Umgangston! Induktionsbeweis gesucht

07.03.2011, 16:21

CR7

Induktionsbeweis gesucht

Meine Frage:
Läßt sich folgende Aussage induktiv beweisen?
\frac{1}{k} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k}}{b_{k}} > \frac{\sum\limits_{k=1}^n a_{k}}{\sum\limits_{k=1}^n b_{k}}

Für: k > 1, a_{k} > 1, b_{k} > 1, a_{k} \leq b_{k} sowie {\sum\limits_{k=1}^n a_{k}} < {\sum\limits_{k=1}^n b_{k}}

Meine Ideen:
Ich weiß momentan, dass für den weiteren Beweis gelten muss:
\frac{1}{k} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k}}{b_{k}}{\sum\limits_{k=1}^n b_{k}}- {\sum\limits_{k=1}^n a_{k}} > 0

Ansonsten mache ich wahrscheinlich einen Denkfehler.

07.03.2011, 17:51

chrizke

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RE: Induktionsbeweis gesucht
Wenn du etwas mit dem Formeleditor darstellen willst, musst du es in die Latexklammern setzen:

code:
1:	[latex]...[/latex]

Ich hab denen Beitrag mal entsprechend verbessert:

Meine Frage:
Läßt sich folgende Aussage induktiv beweisen?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k}}{b_{k}} > \frac{\sum\limits_{k=1}^n a_{k}}{\sum\limits_{k=1}^n b_{k}} \end{eqnarray*}$

Für:
$\begin{eqnarray*} k > 1, a_{k} > 1, b_{k} > 1, a_{k} \leq b_{k} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} {\sum\limits_{k=1}^n a_{k}} < {\sum\limits_{k=1}^n b_{k}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß momentan, dass für den weiteren Beweis gelten muss:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k}}{b_{k}}{\sum\limits_{k=1}^n b_{k}}- {\sum\limits_{k=1}^n a_{k}} > 0 \end{eqnarray*}$

Ansonsten mache ich wahrscheinlich einen Denkfehler.

07.03.2011, 20:41

Reksilat

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RE: Induktionsbeweis gesucht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k}}{b_{k}} > \frac{\sum\limits_{k=1}^n a_{k}}{\sum\limits_{k=1}^n b_{k}} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ergibt dort überhaupt keinen Sinn. unglücklich

Dort sollte zudem irgendein Wert stehen, der größer als 1 ist, da sonst nicht mal der Induktionsanfang hinhaut.

@chrizke: Du kannst auch einen Mod per PN darum bitten, die LaTeX-Tags einzufügen. Dann hat gleich der Startpost die richtige Form. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

07.03.2011, 21:38

CR+7

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RE: Induktionsbeweis gesucht
Danke für die Hilfe. Ich arbeite sonst nicht mit LaTeX.

07.03.2011, 21:55

CR+7

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RE: Induktionsbeweis gesucht
> Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ergibt dort überhaupt keinen Sinn.

Das trifft nicht ganz zu:
Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k}}{b_{k}} \end{eqnarray*}$ ist das arithmetische Mittel aller Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k}}{b_{k}} \end{eqnarray*}$ .

Demnach ist die Aussage: Der Durchschnitt aller $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k}}{b_{k}} \end{eqnarray*}$ ist größer als der Quotient der Summen $\begin{eqnarray*} \\{\sum\limits_{k=1}^n a_{k}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \\{\sum\limits_{k=1}^n b_{k}} \end{eqnarray*}$ .

Die beiden der Ungleichung sind dann und nur dann gleich, wenn entweder alle a_k = 0 sind oder wenn beide Summen $\begin{eqnarray*} \\{\sum\limits_{k=1}^n a_{k}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \\{\sum\limits_{k=1}^n b_{k}} \end{eqnarray*}$ gleich groß sind. Beides ist durch die einschränkenden Bedingungen aber ausgeschlossen.

Also bleibt die Frage: Läßt sich induktiv nachweisen, dass der Durchschnitt größer ist als der Quotient der Summen?

07.03.2011, 22:04

Reksilat

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RE: Induktionsbeweis gesucht

Zitat:

Das trifft nicht ganz zu:
Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k}}{b_{k}} \end{eqnarray*}$ ist das arithmetische Mittel aller Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k}}{b_{k}} \end{eqnarray*}$ .

Dann solltest Du k statt n schreiben. Augenzwinkern

Zitat:

Die beiden der Ungleichung

Ich sehe nur eine Ungleichung.

Aber auch mit Deinen Einschränkungen wirst Du keine echte Ungleichung erhalten. Wenn nämlich zum Beispiel die Folgen konstant sind: $\begin{eqnarray*} a_k:=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k:=b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , dann steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k}}{b_{k}}=\frac{1}{n}\cdot n\cdot \frac{a}{b}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{k=1}^n a_{k}}{\sum\limits_{k=1}^n b_{k}}=\frac{n\cdot a}{n\cdot b}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

07.03.2011, 22:20

CR+7

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RE: Induktionsbeweis gesucht
Erwischt: 1/n trifft zu und es gibt nur eine Ungleichung, zugegeben. Bleibt also noch einzuschränken dass $\begin{eqnarray*} a_{k} \neq a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{k} \neq b \end{eqnarray*}$ .

Gut, ich würde nicht nach einem mathematischen Beweis fragen, hätte ich nicht empirische Hinweise dafür, dass die angegebene Ungleichung richtig sein könnte.

