Lineare ungleichung

05.03.2011, 23:43

diplom

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Lineare ungleichung

Meine Frage:
A] Bestimmen Sie die Lösungsmenge jeder der beiden folgenden Ungleichungen:
1) 3x-7(2x-1) grösser 4(2-x)-1
2) x(x-1) kleiner oder gleich (x-1)(x+3)

Meine Ideen:
ergebnisse habe ich gekriegt beim ausrechnen:
1) x < 0
2) x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1

ist das richtig?

06.03.2011, 02:14

mYthos

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Stimmen beide smile

smile

mY+

06.03.2011, 02:48

diplom

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schön, das freut mich dann smile

smile

und jetzt geht es weiter

die Frage ist: Bestimmen Sie Menge der x welche beide Ungleichungen erfüllt:
A] 1. Gleichung:

Lösungsmenge:

2. Gleichung:

Lösungsmenge

B] Die Lösungsmenge beider Ungleichungen ist:

06.03.2011, 02:56

diplom

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das ist gemeint von die beiden Ungleichungen von oben smile

smile

Also meine Antworten sind:

1) 1 Gleichung: x kleiner als 0
Lösungsmenge L=0

2) 2 Gleichung: x gröser oder gleich als 1
Lösungsmenge L=1

B) Die Lösungsmenge beider Ungleichungen ist: L=(0; 1)

Habe ich richtig alles gerechnet?

06.03.2011, 10:57

mYthos

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Die Rechnung hatten wir vorhin schon, diese war offensichtlich richtig, nun muss aber die Lösungsmenge exakt angegeben werden.

Bei der Angabe der Lösungsmenge der (Un)Gleichung müssen alle Elemente angegeben werden, welche, in die (Un)Gleichung eingesetzt, eine wahre Aussage ergeben.

x < 0 z.B. ist noch keine Lösungsangabe, sondern noch immer eine Ungleichung (Aussageform). Erst wenn du sagst, alle negativen Elemente aus der Grundmenge erfüllen diese Ungleichung, ist dies eine Beschreibung der Lösungsmenge.

Wichtig ist in diesem Zusammenhang, dass zu der (Un)Gleichung immer auch eine Grundmenge angegeben werden muss, in der die (Un)Gleichung zu lösen ist. Unter Umständen muss diese Grundmenge noch eingeschränkt werden (z.B. bei Brüchen für die Nullstellen des Nenners), diese ist dann die Definitionsmenge.

Besteht die Lösungsmenge aus wenigen Elementen, kann man diese einzeln aufzählen (diese in Mengenklammern setzen), bei unendlich vielen Elementen jedoch wird dies sicher mühsam werden Big Laugh

Big Laugh

. In diesem Falle geben wir die Menge im beschreibenden Verfahren an:

L = { x | x < 0 und x ist Element der Definitionsmenge}, z.B.

$\begin{eqnarray*} L = \{ x | x < 0 \wedge x \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

{ } sind die Mengenklammern, | heisst: "für die gilt"

Jede (Un)Gleichung hat ihre eigene Lösungsmenge. Hier sind sie nicht zu vereinigen.

Kannst du nun für beide Aufgaben die Lösungsmenge exakt aufschreiben? Wenn nicht gesondert angegeben, ist die Grundmenge die Menge der reellen Zahlen ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ )

mY+

06.03.2011, 21:24

diplom

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mYtos, danke dass du so ausführlich erklärt hast, nun ich habe nicht so alles gut vertanden. Ich schreibe dir den Antwort so, wie ich es verstanden habe:
die Antwort zu Fage A)
1) Gleichung $\begin{eqnarray*} L=\left\{x\in \mathbb R \wedge x ist kleiner als 0\right\} \end{eqnarray*}$
2) Gleichung $\begin{eqnarray*} L=\left\{x\in \mathbb R \wedge x\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$
die Antwort zu Frage B)
Die Lösungsmenge beider Ungleichungen ist:
$\begin{eqnarray*} L=\left\{x|x\in \mathbb R \wedge x ist kleiner als 0 \right\} \end{eqnarray*}$

