Lineare Abhängigkeit 4 Vektoren

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Walter Subject Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit 4 Vektoren
Meine Frage:
Ich weiß, dass das sehr einfach ist und hier schon x-mal besprochen wurde, aber ich werd aus den anderen Diskussionen nicht schlau, weil wir das alles noch gar nicht hatten. Ich soll einfach nachweisen ob 4 Vektoren des R^4 linear abhängig sind. Wie mach ich das?

Meine Ideen:
Reicht es wenn ich ein LGS aufstelle so, dass die ersten drei den vierten ergeben und wenn dieses Gleichungssystem sich lösen lässt sind sie linear abhängig? Die Vektoren sind doch linear abhängig, wenn sich einer aus den anderen erzeugen lässt. Aber reicht das, wenn ich das für einen überprüfe oder muss ich das für alle prüfen?
Was ich noch gedacht hab war, dass ich den einen Vekot einfach auf die andere Seite hole. Also die drei Vektoren minus den anderen Vektor müssen den Nullvektor ergeben.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du einen der vier Vektoren als Summe der anderen drei darstellen kannst, dann bist du fertig, ja. Der grundsätzliche Ansatz ist aber, eine Linearkombination der vier Vektoren zu nehmen und diese gleich den Nullvektor zu setzen. Poste doch deine konkrete Aufgabe, da können wir mehr sehen.
Walter Subject Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben sind die fünf Vektoren:

a) Sind die Vektoren und linear abhängig?
b) Sind die Vektoren und linear abhängig?
Bei a) sieht man ja schon so,dass das nicht hinhauen kann.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du nun mit "nicht klappen"? Sind die linear abhängig oder nicht?

Dein Ansatz wäre hier



Übersetze das in ein LGS der Form

Die Null rechts ist dann ein 0-Vektor im IR^4 und A eine 4x4 - Matrix.
Walter Subject Auf diesen Beitrag antworten »

Also für a)

Und für b)

Jetzt weiß ich aber nicht so recht weiter.
ichebem Auf diesen Beitrag antworten »

Seht das hier bitte nicht als Antwort. Sondern eher als ergänzende Frage:

Ist es nicht so: Das 4 verschiedene Vektoren im 3Dimensionalen Raum immer linear abhängig sein müssen, es sei denn einer ist nur ein Vielfaches eines anderen Vektors?

Bzw.. Reicht es nicht im 3Dimensionalen Raum aus, 3 Vektoren, wobei keiner ein Vielfaches eines anderen Ist zu betrachten, um Lineare Abhängigkeit zu beweisen?
 
 
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

@Walter Subject: Das ist doch schon mal was, bringe diese Matrizen nun auf Zeilenstufenform und löse das LGS. Kommt für alles Lambdas nur Null heraus (anders: entsteht keine Nullzeile), dann sind die Vektoren linear unabhängig.

@ichebem: Korrekt, 4 Vektoren in 3D sind immer linear abhängig. Ist hier aber egal, denn es handelt sich um 4 Vektoren in 4D.
Walter Subject Auf diesen Beitrag antworten »

Also falls ich das richtig gemacht habe, hätte ich für a)
. Hier wären also alle Lambdas 0. Also wären die Vektoren linear unabhängig.
Und für b) hätte ich:
. Also hier gibt es ja eine Nullzeile, weshalb die Vektoren doch linear abhängig sind, oder?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das jetzt nicht nachgerechnet, aber das Ergebnis müsste stimmen. Bei a) sind sie linear unabhängig, bei b) hingegen abhängig. Vermeide übrigens die senkrechten Striche, die sind für die Determinante "reserviert".
Walter Subject Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank für die Hilfe. Wink
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