Fragen zur linearen Abbildung und zu Unterräumen

04.03.2011, 16:34

bbutzemann

Fragen zur linearen Abbildung und zu Unterräumen

Hallo!
Bei folgendem Beispiel steh ich im Moment ein bisschen an...

Es sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^3 \rightarrow \mathbb R^2, f( \vec x)=(x_1+x_3,x_1-x_3), \vec x = (x_1 x_2 x_3)^t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

(a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung ist.
(b) Bestimmen Sie eine Basis des Unterraumes $\begin{eqnarray*} \left\{ \vec x,f(\vec x)= \vec 0\right\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$
(c) Bestimmen Sie die Matrix A, die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beschreibt

zu a: $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^3 \rightarrow \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ ist dann lineare Abbildung, wenn für alle $\begin{eqnarray*} k,v \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r,s \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f(\vec k + \vec v)=r f(\vec k) + s f(\vec v) \end{eqnarray*}$

Da komm ich dann auf
$\begin{eqnarray*} f(\vec k + \vec v)=r f(\vec k) + s f(\vec v)=\begin{pmatrix} r(k_1+k_3)+s(v_1+v_3) \\ r(k_1-k_3)+s(v_1-v_3) \end{pmatrix} =r f(\vec k)+s f(\vec v) \end{eqnarray*}$

somit ist f eine lineare Abbildung.
Ist das soweit richtig?

zu b: Hier weiss ich nicht so recht wie das zu machen ist, da ja $\begin{eqnarray*} \vec x \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\vec x) \in \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ ist...
Grundsätzlich müsste ich ja überprüfen ob $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\vec x) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, oder? Aber wie mach ich das konkret in diesem Fall?

zu c: Hier verhält es sich ähnlich wie bei (b)...
Ich müsste eine Matrix A finden, so dass $\begin{eqnarray*} A \vec x=f(\vec x) \end{eqnarray*}$ ist, aber da müsste ja als Ergebnis einer Multiplikation von einer Matrix mit einem dreidimensionalen Vektor ein zweidimensionaler Vektor herauskommen... oder hab ich da was komplett falsch verstanden?

Vielen Dank für eure Hilfe!

04.03.2011, 17:03

Mulder

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RE: Fragen zur linearen Abbildung und zu Unterräumen

Zitat:

Original von bbutzemann
$\begin{eqnarray*} f(\vec k + \vec v)=r f(\vec k) + s f(\vec v) \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite der Gleichung tauchen nirgends die Skalare r und s auf, rechts hingegen schon. So macht das also keinen Sinn. Korrigiere das.

Zitat:

Original von bbutzemann
Da komm ich dann auf
$\begin{eqnarray*} f(\vec k + \vec v)=r f(\vec k) + s f(\vec v)=\begin{pmatrix} r(k_1+k_3)+s(v_1+v_3) \\ r(k_1-k_3)+s(v_1-v_3) \end{pmatrix} =r f(\vec k)+s f(\vec v) \end{eqnarray*}$

Diese Gleichheitskette ist ebenfalls unbrauchbar. Du zeigst da doch überhaupt nichts. Bzw. das, was du zeigen willst, nimmst du einfach als gegeben hin. Erstmal musst du das richtig stellen, was ich weiter oben geschrieben habe. Und dann kannst du zeigen:

$\begin{eqnarray*} f(rk+sv)=rf(k)+sf(v) \end{eqnarray*}$

Schreib dazu wirklich ganz explizit hin, wie f(rk+sv) eigentlich aussieht. Und dann forme das um, so dass es zu rf(k)+sf(v) wird.

Zitat:

Original von bbutzemann
Grundsätzlich müsste ich ja überprüfen ob $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\vec x) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, oder?

Was?

Überleg mal, x liegt im IR³ und f(x) im IR². Die willst du auf lineare Unabhängigkeit überprüfen? Wie willst du denn überhaupt ein Element aus dem IR³ und ein Element aus dem IR² addieren?

Mir scheint, du hast nicht so ganz verstanden, was da steht. Dieser Unterraum besteht aus allen Elementen des IR³, die unter f auf den Nullvektor (im IR²) abgebildet werden. Das nennt man dann auch den Kern von f. Bestimme erstmal diese Menge. Davon kannst du dann eine Basis bilden.

Zitat:

Original von bbutzemann
Ich müsste eine Matrix A finden, so dass $\begin{eqnarray*} A \vec x=f(\vec x) \end{eqnarray*}$ ist, aber da müsste ja als Ergebnis einer Multiplikation von einer Matrix mit einem dreidimensionalen Vektor ein zweidimensionaler Vektor herauskommen...

