Lösungsmengen bei Ungleichungen

07.03.2011, 00:16

diplom

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Lösungsmengen bei Ungleichungen

Meine Frage:
Geben Sie die Lösungsmengen der folgenden Aussageformen in der Intervallschreibweise an. Die Grundmenge ist die Menge der rationalen Zahlen.

A] $\begin{eqnarray*} x>3\wedge x>1 \end{eqnarray*}$
Die Lösungsmenge ist:

B] $\begin{eqnarray*} x>3\vee x>1 \end{eqnarray*}$
Die Lösungsmenge ist:

C] $\begin{eqnarray*} | x | \leq 2\wedge | x | \geq 5 \end{eqnarray*}$
Die Lösungsmenge ist:

Meine Ideen:
?

07.03.2011, 00:20

lgrizu

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RE: Lösungsmengen bei Ungleichungen
Und wo sind die Ungleichungen? verwirrt

verwirrt

Edit: Okay, nun hast du sie hineineditiert.

Aber bist du dir sicher, dass die Aufgaben so richtig aufgeschrieben sind?

Schließlich ist bei A jedes x, das größer als 3 ist auch größer als 1.

07.03.2011, 00:34

diplom

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ja igrizu, alles richtig habe geschrieben jetzt. Die Aufgaben stimmen. Willst du mir helfen es zu lösen Augenzwinkern

Augenzwinkern

?

07.03.2011, 00:40

lgrizu

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Zu der ersten habe ich dir ja schon einen Hinweis gegeben, jede Zahl, die größer als 3 ist ist auch größer als 1.

07.03.2011, 01:04

diplom

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ich verstehe nur bahnhof. Gott

Gott

das heisst ich verstehe gar nichts Igrizu. Ich galube ich bin zu dumm. Ich komme nicht weiter...

07.03.2011, 01:11

lgrizu

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Formuliere die erste Aufgabe mal als einen Satz, dass steht dort doch:

"x ist größer als 1 und x ist größer als 3".

Nun ist sicherlich jede Zahl, die größer als 3 ist auch größer als 1.

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07.03.2011, 01:19

diplom

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B) x ist größer als 1 oder x ist größer als 3
das heisst jede Zahl, die größer als 3 ist kann auch größer als 1 sein.in dieser Aufgabe ist die L= $\begin{eqnarray*} \left\{ x|x>3\wedge x>1\right\} \end{eqnarray*}$

07.03.2011, 01:33

lgrizu

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Das kann man darauf beschränken, dass die Lösungsmenge alle x enthält, die größer sind als 1, denn die x, die größer als 3 sind sind auch größer als 1.

Und du sollst die Lösung als Intervall angeben, also in der Form $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \end{eqnarray*}$

07.03.2011, 01:42

diplom

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aaa das heisst $\begin{eqnarray*} x\in \left[3,1\right] \end{eqnarray*}$ und das ist ein abgeschlossenes interval?

07.03.2011, 04:02

zweiundvierzig

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Also zunächst mal ist der Witz, dass $\begin{eqnarray*} L = \{ x \colon x > 1 \vee x > 3 \} = \{ x \colon x > 1 \} \end{eqnarray*}$ , wie Igrizu schon erklärt hat.

Das Intervall $\begin{eqnarray*} [3,1] \end{eqnarray*}$ gibt es nicht. Man definiert: $\begin{eqnarray*} [a,b] = \{ x \colon a \leq x \leq b \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a,b) = \{ x \colon a < x < b \} \end{eqnarray*}$ , wenn die Randpunkte $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nicht dabei sind. Wenn man nur einen weglässt, schreibt man $\begin{eqnarray*} [a,b) = \{ x \colon a \leq x < b \} \end{eqnarray*}$ und analog $\begin{eqnarray*} (a,b] = \{ x \colon a < x \leq b \} \end{eqnarray*}$ .

Insbesondere muss der erste Wert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kleiner als der zweite Wert $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sein. Ansonsten würde man gemäß Deines Beispiels die folgende Menge betrachten: $\begin{eqnarray*} [3,1] = \{x \colon x \geq 3 \wedge x \leq 1 \} \end{eqnarray*}$
Überlege Dir mal, dass keine Zahl diese Bedingung erfüllt und die Menge daher leer sein muss.

