Aussagenlogik

10.03.2011, 16:28

Barisoezcan

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Aussagenlogik

Meine Frage:
M:={x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ |x²>9 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x<4}

Bestimmen Sie formal $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \M, vereinfachen Sie soweit, dass keine Negation und kein "nicht" mehr auftritt.

Meine Ideen:
Hmm, also Ideen hab ich keine, aber bräuchte schnellstmöglich Hilfe..

10.03.2011, 21:09

pseudo-nym

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Weißt du was die Schreibweise mit deren Hilfe diese Menge aufgestellt wurde bedeutet?

Wenn dir das klar ist, solltest du in der Lage sein mit Hilfe einer Verneinung $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash M \end{eqnarray*}$ in der selben Form aufzustellen.

10.03.2011, 21:16

Barisoezcan

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RE: Aussagenlogik
Also erstmal vielen Dank für deine Mühe..
Ich hab da R\M=(-unendlich,-3) vereinigt (3,4) raus..
Is das vllt richtig?

Kann sein dass ich falsch liege..
Ich komme nämlich mit der Folgerung in dieser Beschreibenden Mengenangabe nicht klar.. :S

10.03.2011, 21:29

pseudo-nym

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Das ist falsch, denn $\begin{eqnarray*} \left( \frac{7}{2} \right)^2 > 9 \rightarrow \frac 72 < 4 \end{eqnarray*}$ ist eine wahre Aussage und somit gilt $\begin{eqnarray*} \frac 72 \in M \end{eqnarray*}$

Desweiteren glaube ich nicht, dass mit formal ausdrücken eine Darstellung als Vereinigung von Intervallen gemeint ist, dazu siehe allerdings meinen anderen Beitrag.

10.03.2011, 21:53

Barisoezcan

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Also muss ich nur eine Beschreibende Menge hinschreiben, die alle anderen Werte enthält, als M?
Ok, das klingt logisch ^^
Aber nur weiss ich nicht genau, was in M "enthalten ist".
Liege ich damit richtig, wenn ich sage: M = (3,4) ? (wenn ich das explizit bestimmen würde...)
dann wäre R\M= {xeR|x<=3 oder x>=4} oder????

10.03.2011, 22:20

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Barisoezcan
Also muss ich nur eine Beschreibende Menge hinschreiben, die alle anderen Werte enthält, als M?

Fast, du musst die Menge aller reellen Zahlen, die nicht in M enthalten sind beschreibend formulieren.

Zitat:

Original von Barisoezcan
Aber nur weiss ich nicht genau, was in M "enthalten ist".

Eine explizite Darstellung von M ist nicht relevant für die Aufgabenstellung.
Du sollst lediglich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash M \end{eqnarray*}$ in die Form $\begin{eqnarray*} \{ x \in A \vert P(x) \} \end{eqnarray*}$ bringen, sodass in der Aussage P keine Negation vorkommt.

Zitat:

Original von Barisoezcan
Liege ich damit richtig, wenn ich sage: M = (3,4) ? (wenn ich das explizit bestimmen würde...)
dann wäre R\M= {xeR|x<=3 oder x>=4} oder????

Nein, denn $\begin{eqnarray*} 0 \in M \end{eqnarray*}$ (nachzuprüfen wie in meinem letzen Beitrag.)

Vielleicht ist es am besten du abstrahierst den Implikationspfeil, der dir ja scheibar Probleme macht, einfach mal weg. Betrachte also die Menge N mit:
$\begin{eqnarray*} N = \{ x \in \mathbb R \vert P(x) \} \end{eqnarray*}$
und übelege dir wie man $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash N \end{eqnarray*}$ beschreibend formulieren kann.

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10.03.2011, 22:26

Barisoezcan

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N = {x nicht $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R|P(x)}

oder

N = {x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R|R-P(x)}

10.03.2011, 23:03

pseudo-nym

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Beide Varianten machen syntaktisch keinen Sinn

Die erste soll wohl $\begin{eqnarray*} N = \{ \neg (x \in \mathbb R)|P(x) \} \end{eqnarray*}$ heißen
Ich kenne die beschreibende Notation von Mengen nur in der Formen $\begin{eqnarray*} \{ x|P(x) \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{ x \in A |P(x) \} \end{eqnarray*}$ . Ob man vor dem Strich gefahrenlos beliebige Ausdrücke notieren darf, kann ich nicht garantieren und ich würde daher davon abraten.

In deinem zweiten Versuch hast du eine Aussage von einer Menge subtrahiert. Wie soll das gehen?