Ja. Dann weißt du ja auch sofort, wieviele Zeilen und Spalten die Matrix haben muss. Jedenfalls kannst du, wenn du die Abbildungsmaxtrix bezüglich der Standardbasen angeben möchtest, einfach die Bilder der Basisvektoren als Spalten in die Matrix schreiben, das war es dann auch schon.

05.03.2011, 00:52

bbutzemann

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Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von bbutzemann
$\begin{eqnarray*} f(\vec k + \vec v)=r f(\vec k) + s f(\vec v) \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite der Gleichung tauchen nirgends die Skalare r und s auf, rechts hingegen schon. So macht das also keinen Sinn. Korrigiere das.

Stimmt, das hab ich übersehen... es sollte heissen:
$\begin{eqnarray*} f(r\vec k + s\vec v)=r f(\vec k) + s f(\vec v) \end{eqnarray*}$
und dann $\begin{eqnarray*} f(r\vec k+s\vec v)=\begin{pmatrix} rk_1+rk_3+sv_1+sv_3 \\ rk_1-rk_3+sv_1-sk_3 \end{pmatrix} =rf(\vec k)+sf(\vec v \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von bbutzemann
Grundsätzlich müsste ich ja überprüfen ob $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\vec x) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, oder?

Was?

Das hab ich wohl wirklich falsch verstanden... also wäre der Unterraum gleich
$\begin{eqnarray*} U:\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 0 \end{pmatrix}, t\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$
stimmt das so?

05.03.2011, 01:41

Mulder

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RE: Fragen zur linearen Abbildung und zu Unterräumen

Zitat:

Original von bbutzemann
$\begin{eqnarray*} f(r\vec k+s\vec v)=\begin{pmatrix} rk_1+rk_3+sv_1+sv_3 \\ rk_1-rk_3+sv_1-sk_3 \end{pmatrix} =rf(\vec k)+sf(\vec v) \end{eqnarray*}$

Da sollte man noch den ein oder anderen Zwischenschritt hinschreiben. Vielleicht kommt dir das banal vor (ist es eigentlich auch), aber solche Schritte schreibt man eben hin, wenn man Abbildungen auf Linearität untersucht. So zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(r k+s v)=\begin{pmatrix} rk_1+rk_3+sv_1+sv_3 \\ rk_1-rk_3+sv_1-sk_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r(k_1+k_3) \\ r(k_1-k_3) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} s(v_1+v_3) \\ s(v_1-v_3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = r \begin{pmatrix} k_1+k_3 \\ k_1-k_3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} v_1+v_3 \\ v_1-v_3 \end{pmatrix} = rf(k)+sf(v) \end{eqnarray*}$

Später, wenn man solche Dinge kennt, muss man nicht mehr so ausführlich sein, aber jetzt, wenn man eben gerade diese Sachen durchnimmt, schreibt man vielleicht lieber mal einen Schritt mehr als einen weniger. Zumindest haben mir das meine Tutoren damals im ersten Semester immer so eingetrichtert, auch wenn es manchmal lästig war.

Zitat:

Original von bbutzemann
Das hab ich wohl wirklich falsch verstanden... also wäre der Unterraum gleich
$\begin{eqnarray*} U:\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 0 \end{pmatrix}, t\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$
stimmt das so?

Ja, genau. Und da jetzt eine Basis anzugeben ist kein Problem mehr.

05.03.2011, 02:16

bbutzemann

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RE: Fragen zur linearen Abbildung und zu Unterräumen

Zitat:

Original von Mulder

Ja, genau. Und da jetzt eine Basis anzugeben ist kein Problem mehr.

Sollte es eigentlich nicht sein smile

allerdings bin ich mir jetz doch noch ein bisschen unsicher...
Ich hab ja da jetzt einen Unterraum der aus unendlich vielen vektoren besteht.
Eine Basis wäre ja eine Menge an Vektoren aus U die linear unabhängig sind...

In meinem Skriptum steht folgender Satz:

Wird ein Unterraum von den Vektoren v1, v2, ... vk aufgespannt und sind diese Vektoren linear abhängig, so lassen sie sich schrittweise um einen Vektor reduzieren, bis alle verbliebenen Vektoren linear unabhängig sind. Diese spannen den gleichen Raum U auf.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} 0 \\ t_1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ t_2 \\ 0 \end{pmatrix} + ... + \lambda_k \begin{pmatrix} 0 \\ t_k \\ 0 \end{pmatrix} =\vec 0 \end{eqnarray*}$ anschreibe dann sind da ja nicht alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zwangsweise 0.

