Berechnung des Erwartungswertes und der Standardabweichung bei einer Normalverteilung |
| 08.03.2011, 02:07 | Clemens K. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Berechnung des Erwartungswertes und der Standardabweichung bei einer Normalverteilung Körpergröße ? auffallend große Frauen 1) Die mittlere Körpergröße einer Bevölkerungsgruppe sei normalverteilt nach N(170 [cm];sigma). 80 % der Bevölkerung sind größer als 164 cm. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der eine beliebige Person größer als 175 cm ist. 2) 80 % der Männer einer Bevölkerungsgruppe sind höchstens 178 cm groß und 15 % höchstens 165 cm. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Körpergröße eines beliebig herausgegriffenen Mannes höchstens um 5 cm vom Mittelwert abweicht. 3) Männer sind größer als Frauen. Eine Frau sei auffallend größer als ein Mann, wenn sie ihn um 2 cm überragt. X sei die Größe eines Mannes und N(174 [cm]; 6,7 [cm])-verteilt; Y sei die Größe einer Frau und N (168 [cm]; 4,3 [cm])-verteilt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der bei einem beliebig herausgegriffenen Paar die Frau auffällig größer als der Mann ist. Hinweis: Erwartungswerte und Standardabweichungen auf 2 Stellen nach dem Komma runden. Es genügt, mit diesen Näherungen weiterzurechnen. Meine Ideen: Die erste Aufgabe war kein Probel für mich doch die beiden andren bereiten mir seid Stunden kopfzerbrechen. Meine Lösungsansätze bisher: Körpergröße 1) Da gilt das 80% der Bevölkerung größer als 164cm sind gilt auch: Normalcdf(164, 1000000, 170, x)=0.8 Somit ergibt sich als Standartabweichung durch auflöse nach X einen Wert von circa 7.13. Somit liegt die Standartabweichung bei 7.13cm. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der eine beliebige Person größer als 175 cm ist. Ich erhalte mithilfe der Gauß?schen Glockenfunktion den Gesuchten Wert. Normalcdf(175, 1000000, 170, 7.13)?0.24 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 24% ist eine beliebige Person größer als 175cm. 2) Da gilt das 80 % der Männer einer Bevölkerungsgruppe höchstens 178cm groß und 15 % höchstens 165cm groß sind, gilt das 65% der Männer zwischen 178cm und 165cm groß sind. 3) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau um 2cm größer ist als ein Mann lässt sich mit: ((normalcdf(0, x, 174, 6.7)*Normalcdf(x+2, 10000000, 168, 4.3)) Beschreiben. Die Wahrscheinlichkeit das ein Mann maximal die Größe x hat wird mit der Wahrscheinlichkeit multipliziert, das eine Frau mindestens diese Größe x groß ist sowie zwei zusätzliche Zentimeter größer ist. Ich weiß einfach nicht wie ich bei Aufgabe 2) zu einem Erwartungswert finde für die Männer und bei Aufgabe 3) das "x" aus den Gleichungen bekomme. Mit freundlichen Grüßen Clemens |
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| 08.03.2011, 10:16 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Berechnung des Erwartungswertes und der Standardabweichung bei einer Normalverteilung 1) ist korrekt gelöst. 2) Du hast Schreibe das mittels der Standardnormalverteilung hin und gehe dann zur Umkehrfunktion über. Die Werte der Umkehrfunktion bekommst du aus einer Tabelle oder vom Rechner. Das ergibt ein lineares Gleichungssystem für und . 3) Beachte, dass die Summe/Differenz zweier normalverteilter Zufallsgrößen wieder normalverteilt ist. |
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| 08.03.2011, 12:21 | Studi07 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der dritten Aufgabe komme ich nicht klar. Für den Erwartungswert gilt E(Y-X) = E(Y) - E(X) Wie ist das aber mit der Standardabweichung. Ist da jetzt V(Y-X) = V(Y) - V(X). Dann könnte die Standardabweichung negativ werden????? Muss ich da den Betrag nehmen? Oder muss ich die beiden Größen addieren? |
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| 08.03.2011, 12:31 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für die Varianz gilt: Und für die Standardabweichung ist daraus auf beiden Seiten die Wurzel zu nehmen. |
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| 08.03.2011, 13:22 | dinzeoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habs jetzt nicht nachgerechnet, aber das sollte eigentlich nicht stimmen... also allgmein stimmts auf keinen fall... |
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| 08.03.2011, 13:52 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das gilt nur falls die Unabhängig sind. |
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| 08.03.2011, 13:59 | dinzeoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, dann passt esl... hab mir den verlauf nicht ordentlich durchgelesen... meine schuld, sorry... |
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| 08.03.2011, 15:01 | Studi07 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versuche es mal zu beweisen. X und Y müssen unabhängig sein. Dann gilt V(Y - X) = V(Y + (-X)) = V(Y) + V(-X) = V(Y) + (-1)² V(X) = V(Y) + V(X) |
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| 08.03.2011, 15:14 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falsch, Cov(X,Y)=0 ist die richtige Bedingung hier... 
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| 08.03.2011, 15:24 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach herje. Ich hätte das "nur" rauslassen sollen. Aber hast ja recht, deins ist die bessere Bedingung 
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| 08.03.2011, 15:49 | dinzeoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das passt so... wenn man es ganz genau wissen will, wobei die sachen in der regel als bekannt vorausgesetzt werden, sind folgende beweise: X,Y unabhängig: dann folgt: oder für die aufgabe aussreichend: das X,Y unabhängig sind wird in der aufgabe übrigens garnicht explizit erwähnt wobei es aber sicher als vorsetzung gelten soll. (intuitiv übrigens auch nachvollziehbar) zurück zur eigentlichen aufgabe... jetzt hast ja den erwartungswert und die varianz deiner neuen normalverteilten zufallsvariable X-Y. damit ist die aufgabe so gut wie gelöst.... |
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