Schreibe desweiteren bitte Ausdrücke ganz in TeX auf, AllEs aNdeRE liEHST SIch NäMlICh NICht guT

10.03.2011, 23:16

Barisoezcan

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Hmm ich komme nicht auf das Ergebnis..
Und morgen früh ist schon die Klausur...
Kannst du mir sagen, wie es richtig lauten sollte?

11.03.2011, 09:43

Leopold

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Zitat:

Original von pseudo-nym
Schreibe desweiteren bitte Ausdrücke ganz in TeX auf, AllEs aNdeRE liEHST SIch NäMlICh NICht guT

Na, da sind wir aber übers Ziel hinausgeschossen ... Big Laugh

Big Laugh

Augenzwinkern

Big Laugh

11.03.2011, 17:36

pseudo-nym

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@Leopold:
Stimmt, Fehlerkorrektur ist eben ein Spezialfall von Lesen.

@Barisoezcan:
Ein Objekt a ist genau dann in der Menge $\begin{eqnarray*} \{ x \in A \vert P(x) \} \end{eqnarray*}$ Wenn $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und die Aussage $\begin{eqnarray*} P(a) \end{eqnarray*}$ wahr ist.

Sofern P(x) keine Quantoren $\begin{eqnarray*} \exists, \exists!, \forall \end{eqnarray*}$ enthält, erhälst du P(a) einfach, indem du alle x durch a ersetzt.

In deiner Menge M ist $\begin{eqnarray*} P(x) = x^2>9 \rightarrow x<4 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich nun wissen möchte ob $\begin{eqnarray*} 1 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ in M liegt, bilde ich $\begin{eqnarray*} P(1) = 1^2>9 \rightarrow 1<4 = \neg 1 \leq 9 \vee 1 < 4 \end{eqnarray*}$ . Da P(1) wahr ist, gilt dies auch für $\begin{eqnarray*} 1 \in M \end{eqnarray*}$

Überlege dir nun welche Menge du erhalten würdest, wenn du alle reellen Zahlen betrachtest, für die $\begin{eqnarray*} P(x) \end{eqnarray*}$ falsch wird.

11.03.2011, 18:10

Dopap

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@pseudo-nym: kleine Zwischenfrage:
Ist es richtig,dass $\begin{eqnarray*} \quad \Rightarrow \quad \end{eqnarray*}$ kein Verknüpfungsymbol ist.

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \quad \end{eqnarray*}$ dagegen das Verknüpfungssymbol Subjunktion ist.

11.03.2011, 20:56

Leopold

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Ich will das, was pseudo-nym in seinem letzten Beitrag gegen Ende unterschwellig verwendet hat, einmal genauer herausarbeiten.

Die Subjunktion $\begin{eqnarray*} A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ ist nämlich etwas gewöhnungsbedürftig, insbesondere wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ falsch ist. Wann folgt denn $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ? Doch dann, wenn nicht sein kann, daß $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gilt, zugleich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ jedoch nicht. Also hat man die Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} A \rightarrow B \ \equiv \ \neg \left( A \wedge \neg B \right) \ \equiv \ \neg A \vee B \end{eqnarray*}$

Hier wäre das

$\begin{eqnarray*} x^2 > 9 \rightarrow x<4 \ \equiv \ \neg \left( x^2 > 9 \right) \vee \left( x<4 \right) \ \equiv \ \left( x^2 \leq 9 \right) \vee \left( x<4 \right) \end{eqnarray*}$

Vielleicht macht die letzte Variante die Sache für Barisoezcan etwas einfacher.

11.03.2011, 21:07

pseudo-nym

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@Dopap:

Ich benutze $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ um auszudrücken, dass ich etwas folgere und $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ falls ich eine Formel mit Subjunktion betrachten möchte, aber letztendlich ist das Definitionssache.

12.03.2011, 14:26

Barisoezcan

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Leopold, das war GENAU das war ich gesucht habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wirklich sehr eindeutig erklärt..
Dieses "Daraus folgt" hat mir nämlich das ganze Kopfzerbrechen gemacht.
In der Vorlesung hat unser Prof. i-nen Kack von "Wenn A falsch ist, muss nicht unbedingt B auch falsch sein" oder i-wie sowas erzählt, was ich nicht ganz verstanden hatte..
Aber wieso benutzt man dann statt "darauf folgt" nicht einfach eine logische Oder-Verknüpfung?

12.03.2011, 14:31

Leopold

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Das Problem ist, daß wir bei "daraus folgt" gleich an Semantik denken, wogegen es hier wohl eher syntaktisch zu verstehen ist.

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