Wieviele Gruppen gibt es mit der Ordnung p*q?

08.03.2011, 12:11

fin

Wieviele Gruppen gibt es mit der Ordnung p*q?

Hallo,
ich habe ein paar Verständnisprobleme, wenn es darum geht herauszufinden, wieviele Gruppen es von einer bestimmten Ordnung gibt (bis auf Isomorphie).
Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen, weiß ich ja schon, wie solche Gruppen aussehen können. Und es muss all diese Möglichkeiten ja auch geben, oder?
Es müsste also bis auf Isomorphie 2 endlich erzeugte abelsche Gruppen der Ordnung 4 geben, nämlich die, die zu Z/4Z isomorph sind, und die die zu Z/2ZxZ/2Z isomorph sind, oder?
Jetzt habe ich in meinem Skript die Bemerkung, dass es zwei möglichkeiten für Gruppen der Ordnung p*q gibt, wenn p und q Primzahlen mit p>q sind:
gilt p ist kongruent zu 1 modulo q, dann gibt es 2 Gruppen dieser Ordnung, gilt obiges nicht, gibt es genau eine Gruppe der Ordnung p*q.

Mh, ich hätte jetzt gesagt, dass aufgrund des Hauptsatzes für endlich erzeugte abelsche Gruppen aber in jedem Fall genau 2 Gruppen dieser Ordnung gibt...

Wenn wir das Beispiel der Ordnung 3*5 nehmen, dann gilt ja, dass 5 nicht kongruent modulo 3 ist. Welche der beiden Möglichkeiten Z/3ZxZ/5Z und Z/15Z gibt es denn dann nicht? Und woher weiß ich das?

Ich hoffe, hier kann mir jemand weiterhelfen!

fin.

Wo liegt mein Denkfehler?

08.03.2011, 12:50

zweiundvierzig

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RE: Wieviele Gruppen gibt es mit der Ordnung p*q?

Zitat:

Original von fin
Es müsste also bis auf Isomorphie 2 endlich erzeugte abelsche Gruppen der Ordnung 4 geben, nämlich die, die zu Z/4Z isomorph sind, und die die zu Z/2ZxZ/2Z isomorph sind, oder?

Ja.

Zitat:

Original von fin
Welche der beiden Möglichkeiten Z/3ZxZ/5Z und Z/15Z gibt es denn dann nicht? Und woher weiß ich das?

Beide Gruppen existieren, da sie zyklisch bzw. ein Produkt zyklischer Gruppen sind. Beides sind erlaubte Konstruktionen. Die Frage ist, ob die Gruppen isomorph sind, was in dem Falle auch zutrifft. Man kann das mit den Sylow-Sätzen zeigen.
Aber es lässt sich auch der Hauptsatz direkt anwenden, indem man die Primfaktorzerlegung von 15 betrachtet. Im ersten Fall geht das nicht, da 4 schon eine Primzahlpotenz ist.

08.03.2011, 12:55

Reksilat

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RE: Wieviele Gruppen gibt es mit der Ordnung p*q?
Eine Ergänzung: Der Hauptsatz behandelt abelsche Gruppen. Davon gibt es in diesem Fall eben immer genau eine, wie Zweiundvierzig ja schon gesagt hat.

Der andere Fall ist eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} p\cdot q \end{eqnarray*}$ . Dies kann aber nur unter bestimmten Bedingungen auftreten.
Dazu solltest Du vielleicht zuerst zeigen, dass eine Gruppe dieser Ordnung für $\begin{eqnarray*} p\not\equiv 1\pmod q \end{eqnarray*}$ abelsch ist.

13.03.2011, 10:36

fin

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Hallo,
danke für die Antworten!
Mh, ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich das komplett verstanden habe.
Wir haben beim Hauptsatz von abelschen gruppen stehen, dass eine Gruppe zu der einen Aufspaltung ODER zu einer anderen isomorph ist. ich dachte immer dass bedeute, dass die jeweiligen "Aufspaltungen" (z.B. Z/3ZxZ/5Z oder Z/15Z) nie isomorph sind. Ist es aber sogar so, dass die immer alle Isomorph sind? (Die sind doch alle abelsch?) ALso, so ganz blicke ich hier noch nicht durch... Es ist doch auch Z/2ZxZ3Z abelsch, oder? Aber nicht isomorph zu Z/6Z?

