basisvektor des linken nullraumes

10.03.2011, 14:40

geo

basisvektor des linken nullraumes

Liebe Leut!

wieder mal ein paar fragen, nachdem ich sonst nicht befriedigend fündig geworden bin.
ich will anhand einer Matrix A den Basisvektor des linken Nullraumes bestimmen.
die matrix ist nicht invertierbar (typ 3x2) und somit fällt $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ als einziger nullruam weg.

konkret hab ich A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

meine gedanken: den linken nullraum erhalte ich wenn ich $\begin{eqnarray*} \vec{x} \cdot A = \vec{0} \end{eqnarray*}$ rechne.
ich komm da auf nix anderes als die triviale lösung... verwirrt

und wie find i dann "den" basisvektor? basisvektoren sind ja linear unabhängige vektoren, die den unterraum aufspannen.

weiters soll ich ihn (basisvektor) normieren. das mach ich ja, in dem ich den vektor durch seinen betrag dividiere.
auch soll ich den (rechten) nullraum der matrix bestimmen-.... das wär ja
$\begin{eqnarray*} \ A \cdot \vec{x} = \vec{0} \end{eqnarray*}$
aber da schauts a nit besser aus...

traurig

danke für hilfe!!!!!

10.03.2011, 14:52

Cel

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Hallo, dann poste doch mal deine Lösung. Nur die triviale Lösung ist zu wenig. Augenzwinkern

Übrigens: $\begin{eqnarray*} x \cdot A = 0 \Leftrightarrow A^T \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ .

10.03.2011, 14:53

lgrizu

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RE: basisvektor des linken nullraumes
Wenn ich das LGS $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\vec{0} \end{eqnarray*}$ betrachte, dann bekomme ich nicht nur die triviale Lösung.

Paramtrisieren von x_3 führt auf einen Lösungsraum der Dimension 1.

Das LGS $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0 \\ 1&2\\1&3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ hat aber tatsächlich nur die triviale Lösung.

10.03.2011, 15:03

geo

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RE: basisvektor des linken nullraumes
danke erstmal!!!

gut, mit der parametrisierung hätten wir dann:

x1 = t/2
x2 = -(3t/2)
x3 = t

also $\begin{eqnarray*} L = \left\{ t \cdot \begin{pmatrix} 1/2 \\ -3/2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

nun gut...und wie find ich da "den" basisvektor? von welcher dimension reden wir jetzt überhaupt?

MUSS LEÌDER FÜR EIN PAAR STUNDEN WEG...

10.03.2011, 15:06

lgrizu

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RE: basisvektor des linken nullraumes
Erst einmal ist deine Rechnung nun richtig.

Zitat:

Original von geo

nun gut...und wie find ich da "den" basisvektor? von welcher dimension reden wir jetzt überhaupt?

Den Basisvektor gibt es nicht, einen Basisvektor aber.

An was erinnert dich dein Lösungsraum, was stellt er geometrisch dar?

Welche Dimension hat er also?

Wie viele Baisvektoren existieren in jeder Basis des Lösungsraumes?

Welcher Vektor ist also geeignet, den Lösungsraum aufzuspannen?

10.03.2011, 15:14

geo

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RE: basisvektor des linken nullraumes
ok, ich denk das geht sich noch aus....

erinnert mich an eine gerade (parameterform), hat also die dimension 1 folglich existiert nur ein einziger vektor, der diesen "raum" aufspannen kann (klingt komisch in dem fall, aber ja).
alle anderen vektoren wären ja linearkombis von dem einen... und warum dann nicht gleich den vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
als basis nehmen?!

10.03.2011, 15:15

lgrizu

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RE: basisvektor des linken nullraumes
Erreichst du durch ein geeignetes Vielfaches des ersten Einheitsvektors jeden Punkt auf der Geraden?

11.03.2011, 10:36

geo

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RE: basisvektor des linken nullraumes
bin wieder da.... smile

nein, erreich ich nicht,....
von null weg wirds schwierig auf eine zahl zu kommen als vielfaches ;-)

ich könnte aber den vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 \\ -3/2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als basis nehmen, oder?!

nun meine frage zur norm... gehts da um die norm oder den betrag? is es das selbe? hab schon gestöbert bei euch und was gefunden aber bin mir nicht sicher ob ich das verstanden hab (von wegen 2-norm is quasi betrag).

der betrag eines vektors is ja die wurzel aus der summe der einzelnen (vektorkomponenten zum quadrat),
die norm eines vektors aber is der vektor durch deinen betrag dividiert...
hm, da kommt ja nit das selbe raus! verwirrt

11.03.2011, 11:19

lgrizu

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RE: basisvektor des linken nullraumes
Nun hast du einen Basisvektor richtig bestimmt. Freude

Zitat:

Original von geo

der betrag eines vektors is ja die wurzel aus der summe der einzelnen (vektorkomponenten zum quadrat),
die norm eines vektors aber is der vektor durch deinen betrag dividiert...
hm, da kommt ja nit das selbe raus! verwirrt

Das stimmt, einmal ist das Ergebnis eine Zahl, einmal ein Vektor.

Die 2-Norm eines Vektors, oder auch euklidsche Norm, ist der Betrag des Vektors, also $\begin{eqnarray*} ||x||_2=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n x_k^2} \end{eqnarray*}$ .

Den Vektor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n x_k^2}} \cdot \vec{x} \end{eqnarray*}$ nennt man einen normierten Vektor, normierte Vektoren haben immer den Betrag 1.

11.03.2011, 11:51

geo

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RE: basisvektor des linken nullraumes
hui danke :-)

aber dann geht es hier doch wohl eher um die länge des basisvektors also um seinen betrag, oder?!
da ich keine weitere aufgabenstéllung hab wärs ja nit sehr sinnvoll hier den normierten vektor zu eruieren (weil der sowieso die länge 1 hat). den bräucht ich ja wie gesagt nur, wenn ich weiter rechnen wollt zB othonormierung oder so...

seh ich das richtig?

danke nochmal und lg smile

11.03.2011, 12:10

lgrizu

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RE: basisvektor des linken nullraumes
Der Betrag des Vektors ist seine Länge, also euklidsche Norm.

Die Aufgabenstellung verlangt, den Vektor zu normieren, also einen Basisvektor der Länge 1 (mit dem Betrag 1) zu konstruieren.

11.03.2011, 12:13

geo

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RE: basisvektor des linken nullraumes
also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,5/\sqrt{14/4} \\ -3,5/\sqrt{14/4} \\ 1/\sqrt{14/4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

11.03.2011, 12:21

lgrizu

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RE: basisvektor des linken nullraumes
Das sieht so äußerst unschön aus, das kann man schöner hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{14}} \end{eqnarray*}$ .

Und du hast im zweiten Eintrag einen Fehler, $\begin{eqnarray*} -3,5 \neq -\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

11.03.2011, 12:23

geo

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RE: basisvektor des linken nullraumes
oh mann, peinlich Forum Kloppe

is klar!

danke, Igrizu für deine Hilfe!

alles liebe und bis zum nächsten mal!

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