Bei den Intervallen möchte man möglicherweise einen unbeschränkten Zahlenbereich zulassen, z.B. alle positiven Zahlen und die 0. Das schreibt man dann als $\begin{eqnarray*} [0, \infty) = \{ x \colon 0 \leq x \} \end{eqnarray*}$ . Natürlich ist $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ keine Zahl, daher ergäbe auch das abgeschlossene Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$ keinen Sinn. Da aber eben alle Zahlen "kleiner als Unendlich" sind, schreibt man diese Intervalle so.

Jetzt überlege nochmal, wie es bei dieser Aufgabe aussieht. Bei (A) und (B) handelt es sich jeweils um offene Intervalle. Vielleicht malst Du Dir das als Zahlenbereich auf dem Zahlenstrahl.

07.03.2011, 09:12

mYthos

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Genau mit der Darstellung am Zahlenstrahl scheint es nicht zu klappen, wie es auch aus deinem anderen Thread* ersichtlich ist. Die entsprechenden Mengen werden als Halbgeraden dargestellt. Bei x > 1 ist es also eine Gerade, die von +1 ausgehend nach rechts verläuft, ohne den Punkt +1 selbst zu enthalten.

@zweinundvierzig und @lgrizu,
ihr habt beide die Aufgabe B behandelt. Es soll aber auch deutlich werden, dass es sich in der Aufgabe A um eine "UND" Verknüpfung handelt.

Somit ist bei A der Durchschnitt (<-- "UND") und bei B die Vereinigung (<-- "ODER") der beiden Mengen zu bestimmen. Bei A ist also x > 3 die zutreffende Aussage ...

Auch in deinem anderen Thread* handelt es sich um den Durchschnitt.

(*) Lineare ungleichung

mY+

07.03.2011, 10:18

lgrizu

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Zitat:

Original von mYthos
@zweinundvierzig und @lgrizu,
ihr habt beide die Aufgabe B behandelt.

Da wäre ich noch drauf gekommen, den "Schwenk" zu Aufgabe B hat Diplom selbst vollzogen.

08.03.2011, 00:44

diplom

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ich weiss nicht wie ich mit formeleditor die klammer intervals setzten kann? ich schreibe es dann ein paar sachen wörtlich, sorry

a) offenes Interval 3;1 $\begin{eqnarray*} \left\{ x\in \mathbb R | 3\leq x\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

b) offenes Interval 3;1 $\begin{eqnarray*} \left\{ x\in \mathbb R | 3 < x < 1\right\} \end{eqnarray*}$

c) halboffenes Interval 2;5 $\begin{eqnarray*} \left\{ x\in \mathbb R | 2\leq x \leq 5\right\} \end{eqnarray*}$

also, das war das was ich versucht habe?

08.03.2011, 05:47

lgrizu

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Alles falsch.
Du musst die Tipps, die man dir gibt auch lesen.

A: jede Zahl, die größer ist als 1 ist auch größer als 3, in deiner Lösung kommen nur die Zahlen zwischen 1 und 3 vor, es sind aber die gesucht, die sowohl größer als 1, als auch größer als 3 sind.

Bei B sind die Zahlen gesucht, die größer als 1 oder größer als 3 sind, das wiederum sind alle Zahle, die größer sind als 1, da hat zweiundvierzig schon eine Lösung zu gegeben.

In deiner Lösung zu C liegt die Zahl 3, es ist aber |3|=3, dieser ist weder kleiner als 2 noch größer als 5, also auch nicht richtig.
Hier überlege dir, welche Zahlen diese Bedingung überhaupt erfüllen können, wo müssen sie auf dem Zahlenstrahl liegen?

12.03.2011, 22:00

diplom

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also bei a) L=x>3
bei b) L=x>1

12.03.2011, 22:01

lgrizu

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Jap, nun ist das beides richtig.

12.03.2011, 22:03

diplom

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bin ich froh, und jetzt noch die c) Lesen1

Lesen1

12.03.2011, 22:04

lgrizu

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Na dann mal los, eine Idee?

12.03.2011, 22:21

diplom

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bei c) L= $\begin{eqnarray*} x\geq 5 \end{eqnarray*}$

12.03.2011, 22:30

lgrizu

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Gehen wir doch mal Schritt für Schritt vor, welche Zahlen erfüllen die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x| \geq 5 \end{eqnarray*}$ ?

12.03.2011, 22:43

diplom

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-5 und 5

12.03.2011, 22:59

lgrizu

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Naja, nen paar mehr als zwei Zahlen erfüllen die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x| \geq 5 \end{eqnarray*}$ schon, nämlich alle alle x mit $\begin{eqnarray*} x \leq -5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq 5 \end{eqnarray*}$ .

