Tschebyschovungleichung Aufgabe

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WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyschovungleichung Aufgabe
Meine Frage:
Folgende Aufgabe:
"Auf einer Maschine werden Einzelteile hergestellt, deren Länge eine normalverteilte Zufallsgröße mit einem Erwartungswert von 25cm und einer Standartabweichung von 0,05cm ist.

Bestimmen Sie c derart, dass P(|X-E(x)|<c)=0,92"

Lösung laut Lösungsbuch:
c=0,0875

Mein Problem:

Ich kenne nur folgende Formeln für die Tschebyschovungleichung:

P(|X-E(x)|)>=c)<=(V(x))/(c^2)

und

P(|X-E(x)|)>=1-[(V(x))/(c^2)]

Aber wie Löse ich eine Tschebyschovungleichung die als Gleichung geschrieben ist??? (siehe Aufgabenstellung)

Meine Ideen:
bisher ideenlos
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
Berichtigung:

P(|X-E(x)|)>=c)<=(V(x))/(c^2)

und

P(|X-E(x)|)<c)>=1-[(V(x))/(c^2)]
 
 
Pavel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
Zitat:
Original von WIW 09
Meine Frage:
Folgende Aufgabe:
"Auf einer Maschine werden Einzelteile hergestellt, deren Länge eine normalverteilte Zufallsgröße mit einem Erwartungswert von 25cm und einer Standartabweichung von 0,05cm ist.

Bestimmen Sie c derart, dass P(|X-E(x)|<c)=0,92"


Die tschebyschewsche Ungleichung brauchst du hier gar nicht.

Überlege dir einfach mal, was "|X-E(X)|<c" bedeutet. Welcher Bereich/Intervall für deine Zufallsgröße X ist damit gemeint?

Notiere mal die Intervallgrenzen und versuche dann, P(|X-E(x)|<c) in einen Ausdruck umzuschreiben, den du mithilfe der Normalverteilung berechnen kannst.
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
|X-E(X)|<c

bedeutet, das meine "Zuffalsvariable X" um weniger als "c" vom Erwartungswert abweicht. Dies gilt sowohl links- als auch rechtseitig von E(x).


Ich habe zwar noch immer keine 100% Idee, aber ich schreib jetzt einfach mal alles auf, was mir dazu einfällt:

1)Mein erster Gedanke:

Da die die Standartabweichung 0,05 beträgt, gehe ich davon aus, dass über die hälfte meiner Zufallsvariablen zwischen 24,95 und 25,05 liegen muss
Sprich [24,95;25,05]

wenn ich mal bei Wiki schummeln gehe dann steht da:
"das mindestens die hälfte der Werte sogar in dem noch kleineren Intervall (\mu - \sqrt{2}\sigma, \mu + \sqrt{2}\sigma) liegen.

2) Mein zweiter Gedanke:
P(-c<=X<=c)=0,92; da dies aber keine Standartnormalverteilung ist, muss ich die Grenzen linear mit c= \frac{x-\mu}{\sigma^2} substituieren und dann steht da
P( -\frac{x-\mu}{\sigma^2}\leq X\leq \frac{x-\mu}{\sigma^2})

Aber ich werde das Gefühl nicht los, das ich hier komplett in die falsche Richtung gelange....
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
Leider hat sich die Antwort nicht so formatieren lassen, wie ich es gewollt habe:

Also hier nocheinmal; wobei ich Punkt 2 verwerfe, der ergab keinen Sinn:

|X-E(X)|<c

bedeutet, das meine "Zuffalsvariable X" um weniger als "c" vom Erwartungswert abweicht. Dies gilt sowohl links- als auch rechtseitig von E(x).


Ich habe zwar noch immer keine 100% Idee, aber ich schreib jetzt einfach mal alles auf, was mir dazu einfällt:

Da die die Standartabweichung 0,05 beträgt, gehe ich davon aus, dass über die hälfte meiner Zufallsvariablen zwischen 24,95 und 25,05 liegen muss
Sprich [24,95;25,05]

wenn ich mal bei Wiki schummeln gehe dann steht da:
"das mindestens die hälfte der Werte sogar in dem noch kleineren Intervall [E(x)-Wurzel(2xStandartabweichung);E(x)+Wurzel(2xStandartabweichung)] liegen"
Pavel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
Dein zweiter Gedanke geht schon mal in die richtige Richtung!
Der Gedanke, dass
Zitat:
|X-E(X)|<c

bedeutet, das meine "Zuffalsvariable X" um weniger als "c" vom Erwartungswert abweicht.

ist völlig korrekt.

Es ist aber:



Die Intervallgrenzen sind so nicht richtig. Wo ist denn auf der rechten Seite der Erwartungswert hin?