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06.03.2011, 21:40

mYthos

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1. Woher beziehst du die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ? Steht diese irgendwo in der Angabe?
2. Die Lösungsmengen sind halbwegs richtig angegeben, es fehlt nur x | (.. Elemente x, für die gilt)

Die Antwort zu B ist nicht richtig.
Zeichne dir vielleicht die beiden Lösungsmengen auf einem Zahlenstrahl ein.
Wo müssen Elemente x liegen, wenn sie beide Lösungsmengen zugleich erfüllen sollen?

mY+

06.03.2011, 22:01

diplom

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1. also ich habe korregiert es ist nich N sondern R. Ist das richtig? nein, es steht nicht in der Angabe.
also, bitte erkläre mir einfacher bitte mYthos es ist schweirig für mich. Hilfe

Hilfe

06.03.2011, 22:08

mYthos

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Nun, dann setze eben R anstatt N ein.

Und was soll NOCH einfacher erklärt werden? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast du dir die Lösungsmengen skizziert und dann versucht festzustellen, welche x in BEIDEN liegen?

mY+

06.03.2011, 22:23

diplom

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ja ich habe skizziert, nun ich verstehe nicht wie ich schreiben soll.
Also 1 Gleichung $\begin{eqnarray*} L= \left\{ x|x < 0 \right\} \end{eqnarray*}$
2 Gleichung $\begin{eqnarray*} L= \left\{ x|x \text{ ist größer oder gleich als 1 } \right\} \end{eqnarray*}$
jetzt wenigstens habe ich das richtig geschrieben?

Edit (mY+): LaTeX berichtigt.

06.03.2011, 23:26

mYthos

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Du kannst für größer das Zeichen > und für kleiner das Zeichen < verwenden.
Bei der 2. Gleichung: Warum soll x größer oder kleiner als 1 sein? Oder hast du dich nur verschrieben?

Innerhalb LaTeX schreibe bitte: \leq = kleiner gleich (less or equal) und \geq = größer gleich (greater or equal)

Text wird innerhalb \text{ hier hinein kommt der Text } geschrieben.

Ansonsten ist das jetzt richtig.
Und wie geht jetzt B?

mY+

06.03.2011, 23:45

diplom

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Bei der 2. Gleichung habe ich mcih verschrieben Finger1

Finger1

jetzt habe ich mich korregiert grösser oder gleich als 1

Das heisst jetzt die 1 und die 2 Gleichungen Lösungsmengen sind richtig geschrieben?

und bei B) Aufgabe geht es weiter so, die Ergebniss lautet:
$\begin{eqnarray*} L=\left\{x|x<0\wedge x\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$

07.03.2011, 00:19

mYthos

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Du hast die beiden Aussagen "rein rechnerisch" zusammengefügt. Jetzt solltest du nach dem Inhalt dieses Resultates fragen, also ob dieses logisch ist. Kannst du irgendein beliebiges Element angeben, welches dieser Lösungsmenge angehört?

Und: Hast du diesen Sachverhalt nun schon einmal skizzenmäßig dargestellt, wie dir schon einmal angeraten wurde?

mY+

07.03.2011, 00:32

diplom

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Ich habe Skizze gemacht, aber mit Skizze komme nicht weiter unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} L=\left\{x| x \in \mathbb R \wedge 0<x\leq 1 \right\} \end{eqnarray*}$

07.03.2011, 00:41

mYthos

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Man soll eine errechnete Lösungsmenge sicherheitshalber immer mittels Stichproben auf den Wahrheitsgehalt überprüfen.

Aus deiner letztgenannten Lösungsmenge kann man also z.B. das Element 0,5 herausnehmen und untersuchen, ob dieses nun wirklich in L1 und in L2 liegt.

Nach L1 soll es kleiner als Null sein, nach L2 größer oder gleich 1.
Wie stellst du dich nun dazu?

mY+

07.03.2011, 01:01

diplom

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ich würde gerne pdf format winfügen wie geht das?

07.03.2011, 01:09

mYthos

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Geht nicht ein Bild (JPG oder PNG)? Das wäre besser. Die Datei darf nicht zu groß sein.

