Operatornorm

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Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Operatornorm
Guten Abend miteinander!

Wir hatten heute die Operatornorm in der VL. Allerdings ist mir das Berechnungs-Konzept noch nicht ganz klar.
Sei z.B. die gegebene Matrix. Wie berechnet man nun die Operatornorm, wenn IR^k mit der euklidischen Norm ausgestattet ist?

Ich habe es so verstanden: (Bitte um Überprüfung):

wobei A^H die zu A adjungierte Matrix ist und Lambda_(max) der grösste Eigenwert des Produktes von A^H * A ist.

Ist das korrekt?

Liebe Grüsse,
Leo
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du mit die von der euklidischen Norm induzierte Norm meinst , also



so ist deine Berechnung in Ordnung. Dabei ist die komplexkonjugiert, transponierte von A und Lambda_max der betragsmäßig größte Eigenwert!
Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich noch eine Frage. Die komlexkonjugierte, transponierte Matrix, also , ist diese nicht gleich , also der inversen Matrix?
Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »

..und noch eine zweite Frage:
Ist gleichbedeutend mit:
?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
, ist diese nicht gleich ,


Nein ist es nicht. In deinem Fall ist aber , denn deine Matrix besteht nur aus reellen Einträgen (beim komplex konjugieren passiert also nix). Wenn



gilt, dann nennt man diese Matrix orthogonal. Und deine Matrix ist nicht orthogonal.

zu deinem zweiten Punkt :

Ja! Oder besser :

Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh..dann hab' ich das verwechselt. Besten Dank!
Sorry wegen der dummen Frage. Aber wie würde die komplexe Konjugation funktionieren? (Wenn ich komplexe Einträge hätte)

--> Vielen Dank! smile
 
 
Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage:
Welches sind die Eigenwerte von:
, falls a und b aus IR sind?

Ich komme auf a+b*i und a-b*i. Aber das wäre dann im Raum der komplexen Zahlen. Gibt es im Raum der reellen Zahlen keine Eigenwerte?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Die komplexe Konjugation funktioniert eben so, dass jeder Eintrag der Matrix auf sein komplex konjugiertes übergeht. Also wird zu .

Die Eigenwerte Deiner Matrix sind genau dann reell, wenn ist.

Gruß,
Reksilat.
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