da a=2 keine Einheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist, aber 2x ist irreduzibel als Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray*}$ , da a als Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ natürlich invertierbar ist...

06.03.2011, 10:50

Jan T.

Auf diesen Beitrag antworten »

Mystic, vielen Dank für deine Antwort. Mir ist jetzt endlich klar geworden, dass ich einfach ein zu laxes Verständnis von dem Begriff irreduzibel in einem Polynomring hatte. Aber ich habe nochmal nachgeschaut und festgestellt:
Die Unzerlegbarkeit einer Nichteinheit $\begin{eqnarray*} p \not= 0 \end{eqnarray*}$ lässt sich wie folgt ausdrücken:
Aus $\begin{eqnarray*} p=ab \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in R \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a \in R^* \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \in R^* \end{eqnarray*}$ .
Jetzt ist alles klar.

Wie schon gesagt: Danke.

Jan

Neue Frage »

Antworten »

Aus p(x) irred. in R[x] folgt p(x) primitiv.

Verwandte Themen