Direktes Produkt |
05.03.2011, 03:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Direktes Produkt in einer Aufgabe heißt es: Die Gruppe G sei das direkte Produkt ihrer Untergruppen U und N. In der Lösung wird nun gleich damit begonnen, dass U und N Normalteiler von G sind. Ist das nun immer so? Im Theorieteil steht "nur", wann man ein Gruppe direktes Produkt von Normalteilern nennt und als Bemerkung, dass Untergruppen nicht reichen (Aber kein Lemma oder ähnliches). Ist es also Teil der Aufgabe sich daran zu erinnern, dass U und N Normalteiler sein müssen oder ...? Oder übersehe ich etwas? Danke. |
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05.03.2011, 03:18 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Direktes Produkt
Das siehst Du richtig. Allgemein gilt nämlich genau dann, wenn und Normalteiler sind mit sowie . |
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05.03.2011, 12:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Direktes Produkt Danke, da wollte ich mich absichern. Dann hat die Aufgabe ihren Lerneffekt ja erreicht! |
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05.03.2011, 12:40 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Punkt ist, dass die Multiplikationsabbildung genau dann ein Homomorphismus ist, wenn . Sind und normal in mit , dann kommutieren sie auch miteinander. Gilt umgekehrt , so vertauschen und miteinander und mit kann man schließen, dass . |
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05.03.2011, 12:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke. |
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05.03.2011, 14:27 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht darf ich dich noch was zu der Aufgabe Fragen. Seien U und N Normalteiler von G mit den von dir ebenfalls genannten Eigenschaften. H sei nun eine U umfassende Untergruppe von G. Damit folgt ja schon mal dass U Normalteiler von H ist. Für die weiteren wird folgende Rechnung gemacht: Sei h aus H, dann gilt (*) Warum man das macht, durchblicke ich noch nicht. Im Moment interessiert mich eher, warum das gilt. Unter welchem Aspekt betrachtet man das erste "=": Dort wendet man einen inneren Automorphismus auf eine Untergruppe von G an. Meine Optik wäre Ist die Sichtweise richtig? Wenn ja, warum gilt das "=". edit: Warum macht man den Zwischenschritt eigentlich? Da gilt, folgt . Damit würde (*) doch ohne den Zwischenschritt folgen, oder? |
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06.03.2011, 00:04 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Term nach dem ersten Gleichheitszeichen ist nur eine Ausformulierung der ersten Identität, das kannst Du Dir rein mengentheoretisch überlegen. Den eigentlichen Schluss hast Du selbst erbracht: der Schnitt eines Normalteilers mit einer Untergruppe ist normal in dieser Untergruppe. |
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07.03.2011, 23:03 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, dankeschön! |
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