z^3=8 lösen

08.03.2011, 17:48

Shadows

z^3=8 lösen

Meine Frage:
Hi.

Ich steh vor nem kleinerem Problem bei der Lösung für z^3=8

würd mich auf Hilfe und evtl ne allgemeine anleitung freuen

Meine Ideen:
Allgemein gilt ja:

z^n = r^n (cos n? + i sin n?)

gilt dann:
cos n? = 8
sin n? = 0 ?

08.03.2011, 18:08

mYthos

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Nein, das ist falsch.
Die Fragezeichen sollen wohl der Winkel phi sein.
Berechne zuerst r!
Suchfunktion hier im Board, da steht das schon x mal.

Alternativ:

$\begin{eqnarray*} z^3 - 8 = 0 \end{eqnarray*}$

Klammere (z - 2) aus (das geht mittels einer binomische Formel). Den quadratischen Term mittels der p,q - Formel erledigen.

mY+

08.03.2011, 18:26

Shadows

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würds mal bitte jemand für mich durchexerzieren? hab da leider keinen richtigen lösungsansatz und brauchs für ne klausur.

danke

Kann auch leider grad nichts mit dem Tipp anfangen. Tut mir leid.

08.03.2011, 18:30

chris95

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ganz dumme Frage, aber wenn $\begin{eqnarray*} z^3 = 8 \end{eqnarray*}$ ,

dann ist doch

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt[3] {8} = 2 \end{eqnarray*}$

08.03.2011, 18:47

Shadows

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ich müsste wissen wie ich auf r komme und den winkel phi.

tut mir leid, wenn ich nerve, aber es wäre doch sehr wichtig für mich.

Danke!

08.03.2011, 19:03

Unklar

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Wie groß ist denn der Winkel zwischen den Lösungen?

08.03.2011, 19:52

Ibn Batuta

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Wieso macht ihr nicht einfach das, was mYthos euch vorgeschlagen hat?

$\begin{eqnarray*} z^3=8 \end{eqnarray*}$

Eine reelle Lösung ist $\begin{eqnarray*} z_1=2 \end{eqnarray*}$ . Polynomdivision bringt $\begin{eqnarray*} z^2+2z+4=0 \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt wie in der 7. oder 8. Klasse einfach die p-q-Formel anwenden.

Ibn Batuta

08.03.2011, 20:18

Shadows

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Problem ist, ich soll das als einheitswurzel darstellen mit den folgenden formeln:

z^n = r^n (cos n phi + i sin n phi)

für n=3 mit phi = k / n x 2pi
k= 0,1,2

08.03.2011, 20:20

Ibn Batuta

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Dann nur zu meine Damen und Herren.

$\begin{eqnarray*} z^3=8=8+i\cdot 0 \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ?

Ibn Batuta

08.03.2011, 20:22

Shadows

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ach, ****. man bin ich doof.

r = betrag von z

r = 8 oder?

dann hab ich

z^n = 8^n (cos n phi + i sin n phi)

dann gilt:

phi = k/n 2pi

oder???

08.03.2011, 20:26

Ibn Batuta

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$\begin{eqnarray*} r^3=|z|^3=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8^2+0^2}=8 \end{eqnarray*}$ . Das passt.

Also ergibt das nun: $\begin{eqnarray*} z^3 = 8\cdot(\cos(0) + i\cdot\sin(0)) \end{eqnarray*}$
Nun http://de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz anwenden und du bist fertig.

Ibn Batuta

08.03.2011, 20:53

Shadows

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und was würde dabei rauskommen?

mir fehlt ja noch der winkel phi=? wie komm ich auf den winkel?

08.03.2011, 20:55

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du dir das http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Polarform und http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Potenzen schon einmal durchgelesen?

Ibn Batuta

08.03.2011, 20:59

Shadows

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ja, aber ich raffs leider nicht wirklich. deshalb würd ich mich hier mal über ne standardlösung freuen, die ich immer wieder auf andere fälle anwenden kann.

08.03.2011, 21:16

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist aber, daß wir hier dir keine Musterlösung vorgaukeln werden. Das verstößt gegen das Boardprinzip. Außerdem möchtest du ein Kochrezept haben, wo doch die winzige Veränderung einer Zutat das Rezept verdirbt.

Du kannst dir aber, mit unserer Hilfe, die Lösung selbst erarbeiten.

$\begin{eqnarray*} z^3 = 8\cdot(\cos(0) + i\cdot\sin(0)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(0)=1 \end{eqnarray*}$ , wann ist das immer der Fall?
$\begin{eqnarray*} \sin(0)=0 \end{eqnarray*}$ , wann ist das immer der Fall?