Erst wenn ich das ganze bis auf einen Vektor reduziere, also zB. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
hätte ich $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\vec 0 \end{eqnarray*}$ nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$

Bin ich damit auf dem richtigen Weg?

Vielen Dank für Deine Hilfe! Freude

05.03.2011, 02:24

Mulder

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RE: Fragen zur linearen Abbildung und zu Unterräumen
Der Gedankengang ist, wenn auch für diesen simplen Fall etwas weit ausschweifend, richtig. Eine mögliche Basis ist in der Tat einfach

$\begin{eqnarray*} B:= \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Jeder Vektor aus dem Unterraum U kann als skalares Vielfaches dieses Vektors dargestellt werden. Also ist dieser eine Vektor ein Erzeugendensystem von U. Und linear unbahängig ist er sicher auch. Folglich eine Basis von U. Fertig.

Einen Satz allerdings möchte ich noch kurz kommentieren:

Zitat:

Eine Basis wäre ja eine Menge an Vektoren aus U die linear unabhängig sind...

Das allein reicht natürlich nicht. Man braucht für eine Basis eine Menge an Vektoren, die linear unabhängig sind UND ein Erzeugendensystem bilden. Hier in unserem Fall besteht eine Basis nur aus einem Vektor, daher kann da nicht viel schief gehen. Aber ein einfaches Beispiel ist der R³, da sind die beiden Vektoren

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ , \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zwar linear unabhängig, aber bestimmt keine Basis. Auf die Formulierungen achten. Augenzwinkern

05.03.2011, 02:51

bbutzemann

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RE: Fragen zur linearen Abbildung und zu Unterräumen
Ok die Erklärung über skalares Vielfaches ist wirklich "etwas" eleganter in diesem Fall Big Laugh

Um jetzt nochmal auf Punkt (c) zurückzukommen...
Ich hab das jetz mal so gerechnet:
$\begin{eqnarray*} A\vec x=f(\vec x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\vec x) =\begin{pmatrix} x_1+0+x_3 \\ x_1+0-x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
also ist $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
was aber ein bisschen "unmathematisch" aussieht... Wie hast du denn das in deinem ersten Post gemeint?

Zitat:

Original von Mulder
Jedenfalls kannst du, wenn du die Abbildungsmaxtrix bezüglich der Standardbasen angeben möchtest, einfach die Bilder der Basisvektoren als Spalten in die Matrix schreiben, das war es dann auch schon.

05.03.2011, 03:01

Mulder

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RE: Fragen zur linearen Abbildung und zu Unterräumen
Das habe ich genau so gemeint, wie es da steht. Wenn da etwas unklar ist, müsstest du schon präziser nachfragen. Ansonsten: Einfach mal probieren!

05.03.2011, 03:16

bbutzemann

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Mir is nicht ganz klar wie man hier auf eine Standardbasis kommt...
Als Definition für Standardbasis hab ich folgendes gefunden:

Standardbasis ist eine Orthonormalbasis in der jeder vektor nur eine von Null verschiedene Komponente hat und diese Komponente gleich 1 ist.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erfüllt zumindest mal die zweite Bedingung, und orthonormal dazu wären ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Und wenn ich davon die Bilder bilde und als Spalten in eine Matrix schreibe komm ich auch tatsächlich auf die gleiche Matrix wie zuvor... ABER wie können $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ denn Basen sein, wenn die ja gar nicht im Unterraum vorkommen?

05.03.2011, 03:22

Mulder

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RE: Fragen zur linearen Abbildung und zu Unterräumen
Mit "Standardbasis" meinte ich einfach nur die Standardbasis des IR³:

$\begin{eqnarray*} E= \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Diese drei Vektoren zusammen bilden eine Basis des IR³, nicht jeder einzelne. So eine Abbildungsmatrix, wie wir sie hier gerade suchen, ist nämlich immer von der Wahl der Basen abhängig. Wählt man eine andere Basis der Räume, zwischen denen die Abbildung abbildet, sieht auch diese Matrix wieder anders aus.

Und wir sind hier auch nicht mehr in Aufgabe b. Der Unterraum U hat hiermit NICHTS mehr zu tun.

05.03.2011, 03:41

bbutzemann

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Ok, das war dann mein Denkfehler, dass ich immer noch bei Punkt b war...
Die Standardbasis von IR^3 nimmt man also hier, weil von IR^3 auf IR^2 abgebildet wird.
Ich glaub jetzt kapier ich auch wie das alles zusammenhängt smile

Nochmals VIELEN Dank für deine Hilfe und Geduld smile

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