Dateien an den Beitrag anhängen:
Button "Dateianhänge" klicken, Datei am lokalen PC auswählen, mittels "Speichern" hochladen.

mY+

07.03.2011, 01:35

diplom

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es geht nicht die datei sind zu gross, aber mYthos, wie geht dann weiter mit B?
Die Lösungsmenge beider Ungleichungen ist? ich habe schon versucht, aber war falsch, also wie soll ich richtig machen?

07.03.2011, 10:31

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
Nach L1 soll es kleiner als Null sein, nach L2 größer oder gleich 1.
...

Wie funktioniert das, kann eine Zahl zugleich kleiner als Null und größer oder gleich 1 sein?
Wenn du das am Zahlenstrahl betrachtest, sind es zwei Halbgeraden, die sich niemals treffen, also keinen Punkt gemeinsam haben.
Wie nennt man eine Menge, die kein Element enthält?

mY+

07.03.2011, 20:53

diplom

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Wie nennt man eine Menge, die kein Element enthält? es nennt man eine leere Menge.
Mythos ich habe gestern noch in der nacht viel gerechnet und jetzt habe ich so alles gerechnet und gelöst, wenn das falsch sollte sein, dann weiss ich nicht mehr wie es weiter soll gehen.
die Frage ist: Bestimmen Sie Menge der x welche beide Ungleichungen erfüllt:
A] 1. Gleichung:
x<0

Lösungsmenge: $\begin{eqnarray*} L=\left\{x|x<0\right\} \end{eqnarray*}$

2. Gleichung:
$\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$

Lösungsmenge: $\begin{eqnarray*} L=\left\{x|x\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$

B] Die Lösungsmenge beider Ungleichungen ist: $\begin{eqnarray*} L=L(1)\cap L(2)=\left\{x|1\leq x<0\right\} \end{eqnarray*}$

Und ich hoffe nur noch dass das alles stimmt? verwirrt

verwirrt

07.03.2011, 21:42

lgrizu

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Da hat Mythos doch schon etwas zu geschrieben, kann eine Zahl geichzeitig kleiner als 0 sein und größer/gleich 1?

07.03.2011, 21:47

diplom

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nein kann nicht unglücklich

unglücklich

07.03.2011, 21:48

lgrizu

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Genau, wenn man die beiden Lösungsmengen also schneidet kommt was heraus?

07.03.2011, 21:57

diplom

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dann kommt so aus. $\begin{eqnarray*} L=L(1)\cap L(2)=\left\{x|1<x<0\right\} \end{eqnarray*}$

07.03.2011, 22:03

lgrizu

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unglücklich

Das kann doch nicht sein, du hast selbst gesagt, dass es keine Zahl gibt, die gleichzeitig kleiner als 0 ist und größer oder gleich 1, nun hast du offenkundig aber eine ganze Reihe von Zahlen gefunden, die diese Eigenschaft erfüllen, nämlich das Intervall (0,1).

Jetzt konzentrier dich mal.

Betrachten wir einmal eine Zahlengerade:

[attach]18518[/attach]

Der rote Bereich ist die Menge der Zahlen, die größer oder gleich 1 sind, der grüne Bereich ist der der Zahlen, die kleiner als 0 sind, welche Zahlen sind in beiden Mengen enthalten?

07.03.2011, 22:07

diplom

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$\begin{eqnarray*} \infty ,0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1,\infty \end{eqnarray*}$

08.03.2011, 12:28

mYthos

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*** Seufz! ***

Wenn schon, $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ beim Ersten. Aber die Mengen werden nicht ODER verknüpft, sondern mit UND. Was ist nun der Durchschnitt dieser beiden Bereiche?

mY+

08.03.2011, 19:06

diplom

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$\begin{eqnarray*} L=L(1)\cup L(2)=\left\{x|0<x<1\right\} \end{eqnarray*}$

08.03.2011, 20:21

zweiundvierzig

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Erstens steht $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ für die Vereinigung. Den Durchschnitt notiert man als $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ .

Zweitens ist das die gleiche Menge, die du weiter oben schonmal fälschlicherweise als Lösung angegeben hast. Igrizu hat es doch sehr schön aufgemalt. Wir haben die interessanten Zahlenbereiche rot bzw. grün gefärbt. Der Durchschnitt der Bereiche sind dann Zahlen, die sowohl rot als auch grün gefärbt sind. Welche sind das denn (siehe Bild)?

08.03.2011, 20:40

diplom

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bei grün sind: 0,-1,-2-3-4 und soweiter
bei rot sind: 1,2,3,4,5 und soweiter

ich kapiere es nicht, ich lese alle ratschläge von euch und kapiere immer noch nicht. Ich bin echt dumm Tränen

Tränen

08.03.2011, 20:51

lgrizu

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Die 0 ist nicht mit in dem grünen Bereich, also einmal sind alle negativen Zahlen in der einen Menge, in der anderen sind alle positiven Zahlen, die größer/gleich sind als 1, welche Zahlen liegen in beiden Mengen, also sowohl in der einen, als auch in der anderen?

08.03.2011, 21:13

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von diplom
bei grün sind: 0,-1,-2-3-4 und soweiter
bei rot sind: 1,2,3,4,5 und soweiter

Bei grün ist es so gemeint, dass die 0 nicht dazugehört. Davon abgesehen: wenn man sich auf ganze Zahlen einschränkte, würde Deine Aufzählung ausreichen. Aber wir gucken uns hier ja reelle Zahlen an, d.h. Brüche wie $\begin{eqnarray*} 1/2 \end{eqnarray*}$ oder nicht-Brüche wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Daher musst Du das schon als Intervall notieren.

Desweiteren verbleibt nun die Frage: welche Zahlen sind sowohl rot als auch grün gefärbt? Orientiere Dich dazu an der Aufzählung, die Du gerade gemacht hast.

Edit: @Igrizu: Sorry, wie konnte ich denn Deinen Post übersehen. Hammer

Hammer

08.03.2011, 21:18

diplom

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bei grün sind: -1,-2-3-4 und soweiter $\begin{eqnarray*} \left\{-\infty ;0\right\} \end{eqnarray*}$
bei rot sind: 2,3,4,5 und soweiter $\begin{eqnarray*} \left\{1;\infty \right\} \end{eqnarray*}$

08.03.2011, 21:21

lgrizu

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Deine Schreibweise macht nicht deutlich, dass die Null nicht in der ersten Menge liegt.

So, nun aber: Welche Elemente liegen sowohl in der einen als auch in der anderen Menge, gibt es welche, die in beiden Mengen liegen?

08.03.2011, 21:25

diplom

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so wie ich verstehe es gibts 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Elmente Gott

Gott

traurig

08.03.2011, 21:27

lgrizu

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Zitat:

Original von diplom
traurig

traurig

Damit gebe ich dir recht.....

Wir betrachten exemplarisch nur die ganzen Zahlen, also die Mengen {....,-5,-4,-3,-2,-1} und {1,2,3,4,5,6,....} und vergleichen sie, welche Zahlen liegen in beiden Mengen?

08.03.2011, 21:34

diplom

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ich habe sovieles versucht und ihr alle habt so viel gedult mit mir. Danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

, nun ich verstehe wirklich nichts, was diese mengen soll. ist dieser Aufgabe wirklich so schwierig, oder ich bin zu blöd für diese Aufgabe?
Wenn jemand mir aufschreibt, wie man b) Ergebniss schreibt, dann würde ich euch erklären wiesso das ergebnis so ist. Nun ich verstehe wirklich nichts. Am anfang habe ich bei a Aufgabe verstanden nun die aufgabe b) bin ich verloren...

P.S. Es ist eine "Verknüpfen von Ungleichungen " Aufgabe

08.03.2011, 21:37

lgrizu

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Mir reicht es jetzt auch, die beiden Mengen haben kein gemeinsames Element.

Welche Menge ist also die Schnittmenge, wie heißt die Menge, die kein Element enthält?

08.03.2011, 21:39

diplom

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diese Menge heißt die „leere Menge“

08.03.2011, 21:42

lgrizu

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Puh, endlich.

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