@zweiundvierzig
Deinen letzten Satz habe ich nicht ganz verstanden. Wenn ich zum Beispiel Die Ordnung 15 und die Ordnung 6 nehme, dann kann ich 15 so zerlegen: 15=3*5 und 6=2*3. Jetzt müssten nach dem Satz 2 Gruppen der Ordnung 6 existieren (da 3 kongruent zu 1 modulo 2), also sind Z/2ZxZ/3Z und Z/6Z nicht isomorph, und eine Gruppe der Ordnung 15. Wie sehe ich das schon an der Primfaktorzerlegung?

Ich werde wohl mal Reksilats Bermerkung nachgehen und erstmal versuchen zu zeigen, dass besagt eGruppe immer abelsch ist. vielleicht komme ich dann weiter.

Über weitere Erklärungen wäre ich wirklich danbar, ich stehe hier total auf dem Schlauch.

fin

13.03.2011, 10:59

fin

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Edit:
ich habe nochmal in meine Unterlagen geschaut um heraus zu finden, wo genau mein Problem liegt.

Einige Wochen vor dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen haben wir in einer Bemerkung aufgeschrieben, dass Z/aZ isomorph zu Z/bZxZ/cZ wenn b*c=a und wenn ggT(b,c)=1 ist. Damit müsste aber doch Z/2ZxZ/3Z isomorph zu Z/6Z sein, oder? Bedeutet das, dass die zweite Gurppe der Ordnung 6 ganz anders aussieht? Und wenn ja, wie?
unglücklich

Ich blicks einfach nicht.

13.03.2011, 12:29

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von fin
Wir haben beim Hauptsatz von abelschen gruppen stehen, dass eine Gruppe zu der einen Aufspaltung ODER zu einer anderen isomorph ist. ich dachte immer dass bedeute, dass die jeweiligen "Aufspaltungen" (z.B. Z/3ZxZ/5Z oder Z/15Z) nie isomorph sind. Ist es aber sogar so, dass die immer alle Isomorph sind? (Die sind doch alle abelsch?)

Was steht da genau? Das, was Du daraus ableitest ist jedenfalls nicht richtig. Der Hauptsatz sagt Dir in diesem Beispiel, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 15 \mathbb Z \cong \mathbb Z/p^n \mathbb Z \times \mathbb Z/q^k \mathbb Z \end{eqnarray*}$ für gewisse Primzahlen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ . Da 15 = 3 * 5, bleiben nur die Wahlen $\begin{eqnarray*} p^n = p^1 = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q^k = q^1 = 5 \end{eqnarray*}$ (jeweils bis auf Vertauschung). Die analoge Argumentation liefert Dir ebenfalls $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 6 \mathbb Z \cong \mathbb Z / 2\mathbb Z \times \mathbb Z / 3 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ (wie Du in Deinem letzten Beitrag ja auch begründet hast).

Zitat:

Original von fin
Einige Wochen vor dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen haben wir in einer Bemerkung aufgeschrieben, dass Z/aZ isomorph zu Z/bZxZ/cZ wenn b*c=a und wenn ggT(b,c)=1 ist.

Das ist sogar ein "genau dann, wenn". Probleme treten daher auf, wenn in der Primfaktorzerlegung der Ordnung höhere Potenzen von Primzahlen vorkommen. Beispiel: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/4 \mathbb Z \not \cong \mathbb Z/2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Es gibt tatsächlich noch genau eine weitere Gruppe der Ordnung 6, diese ist dann nichtabelsch. (Tipp: 6 = 3!)

Im übrigen zum Namen des Satzes: es klassifiziert nicht alle abelschen (zu viele), auch nicht nur alle endlichen abelsche (zu wenige), sondern die endlich erzeugten abelschen Gruppen. Hierzu zählen auch gewisse unendliche Gruppen, nämlich genau alle, die noch einen sog. "freien" Anteil enthalten, d.h. in der direkten Zerlegung taucht ein $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ , auf. Es ist ja z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine unendliche, aber endlich erzeugte Gruppe.

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