Körpererweiterung mit Primzahl

30.11.2006, 14:38	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterung mit Primzahl Hi... ich folgende Aufgabe: Sei L/K eine Körpererweiterung vom Grad p, wobei p eine Primzahl ist. Ich soll zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray} a \in L \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} L = K(a) \end{eqnarray}$ Meine Argumentation ist folgende: Wenn ich zeigen könnte, dass es vom Grad p ein irreduzibles Polynom Q gibt, dann wäre ich ja fast fertig. Denn L/K ist eine endliche Körpererweiterung, d.h. L/K ist algebraisch und weiterhin hat Q eine Nullstelle a in L. Q wäre dann automatisch das Minimalpolynom dieser Nullstelle a und dann wäre $\begin{eqnarray} L = K[X]/(Q) = K[X]/(Min(a)) = K(a) \end{eqnarray}$ also zielt doch die Aufgabe darauf ab, zu zeigen, dass es in jedem Körper, der nicht algebraisch abgeschlossen ist zu jeder Primzahl p ein irreduzibles Polynom vom Grad p gibt, oder? Und da weiß ich nicht weiter... vllt. gehts ja auch anders?
03.12.2006, 21:54	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
weiß darauf niemand ne Antwort? push
04.12.2006, 10:58	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} L = K(a_1, ...,~a_p) \end{eqnarray}$ , wobei alle p Elemente nicht in K sein sollen. Jetzt gilt $\begin{eqnarray} [K(a_1) : K] \mid [L:K] \end{eqnarray}$ . Auszunutzen ist nun die Primzahl-Eigenschaft. Grüße Abakus
05.12.2006, 15:33	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
danke - das hat geholfen... - habs also unnötig kompliziert gedacht...

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