p-Norm

05.03.2011, 00:06	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
p-Norm Hallo zusammen. Ich bin gerade am Beweis, dass wenn 0<p<1 ist, dass die p-"Norm" dann keine Norm ist. Dazu muss gelten: (a) \|\|x\|\| = 0 <=> x=0 (b) \|\|L x \|\| = \|L\| \|\|x\|\| (c) \|\|x+y\|\| <= \|\|x\|\|+\|\|y\|\| (a) und (b) habe ich bereits gemacht - diese beiden Eigenschaften werden erfüllt. Bleibt noch (c). Wenn wir also einen Ausdruck $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n (\|v_i\|^p)^\frac{1}{p} \end{eqnarray}$ gegeben haben, so wähle ich zusätzlich ein w = (w_1, ... w_n) aus R^n: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n (\|v_i+w_i\|^p)^\frac{1}{p} \end{eqnarray}$ Nun meine Frage: Wie zeige ich nun, dass dieser Ausdruck nicht kleiner (gleich) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n (\|v_i\|^p)^\frac{1}{p} + \sum\limits_{i=1}^n (\|w_i\|^p)^\frac{1}{p} \end{eqnarray}$ ? Vielen Dank für die Hilfe! Liebe Grüsse, Thomi
05.03.2011, 00:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Am Rande: Klammersetzung beachten (?) http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum#p-Normen
05.03.2011, 00:34	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, am Besten zeigst du das durch ein konkretes Gegenbeispiel PS: Wenn du zeigen musst dass es KEINE Norm ist musst du a und b auch nicht zeigen
05.03.2011, 00:57	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Welcher Vektor würde sich da gut eignen?
05.03.2011, 17:28	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage. Kann man mit dem Beispiel aus R^3: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zeigen, dass es sich NICHT um eine Norm handelt? (bzw. wie macht man das korrekt - einfach einsetzen?)
05.03.2011, 17:53	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurz und knapp: Ja, du musst aber auch p festsetzen, das darf man bei einem Gegenbeispiel ja. Ich hab p = 1/2 genommen.
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05.03.2011, 18:15	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Welch Zufall. Ich hab auch p=1/2 genommen. Allerdings ist mein Beispiel etwas "komisch" :S (Wahrscheinlich weil ich was falsch gemacht habe..)
05.03.2011, 18:16	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso, was erscheint dir da denn komisch? Denk auch an deine falsche Klammersetzung, siehe tigerbines Link.
05.03.2011, 20:56	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm..okey, dann mach ich etwas falsch: $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{i=1}^n \|v_i+w_i\|^p)^\frac{1}{p} = (\sum\limits_{i=1}^n \| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \|^p)^\frac{1}{p} \end{eqnarray}$ Dann eigentlich (damit die Dreiecksungleichung nicht erfüllt wird) gelten: $\begin{eqnarray} > (\sum\limits_{i=1}^n \| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\|^p)^\frac{1}{p} + (\sum\limits_{i=1}^n \| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\|^p)^\frac{1}{p} \end{eqnarray}$ ..aber das tut es nicht, oder seh' ich das falsch?
05.03.2011, 22:03	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast hier ein konkretes n gegeben, nämlich n = 3. Die Norm berechnet sich so, allgemein: $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \\|v\\|_p = (\sum_{i=1}^3~\|v_i\|^p)^{\frac{1}{p}} = (\|v_1\|^p +\|v_2\|^p + \|v_3\|^p)^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray}$ Und wir haben konkret p = 1/2 gewählt, jetzt vielleicht noch mal.
05.03.2011, 22:22	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhh.. Natüüüüürlich Vielen herzlichen Dank!

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