Anwendungsaufgabe zur Vektorrechnung

07.03.2011, 00:13

studYY

Anwendungsaufgabe zur Vektorrechnung

Guten Abend.

Auf einem See kreuzen sich die Routen zweier Fähren F1 und F2.
Die Fähre F1 fährt in 40 Minuten mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig vom Ort A(16|4) zum Ort B(12|20).
Die Fähre F2 fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 25km/h geradlinig vom Ort C(4|0) zum Ort D(24|15).
//alle Koordinaten in km

1.
Wo befindet sich die Fähre F1 eine halbe Stunde nach dem Verlassen des Ortes A?

2.
Beide Fähren verlassen gleichzeitig die Orte A bzw. C.
Wie viele Minuten nach Abfahrt kommen sich die beiden Fähren am nächsten?
Wie weit sind sie in diesem Augenblick voneinander entfernt?

Zu 1:
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = \begin{pmatrix} -4 \\ 16 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{CD} = \begin{pmatrix} 20 \\ 15 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} gF1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 16 \\ 4 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} -4 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} gF2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} 20 \\ 15<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

F1:
v=4km / 40min = 0.1 -> 0.1km/min * 60min = 6km
v = 6km/h

F2:
v=25km/h

Richtungsvektoren normieren:

$\begin{eqnarray*} gF1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 16 \\ 4 \end {pmatrix} + t * \frac{6}{16.49} \begin{pmatrix} -4 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} gF2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end {pmatrix} + t * 1 * \begin{pmatrix} 20 \\ 15<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?
Der Betrag des Richtungsvektor von F1 macht mich stutzig, da er so krumm ist.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen smile

07.03.2011, 00:41

riwe

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RE: Anwendungsaufgabe zur Vektorrechnung
da stutzt du zu recht Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} v_1=\sqrt{272}\cdot\frac{6}{4} \end{eqnarray*}$

womit die häßliche wurzel wieder verschwindet

warum wohl verwirrt

07.03.2011, 00:50

studYY

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RE: Anwendungsaufgabe zur Vektorrechnung
Schön wieder von dir zu hören riwe smile

$\begin{eqnarray*} \sqrt{272} \end{eqnarray*}$ ist die Länge des Vektor und 6/4 ist der Anteil: 40min von 60min

Aber warum sollte die Wurzel verschwinden?

07.03.2011, 00:53

riwe

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RE: Anwendungsaufgabe zur Vektorrechnung
warum hast du denn oben geschrieben:
RICHTUNGSVEKTOR NORMIEREN, darum

und hast es ja auch getan!
dir auch einen schönen abend Augenzwinkern

07.03.2011, 00:57

studYY

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RE: Anwendungsaufgabe zur Vektorrechnung
Okey smile

Und um zu bestimmen, wann sie sich am nächsten kommen, muss ich die Gleichungen der Fähre gleichsetzen und dann... ?

07.03.2011, 01:09

riwe

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RE: Anwendungsaufgabe zur Vektorrechnung
nicht ganz.
du bestimmst den abstand der beiden geraden in abhängigkeit von t und dessen minimum (da sie gleichzeitig losfahren hast du ja nur (ein) t als parameter, und nicht 2 unabhängige)

nimm also an, du kennst schon P1(t) aug f1 und P2(t) auf f2.

nun bildest du d(P1,P2) mit der distanzformel und differenzierst.
tipp: einfacher ist d² zu untersuchen, das hat an derselben stelle ein extremum wie d.

07.03.2011, 01:24

studYY

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RE: Anwendungsaufgabe zur Vektorrechnung
$\begin{eqnarray*} d(P1, P2) = \|P1 - P2\| \end{eqnarray*}$

Wie genau kann man das nun differenzieren?
Und geht das alles ohne Werte?

Danke nochmal riwe smile

07.03.2011, 12:18

riwe

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RE: Anwendungsaufgabe zur Vektorrechnung

Zitat:

Original von studYY
$\begin{eqnarray*} d(P1, P2) = \|P1 - P2\| \end{eqnarray*}$

Wie genau kann man das nun differenzieren?
Und geht das alles ohne Werte?

Danke nochmal riwe smile

du mußt schon genau lesen und auch selber ein bißerl (mit)denken:

ich habe dir geschrieben P1 auf f1 usw., also gilt

$\begin{eqnarray*} d^2(P_1,P_2)=|f_1(t)-f_2(t)|^2 \end{eqnarray*}$

jetzt brauchst du doch nur mehr für die beiden geraden einsetzen, um t bestimmen zu können.

anmerkung: zuerst sollte man eigentlich def.- und wertebereich bestimmen.

also
$\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 40 \end{eqnarray*}$ minuten
woraus noch folgt $\begin{eqnarray*} d\leq min(AC,AD,BC,BD)=13 \end{eqnarray*}$

damit du dir den unterscied leichter klarmachen kannst zwischen bestimmung des schnittpunktes von 2 geraden ( t <> s) und der größten annäherung der beiden schiffe (s = t) ein bilderl dazu Augenzwinkern

ich hoffe, jetzt wird´s klarer

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