Bildmenge, Kern, Fixpunktmege

06.03.2011, 12:28

derFrager

Bildmenge, Kern, Fixpunktmege

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich soll die Bildmenge, den Kern und die Fixpunktmenge der Abbildungsmatrix A bestimmen.

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5}& \frac{3}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe folgendermaßen gerechnet:

Bildmenge:
$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y = \bar{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{5}x+\frac{3}{5}y = \bar{y} \end{eqnarray*}$

Die zweite Gleichung habe ich mit 3/5 multipliziert und vom 4/5 der ersten Gleichung abgezogen. Ich erhalte das Ergebnis: $\begin{eqnarray*} y = \frac{4}{5}\bar{x}-\frac{3}{5}\bar{y} \end{eqnarray*}$

Kern:
$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{5}x+\frac{3}{5}y = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe die erste Gleichung nach y umgestellt und erhalte $\begin{eqnarray*} y = \frac{4}{3}x \end{eqnarray*}$

Fixpunktmenge:

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{5}x+\frac{3}{5}y = y \end{eqnarray*}$

Ich habe die erste Gleichung nach y umgestellt und erhalte y = 2x.

Sind meine Ergebnisse zu den drei Berechnungen korrekt? Nun heißt es hier, dass es wohl einfach zu sehen ist, dass die Abbildung als orthogonale Spiegelung an der Geraden y = 2x interpretiert werden kann. Ich sehe das nicht? Woher weiß man das?

Vielen Dank

Meine Ideen:
.
Edit lgrizu: Ich schiebe dich mal in die Hochschulmathematik, dort solltest du besser aufgehoben sein Augenzwinkern

06.03.2011, 13:37

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Bild:
Du hast das Bild zum Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schon ermittelt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y \\ \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zum Kern:
$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x+4y = 0 \ \Rightarrow y=\frac 3 4 x \end{eqnarray*}$

Was ist also der Kern?

Zur Fixpunktmenge:
Was bedeutet denn, daß y=2x rauskommt? Das solltest du dir klar machen!

Ibn Batuta

06.03.2011, 14:42

derFrager

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin noch in der Schule, weswegen das eigentlich in die Schulmathematik gehört.

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Beim Bild:
Du hast das Bild zum Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schon ermittelt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y \\ \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir hatten immer eine Gerade oder eine Ebene, die den Kern darstellt. Ist meine Gerade jetzt richtig??

Zitat:

Zum Kern:
$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x+4y = 0 \ \Rightarrow y=\frac 3 4 x \end{eqnarray*}$

Was ist also der Kern?

Alle Punkte, die auf der Gerade y = 3/4x liegen??? Bei mir steht aber, dass der Kern 0 ist. Ich wüsste aber nich warum?!

Zitat:

Zur Fixpunktmenge:
Was bedeutet denn, daß y=2x rauskommt? Das solltest du dir klar machen!

Etwa dass die Matrix eine Abbildung ist, die einen Punkt an y = 2x spiegelt. Aber warum? Ich komm' nicht drauf. Könnt ihr mir das erklären?

Ich danke euch smile

06.03.2011, 16:02

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Kern:
Du hast ja rausbekommen, daß $\begin{eqnarray*} y=\frac 3 4 x \end{eqnarray*}$ . Sei z.B. $\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} y=3 \end{eqnarray*}$ , dann ist der Kern: $\begin{eqnarray*} \left\langle\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rangle \end{eqnarray*}$ .

Zu deiner Frage. Der Kern ist so definiert: $\begin{eqnarray*} \text{ker}(f)=\text{ker}(A)=\{A\cdot v=0 | v\in V\} \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

06.03.2011, 18:08

derFrager

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber kann man den Kern nicht allgemein angeben? Du hast jetzt genau einen Vektor. Ich kann ja auch was andere für x einsetzten. Deine Definition verstehe ich noch nicht so ganz. Die hatten wir in der Schule noch nicht.

Danke dir smile

06.03.2011, 19:04

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah verstehe... Ist dir diese Schreibweise des Kerns bekannt? $\begin{eqnarray*} \text{ker}(A)=(x, \frac 3 4x) \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

06.03.2011, 19:13

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bildmenge, Kern, Fixpunktmege
Ibn, so wird die erste Komponente des Bildvektors zwar null, nicht aber die zweite. Das ist also nicht der Kern!

Edit: Und beim Bild soll man ja eigentlich die Bildmenge angeben und nicht einfach nur den Bildvektor. Verstehe ich zumindest so.

06.03.2011, 19:15

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Anmerkung:

Ihr betrachtet hier nur eine von zwei Gleichungen für die Berechnung der Kerns.
Dasselbe auch bei den Fixpunkten (wobei das Ergebnis hier im Gegensatz zum Kern stimmt).
Darüber würde ich nochmal nachdenken Wink

Edit:

Zitat:

Nun heißt es hier, dass es wohl einfach zu sehen ist, dass die Abbildung als orthogonale Spiegelung an der Geraden y = 2x interpretiert werden kann. Ich sehe das nicht? Woher weiß man das?

Kommt drauf an ob ihr schonmal entsprechende Abbildungsmatrizen/Eigenschaften für Spiegelungen an einer Ursprungsgeraden hergeleitet habt.
Unter folgendem Link findest du Ideen dazu unter 2.4.1 und 2.4.2

http://www.mspengler.de/BAUSTELLE/pdf2HP/AffinSkript.pdf

Neue Frage »

Antworten »

Bildmenge, Kern, Fixpunktmege

Verwandte Themen