Jordansche Normalform

09.03.2011, 18:57

Meggi

Jordansche Normalform

Meine Frage:
Hallo Zusammen!

Ich schreibe morgen eine Klausur in LA und komme bei der Bestimmung der Jordanschen Normalform nicht weiter.
Gegeben ist die Matrix
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun soll die Jordansche Normalform bestimmt werden.

Meine Ideen:
Das charakteristische Polynom lautet: (-X)²(2-X)²
Damit bekomme ich als Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ 1= 0 und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ 2 = 2. Die algebraische Vielfachheit ist jeweils 2.
D.h die Jordan-Kästchen haben jeweils eine LÄnge von 2. Auf den Diagonalen stehen also zwei nullen und zwei Zweier.

$\begin{eqnarray*} J= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Laut Lösungsheft muss die Jordanform aber lauten:
$\begin{eqnarray*} J= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt meine Fragen: wie komme ich auf die 1-en auf den Nebendiagonalen?

Hoffe, dass jemand Licht ins Dunkel bringen kann smile

09.03.2011, 19:18

Dia

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Jordansche Normalform
Ich glaube man muß die Eigenvektoren berechnen
Aber ist das in einer Klausur zu schaffen?

09.03.2011, 19:29

Meggi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Jordansche Normalform
Und wie komme ich von den Eigenvektoren darauf, wo die 1-en liegen müssen? verwirrt

09.03.2011, 19:56

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

allein von der algebraischen vielfachheit kannst du nicht direkt auf die formate der einzelnen jordanblöcke schließen, denn die algebraische vielfachheit eines eigenwertes gibt dir nur die summe der formate der zugehörigen jordanblöcke an.

das heißt: es kommen 2 möglichkeiten in frage:

1) zwei 1x1 blöcke
2) ein 2x2 block

du könntest nun auf zwei arten rausfinden, wie die JNF aussehen kann:

1) du bestimmst das minimalpolynom, denn die vielfachheit eines linearfaktors im minimalpolynom gibt dir die größe des größten vorkommenden jordanblocks zu diesem eigenwert an.

ist also beispielsweise das minimalpolynom $\begin{eqnarray*} x(x-2) \end{eqnarray*}$ , dann ist klar, wie die JNF aussehen muss.

2) du gehst über den ansatz, bei dem man die transformationsmatrix berechnen möchte(ohne diese zu berechnen).

dabei bestimmst du zunächst den Kern von $\begin{eqnarray*} (A-0 E_4) \end{eqnarray*}$ . Sollte die dimension des Kerns bereits 2 sein, ist klar, dass du zwei 1x1 blöcke haben wirst, denn die Dimension des Eigenraums, also die geometrische vielfachheit, gibt dir die anzahl der vorkommenden jordanblöcke an.

Zitat:

Ich glaube man muß die Eigenvektoren berechnen
Aber ist das in einer Klausur zu schaffen?

Eigenvektoren zu berechnen sollte in einer Klausur wohl eher zu den einfacheren dingen gehören.

09.03.2011, 20:11

Meggi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, das mit den Blöcken und der Dimension der Kerne hatte ich leider vergessen zu schreiben... aber inwiefern hilft mir das beim finden der 1-en auf den nebendiagonalen weiter?

Meine Theorie:
Ich muss die 1-en immer über der letzten Zahl eines Kästchens einfügen.
Also zb:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber in einer Übungsaufgabe war die 1 UNTER der Zahl. Warum auch immer.....
stimmt die Theorie denn? Sie kommt mir zu "geraten" vor....

09.03.2011, 20:16

Dia

Auf diesen Beitrag antworten »

Mach´s doch so

$\begin{eqnarray*} J= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.03.2011, 20:31

Meggi

Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommst du nun auf die 1 unten drunter? oder ist das egal wo die einsen sind? oder muss in jeden 2x2-block einfach nur irgendwo eine eins rein? und in einen 3x3-block dann zwei?

09.03.2011, 20:37

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Meggi,

hnky hat dir doch oben schon die beiden möglichen Wege skizziert, wie man herausfindet ob und wieviele Einsen in der Nebendiagonale stehen müssen.

Für Eigenwerte kleiner algebraischer Vielfachheit gibt es da nicht so viele Möglichkeiten, Jordan-Blöcke zu bilden (wie dort beschrieben)...

Edit: Die Einsen werden nicht "einfach so" verteilt. Am besten schaust du dir noch einmal den Beweis der JNF an. Wenn du den verstanden hast, sollte auch klar sein, wie die Einsen zustande kommen und dann solltest du auch hnky's Beitrag verstehen.

@Dia: Mir ist völlig unverständlich was du vorschlägst. Die Jordannormalform ist das jedenfalls nicht und ausserdem bringt ohne Erklärung "Machs doch so [math]" zu schreiben nicht wirklich viel.

09.03.2011, 20:55

Meggi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Jordansche Normalform
upps dann hab ich da wohl was falsch verstanden. ich dachte die antwort hätte sich nur darauf bezogen, wie ich auf die anzahl der kästchen komme. also dann wirklich in jedes kästchen eine eins?

ahhh in ordnung. dann werde ich mir den beweis mal zu gemüte führen!
vielen dank für eure schnelle hilfe!

09.03.2011, 20:56

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Das hängt von der Matrix ab.

Ich bin dann mal weg. Viel Glück bei der Prüfung...

Hab' vorhin noch was geschrieben, aber ich bin mir nicht sicher, ob das wirklich hilft... Wenns dich verwirrt beachte es einfach nicht weiter.

Zitat:

Original von gonnabphd
Hallo Meggi,

Da ich gerade sehe, dass du morgen schon Prüfung hast und ich dich vor der kompletten Verwirrung bewahren will, geb' ich dir dann doch noch ein kleines Rezept mit:

Hat der Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ algebraische Vielfachheit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , und der Eigenraum nur die Dimension $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ dann sieht der entsprechende Teil (derjenige zum Eigenwert Lambda) der Jordannormalform folgendermassen aus:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & \ldots & 0 \\ & & \lambda & &\vdots \\ \vdots & & &\ddots & \\ 0 & & \ldots & 0 & \lambda \end{pmatrix}}_{n \times n} \end{eqnarray*}$

In deinem Falle wäre n=2. Ist die Dimension des Eigenraumes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , so ist der entsprechende Teil der JNF diagonal(isierbar).

09.03.2011, 21:34

Dia

Auf diesen Beitrag antworten »

@Dia: Mir ist völlig unverständlich was du vorschlägst. Die Jordannormalform ist das jedenfalls nicht

Doch ist eine

Sie ist nur ungünstig, wenn man eine Fundamentalmatrix sucht

09.03.2011, 23:32

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dia
@Dia: Mir ist völlig unverständlich was du vorschlägst. Die Jordannormalform ist das jedenfalls nicht

Doch ist eine

Sie ist nur ungünstig, wenn man eine Fundamentalmatrix sucht

nein, das stimmt so nicht. Eine Matrix in Jordan-Normalform ist insbesondere immer eine Dreiecksmatrix(ob obere oder untere ist definitionssache).

die von dir gepostete Matrix ist weder eine obere, noch untere Dreiecksmatrix, und kann deshalb nicht in JNF sein.

Neue Frage »

Antworten »

Jordansche Normalform

Verwandte Themen