Ist es nun möglich den Beweis zu führen? Es geht doch um ein ähnliches Problem wie bei: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^{n}a_k \cdot b_k \neq \sum_{k=m}^{n}a_k \cdot \sum_{k=m}^{n} b_k \end{eqnarray*}$ . Oder sehe ich da etwas falsch?

07.03.2011, 23:45

Reksilat

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RE: Induktionsbeweis gesucht
Kannst Du mir mal bitte erklären, was Du eigentlich willst. Du bist doch derjenige, der hier was beweisen will, also solltest Du Dich schon selbst um die eigentliche Aussage kümmern. – Keine Ahnung, was Deine "empirischen Hinweise" sagen, aber ich habe keine Lust hier nach irgendeiner Aussage zu suchen, die sich beweisen lässt.

Die Einschränkung, dass die Folgen nicht konstant sind, hilft hier auch nicht. Fürs Aufschreiben des Gegenbeispiels bin ich aber zu faul.
Schläfer

Gruß,
Reksilat.

08.03.2011, 10:44

CR+7

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RE: Induktionsbeweis gesucht
[quote]Original von Reksilat
Kannst Du mir mal bitte erklären, was Du eigentlich willst. Du bist doch derjenige, der hier was beweisen will, also solltest Du Dich schon selbst um die eigentliche Aussage kümmern.

Herzlichen Dank, suchte nach Hilfe und fand Belehrung. Wofür hälst Du Dich eigentlich? Gott

Ich verstehe Deine Einlassung so, die Aussage, das arithmetische Mittel ist stets größer als der Quotient der beiden Summen, läßt sich nicht induktiv beweisen. Siehst Du, das hätte man auch ganz normal formulieren können.

Nochmals Danke
Wink

08.03.2011, 12:48

Reksilat

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RE: Induktionsbeweis gesucht
Du hast hier noch immer keine Aussage gebracht, die sich beweisen lässt, da bis jetzt alle Aussagen schlicht und ergreifend falsch waren. Für Gleichheit der beiden Terme konnte man immer leicht ein Beispiel angeben, auch trotz Deiner Einschränkungen.

Deinen Umgangston kannst Du Dir an den Hut oder wahlweise auch in die Haare stecken. Wenn Du mir nicht sagen kannst, was Du eigentlich beweisen willst, dann sehe ich auch keinen Sinn darin, nach irgendeiner beweisbaren Aussage zu suchen.

btw.:
Lern mal zitieren. Ein Zitat schließt man mit [/quote].
Und es heißt "hältst" und nicht "hälst".

Viel Spaß noch. smile

08.03.2011, 13:36

CR+7

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RE: Induktionsbeweis gesucht

Zitat:

Original von Reksilat
Lern mal zitieren. Ein Zitat schließt man mit (/quote].

Danke, dass ich jetzt von Dir auch noch gelernt habe, korrekt in LaTeX zu zitieren - eine Kulturtechnik, die mich in meinem weiteren Leben unheimlich beflügeln wird. Hammer

Zitat:

Original von Reksilat
Deinen Umgangston kannst Du Dir an den Hut oder wahlweise auch in die Haare stecken.

Uih, fühlst Du Dich getroffen? Wie bedauerlich! traurig

Ich schlage vor, Du suchst einen Therapeuten bzw. eine Therapeutin Deines Vertrauens auf. Im Gegensatz zu Deinem finde ich meinen Umgangston ausgesucht höflich.

Die Bedeutung der Worte Bitte und Danke ist mir bekannt. Außerdem habe ich gelernt, dass es unhöflich ist, auf den Schwächen des Nebenmenschen herumzuhacken. Forum Kloppe

Wies ich doch selbst darauf hin:

Zitat:

Ich arbeite sonst nicht mit LaTeX.

Du beschwerst Dich dagegen zu Recht, dass ich in der Abfassung meiner Beiträge nicht sorgfältig genug war. Dafür beherrsche ich offebar die Kulturtechnik des Lesens deutlich besser als z.B. das Zitieren in LaTeX, in jedem Falle aber besser als Du.

Zitat:

Original von Reksilat
Du hast hier noch immer keine Aussage gebracht, die sich beweisen lässt, da bis jetzt alle Aussagen schlicht und ergreifend falsch waren.

Stell Dir vor, das hatte ich auch vorher schon verstanden! Man kann Dir nicht vorwerfen, Du würdest Dich mißverständlich ausdrücken! Augenzwinkern

Nochmals vielen Dank! Bitte betrachte diesen Thread als beendet. Zumindest möchte ich nicht mehr mit Dir reden!
Wink

08.03.2011, 14:02

Reksilat

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Ich begreife noch immer nicht, warum Du hier noch so lange weiter nach Beweisen gefragt hast, obwohl Du nach eigener Aussage schon längst verstanden hast, dass die zu beweisende Aussage falsch ist.

Es ging mir auch nicht um die vergessenen LaTeX-Tags aus dem ersten Thread, sondern um das korrekte Zitieren fremder Beiträge, das Du ja mittlerweile bestens zu beherrschen scheinst. Freude

(Etwas anderes wirst Du aus meinem Beitrag auch schwer herauslesen können.)

Auf Deinen Wunsch hin schließe ich den Thread nun wegen mangelhaften Umgangstons. Du darfst Dir sogar aussuchen, wessen Umgangston ich meine. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

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