Nun bestimme die x, für die gilt $\begin{eqnarray*} |x| \leq 2 \end{eqnarray*}$

12.03.2011, 23:02

diplom

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$\begin{eqnarray*} | x | \leq 2= x\geq -2\wedge x\leq 2 \end{eqnarray*}$

12.03.2011, 23:22

lgrizu

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Jawoll.

Nun bestimme die gemeinsamen Elemente der beiden Mengen $\begin{eqnarray*} A=\left\{x \geq -2 \wedge x \leq 2\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\left\{x \geq 5 \wedge x \leq -5\right\} \end{eqnarray*}$ .

12.03.2011, 23:30

diplom

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ich habs bald Lesen1

Lesen1

A ist $\begin{eqnarray*} x\leq 2 \end{eqnarray*}$
B ist $\begin{eqnarray*} x\geq 5 \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 00:15

tigerbine

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Zitat:

Original von lgrizu
Jawoll.

Nun bestimme die gemeinsamen Elemente der beiden Mengen $\begin{eqnarray*} A=\left\{x \geq -2 \wedge x \leq 2\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\left\{x \geq 5 \wedge x \leq -5\right\} \end{eqnarray*}$ .

Hast du das mal auf einem Zahlenstrahl bunt gemalt? Also die Mengen A und B?

http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlengerade

13.03.2011, 00:34

diplom

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das ist doch bei A und B halboffenes unendliches Intervall?

13.03.2011, 00:38

tigerbine

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Nö.

Zitat:

C] $\begin{eqnarray*} | x | \leq 2\wedge | x | \geq 5 \end{eqnarray*}$

|| heißt als Funktion Betrag - abs im Plotter. Die erste Frage ist also, für welche x auf der a-Achse ist die rote Linie unterhalb oder auf der grünen?

13.03.2011, 00:42

diplom

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2

13.03.2011, 00:46

tigerbine

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Nur für x=2.... Ich sehe da viel mehr.

13.03.2011, 00:51

diplom

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-2;-1;0;1;2

13.03.2011, 00:52

tigerbine

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Warum nur ganze Zahlen?

13.03.2011, 00:59

diplom

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aber tigerbienchen, was gibts noch für zahlen? natürlichen?

13.03.2011, 01:05

tigerbine

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ROFL

Es gibt sooooooooo viele Zahlen. Mit den natürlichen kann man sich herrlich in den Schlaf zählen.

Zitat:

Die Grundmenge ist die Menge der rationalen Zahlen.

Symbol Q, Menge aller Bruchzahlen. Aufzählen wird schwer, oder ist eben eine Lebensaufgabe. Daher hattet ihr ja schon mit $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ Symbolen gearbeitet. Da du damit aber wohl noch nicht "warm" bist, wollte ich eben mit dir malen.

$\begin{eqnarray*} A=\left\{-2\leq x \wedge x \leq 2\right\} \end{eqnarray*}$

Wo setzen wir den Stift dann an? Genau. x=-2 wir malen rechts rüber bis zu x=2. Dann haben wir und A mal "optisch"klar gemacht. Tanzen

Tanzen

$\begin{eqnarray*} B=\left\{x \leq -5 \wedge 5\geq x\right\} \end{eqnarray*}$

Hier musst du 2 Linien malen. ABER andere FARBE. Setze auf x=-5 an und male nach links bis das Paier fertig ist. Setze bei x=5 an und male nach rechts, bis das Papier fertig ist.

So, gibt es eine Stelle auf dem Zahlenstrah, die mit beiden Farben bemalt ist?

13.03.2011, 01:11

diplom

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ich habe jetzt alles so gemacht wie du gesagt hast und habe dieses blatt vor mir Augenzwinkern

Augenzwinkern

was muss ich machen jetzt?
so wie ich sehe wäre so dass:
( $\begin{eqnarray*} -\infty;-5 \end{eqnarray*}$ )
(-2 bis 2)
( $\begin{eqnarray*} 5;\infty \end{eqnarray*}$ )

13.03.2011, 01:12

tigerbine

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Korrekt. Nun musst du hingucken!

Zitat:

gibt es eine Stelle auf dem Zahlenstrahl, die mit beiden Farben bemalt ist?

13.03.2011, 01:17

diplom

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nein gibt es nicht.

13.03.2011, 01:19

tigerbine

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Freude

Die Menge ist also leer. Das Symbol hast du schon gelernt. Wie sieht es aus?

13.03.2011, 01:21

diplom

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Tanzen

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ \right\} \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 01:22

tigerbine

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Genau.

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