Ibn Batuta

08.03.2011, 21:19

Shadows

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, musterlösung, jein, ich würd gern ne richtige Lösung hierfür haben, um das mal endlich zu verstehen.

Wie kommste jetzt auf cos (o) und sin(o)?

sin(0) = 0 bei pi
sin(o) =1 bei 2pi

oder?

08.03.2011, 21:32

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich da drauf komme? Darauf solltest du eigentlich kommen!

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} z^3 = 8 = 8 + i\cdot 0 \end{eqnarray*}$

Nun sollte ja das Ziel von dir sein, daß du das als Polarform darstellst. Dafür benötigst du ja ein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .

Daher:

$\begin{eqnarray*} z^3 = 8 = 8 + i\cdot 0= 8\cdot(\cos(0) + i\cdot\sin(0)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

sin(0) = 0 bei pi
sin(o) =1 bei 2pi

Was soll das denn sein?

$\begin{eqnarray*} \cos(0)=1=\cos(2n\pi) \ \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin(0)=0=\sin(2n\pi) \ \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} n=0,1,2 \end{eqnarray*}$ hier. Warum?
Nun lege ich dir nochmal http://de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz nah.

Ibn Batuta

08.03.2011, 21:41

Shadows

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somit käme dann raus:

Z^3 = r^n (cos 2kpi /n + i sin 2kpi / n)

r^n = 8^3

oder?

08.03.2011, 21:49

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nur Bahnhof. Was soll denn $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sein?

$\begin{eqnarray*} z^3 = 8\left(\cos(2n\pi) + i\cdot\sin(2n\cdot\pi)\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Was ist

$\begin{eqnarray*} z= [...] \end{eqnarray*}$ nun?

Ibn Batuta

08.03.2011, 21:50

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Da Ibn OFF ist, antworte ich mal:

Der Betrag der gegebenen Zahl ist doch 8. Somit gilt für den Betrag der gesuchten komplexen Zahl z

$\begin{eqnarray*} |z|^3 = 8 \end{eqnarray*}$

Was wird also für $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ zu schreiben sein?
__________________

@Ibn
Das mit dem k stimmt schon, k = 0, 1, 2 (der Zählindex) und n = 3

mY+

08.03.2011, 22:03

Shadows

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das mit dem k wollt ich noch wissen

n=3

k=0,1,2,.. (n-1)

denk dann müsst ich alles haben was ich brauche. geht mir ja maßgeblich um phi für die einzelnen einheitswurzeln

08.03.2011, 22:22

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} z^3=8 \cdot e^{i (0+2k \pi)}\ \text{k = 0, 1, 2} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} z^3=8 [\cos (2k \pi) + i \sin(2k\pi)] \ \text{k = 0, 1, 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=2 [\cos \frac{2k \pi} 3 + i \sin \frac{2k \pi} 3] \ \text{k = 0, 1, 2} \end{eqnarray*}$

Was ist jetzt bei dir $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ ?

mY+

08.03.2011, 22:24

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos: Das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ war vorher ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Ich schrieb auch schon, daß n=0,1,2 ist und fragte den Benutzer, warum das so sei.
Meine Frage an ihn rührte daher, was dieses $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sein solle. Mach ruhig weiter, schaue eh gerade Fußball an.

Ibn Batuta

08.03.2011, 22:32

mYthos

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Ahh, alles klar.
Jetzt steht's halt nochmal da.
Ich denke, Shadow meint, eh schon fertig zu sein.

Gr
mY+

08.03.2011, 23:17

Shadows

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, soweit ist das bei uns nur gefordert, ich bin also durch und habs verstanden.

Danke!

Hab noch leider eine Frage:

für z^3=i gilt hierbei ein ähnlicher Ansatz bzw. würd bitte jemand den Ansatz hier mal reinschreiben, hatten bisher noch keine Aufgaben in dieser Art und mich würds erstmal rein aus Neugierde interessieren wie ich dann dran gehen muss. auch für den Fall derFälle, dass so etwas in der Klausur drankommt.

Vielen Dank

08.03.2011, 23:19

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Shadows
für z^3=i gilt hierbei ein ähnlicher Ansatz

Ja.

Ibn Batuta

08.03.2011, 23:57

Shadows

Auf diesen Beitrag antworten »

und der wäre?

bitte

09.03.2011, 00:00

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht nach dem selben Schema wie oben. Erst rechnest du dein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ aus. Danach bestimmst du dein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .

Du kannst es ja mal vormachen, siehe auch diesen Thread. Wenn du Fehler einbaust, paar Minuten habe ich noch. Augenzwinkern

Danach kann sich das ja ein anderer Helfer anschauen, der nicht so müde ist.

Ibn Batuta

09.03.2011, 11:26

Shadows

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wäre der richtige Ansatz dann:

z^3 = 0 + 1 i

???

09.03.2011, 11:35

Ibn Batuta

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Das ist kein Ansatz, das ist rein gar nichts. Das ist lediglich eine andere Form der Darstellung, die du in späteren Schritten brauchst.

Du möchtest doch am Ende auf $\begin{eqnarray*} z = r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi) \end{eqnarray*}$ kommen. Da wäre es auch angebracht, wenn du in dieser Richtung dich vorarbeiten würdest und mehr als nur "ich check das nicht" hinschreibst und eine Zeile hinklatscht.

Auf Seite 1 und 2 habe ich dir schon 90 % der Arbeit vorgeleistet. Die Schritte für dieses Beispiel sind analog!

Ibn Batuta

09.03.2011, 11:39

Shadows

Auf diesen Beitrag antworten »

jap, das war mir bewusst. ging nur darum ob das richtig war oder nicht.

z^3 = o + 1i

r = |z| = 1

z^3 = r^n (cos nphi + i sin nphi)

z^3 = r^3 (cos (k2pi/3) + i sin (k2pi/3))

oder?

09.03.2011, 11:45

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} z^3=i=0+1\cdot i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z^3|=\sqrt{1^2}=1 \ \Rightarrow |z|^3=1 \ \Rightarrow |z|=r=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^n = r^n \cdot e^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi) \end{eqnarray*}$

Hier: $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} z^3 = 1 \cdot (\cos(n\varphi) + \mathrm i \cdot \sin(n \varphi)) = 1 \cdot e^{\mathrm i n\varphi} \end{eqnarray*}$

Welchen Wert muß $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ hier annehmen?

Ibn Batuta

09.03.2011, 11:52

Shadows

Auf diesen Beitrag antworten »

und genau da ist das problem, wie bekomm ich raus welchen wert sin und cos annehmen muss, das versteh ich leider nicht ganz.

09.03.2011, 11:57

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} z^3=0+1\cdot i \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist alles klar, nicht?

Dann schreibe ich das einfach anders hin, nämlich:

$\begin{eqnarray*} z^3=0+1\cdot i = \cos(\phi)+i\sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Preisfrage: Was muss also $\begin{eqnarray*} \cos(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(\phi) \end{eqnarray*}$ ergeben?

Ibn Batuta

09.03.2011, 12:02

Shadows

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ok, dann glaub ich raffs ichs so langsam.

dann müsste

cos = 1/2 pi

sin = 1/2 pi

oder?

09.03.2011, 12:14

Ibn Batuta

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Es muss $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=1 \end{eqnarray*}$ ergeben. Warum? Für welches $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist das nun erfüllt?
Beantworte mir beide Fragen.

Ibn Batuta

09.03.2011, 12:19

Shadows

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$\begin{eqnarray*} \cos(n\phi)=0 \end{eqnarray*}$

muss doch $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ = 1/2 pi

oder? wenn ich mir die cosinuskurve ansehe, dann ist doch die nullstelle gesucht.

$\begin{eqnarray*} \sin(n\phi)=1 \end{eqnarray*}$

müsste dann bei ebenbfalls 1/2 pi sein

09.03.2011, 12:25

Ibn Batuta

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Na also, es wird doch. Augenzwinkern

Also was steht nun für $\begin{eqnarray*} z^3=0+1\cdot i=[...] \end{eqnarray*}$ da?

Ibn Batuta

09.03.2011, 12:30

Shadows

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dann müsste rauskommen:

z^3 = 1^3 (cos (1/2 k pi) + i sin (1/2 k pi))

oder?

09.03.2011, 12:33

Ibn Batuta

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Ja, richtig.

$\begin{eqnarray*} z^3 = 1^3 (\cos (\frac 1 2\pi) + i\cdot\sin(\frac 1 2\pi))=\cos (\frac 1 2\pi) + i\cdot\sin(\frac 1 2\pi)<br /> \end{eqnarray*}$

Was ist nun $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nach http://mathe-online.fernuni-hagen.de/MIB/HTML/node38.html für $\begin{eqnarray*} k=1,2,3 \end{eqnarray*}$ ?

Ibn Batuta

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