Wenn du das dann richtig geschrieben hast, überlege mal, wie du die Wahrscheinlichkeit aufsplitten kannst.
Mithilfe der Normalverteilung kannst du ja Wahrscheinlichkeiten in der Form problemlos durch berechnen.
Schau mal, ob du die Wahrscheinlichkeit (mit den entsprechenden Intervallgrenzen a und b, die du nun richtig haben solltest) in einen Term bringen kannst, in dem nur Wahrscheinlichkeiten der Form vorkommen.
Probier das erst einmal, dann kommen wir zur konkreten Berechnung.
(die Idee mit der Substitution war zwar im Konzept richtig, in der Ausführung aber falsch und im Nenner auch noch ein Quadrat zu viel Augenzwinkern )

btw: Damit deine Latex-Formeln richtig angezeigt werden, musst du sie in Latex-Tags packen:

code:
1:
[latex] ... Formeln ...[/latex]
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
ich machs nochma neu
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
normalerweise müsste es heißen, aber da die Verteilung stetig ist, wäre die nächste Einheit vernachlässigbar klein

Da und

müsste es jetzt heißen
Pavel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
Ja, so sieht das super aus!

Schreiben wir der Übersicht halber mal statt E(X). (edit: ich sehe, das hast du schon^^)

Nun sind wir also bei:

Nun kannst du ja mithilfe der Normalverteilung die Terme auf der linken Seite umschreiben, denn es ist



Versuche dann, auf der linken Seite ein wenig zusammenzufassen.
Denke dabei daran, wie man bei der Normalverteilung mit negativen Funktionsargumenten umgehen kann.
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
meinst du so?



darf ich das dann so schreiben


und das wäre dann



oder soll ich es lieber nochmal mit bzw. sversuchen, dann würde die erste zeile logsichweise auch ganz anders aussehen


(das mit dem latex tag ist wirklich ne wissenschaft für sich^^)
Pavel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
Genau, das k hab ich nur für diese allgemeine Formel eingeführt.
Bleib bei den Umformungen bei deiner konkreten Gleichung.

Und weiterhin ist im Allgemeinen .
Schau mal in deiner Formelsammlung nach!

edit:
Schau dir vielleicht noch einmal die Definitionen von und und wie die beiden Funktionen miteinander zusammenhängen an.
Dann sollte dir die Beziehung, auf die ich hinauswill, auch recht schnell klar werden.
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
ich schreib es nochmal anders ich glaub das ergibt mehr sinn

wenn ich wie oben für bzw. nehme dann sieht es so aus



aber

mit haben wir ehrlich gesagt nie gearbeitet, das hab ich mir mal so nebenbei angelesen, drum kenne ich da keine definition. Als Dualer Student muss der Stoff wahrscheinlich einwenig gekürzt werden, da das sonst nich alles reinpasst.

Wir ham nur gelernt, dass ich die Grenzen substituieren muss um auf eine standartnomalverteile Zufallsvariable zu kommen, welche ich dann aus den Tabellen ablesen kann.
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
aber das hab ich gerade entdeckt für symmetrsiche streuung

http://upload.wikimedia.org/math/3/7/a/37a468e9d267637fe7e05ad556a63f16.png
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
daraus folgt

Pavel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
So weit ist das völlig richtig!

Ich bin selbst noch Schüler und schreib diesen Mittwoch erst meine schriftliche Mathe-Abiturklausur. Augenzwinkern

Ist eigentlich recht einfach, ich probiers mal, kurz gefasst darzustellen.

ist die Gaussche Glockenkurve, sieht ungefähr so aus:



Für gilt:



gibt dir also die Fläche unter dem Graphen der Glockenkurve von unendlich weit links bis zu deinem x.
Die Fläche unter der gesamten Glockenkurve ist, da die Normalverteilung ja eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, gleich 1.

Daraus und aus dem Fakt, dass die Glockenkurve symmetrisch zur y-Achse ist, kannst du folgende Beziehung schließen:



Forme damit nun in deiner Gleichung weiter um.


edit: Ja, auf genau diesen Zusammenhang, den du da bei Wikipedia gefunden hast, schiebe ich dich die ganze Zeit ja langsam hin Augenzwinkern

edit 2: Genau richtig, nun isoliere dein Phi. Weißt du dann, wie es weitergeht?
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe




der wert 1,76 wäre da in der tabelle am nächsten





da


c=0,088



Hammer Hammer Hammer
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
vielen Dank!! Ich wäre da nie allein drauf gekommen xD
Pavel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
Kein Ding, immer doch gerne.

In meiner Tabelle ist aber näher an der 0,96 dran, wenn du 1.75 benutzt, kommst du auch auf genau das Ergebnis der Musterlösung: 0,0875.
WIW 09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschovungleichung Aufgabe
vor enthusiasmus zu schnell nachgeschaut, hast recht ^^
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