Reflektierter Punkt an einer Ebene

10.03.2011, 20:26

Anuska

Reflektierter Punkt an einer Ebene

Meine Frage:
Sorry für den seltsamen Titel. Big Laugh

Also, meine Aufgabe lautet:
Gegeben ist ein Würfel mit der Seitenlänge 6. Die hintere untere linke Ecke liegt im Ursprung (die Ecken haben also alles positive Koordinaten [bzw. 0]). Dann gibt es noch die Punkte A(6/0/0), B(0/6/0), C(0/0/6), D(6/6/0) und E(0/0/3). ABC ist eine Spiegelebene. Ein Lichtstrahl geht von D aus in Richtung des Punktes E und wird an der Ebene ABC reflektiert. Welche Gleichung hat der reflektierte Lichtstrahl?

Meine Ideen:
Okay, ich habe also mal die Ebene ABC und die Gerade DE bestimmt:
$\begin{eqnarray*} ABC: x + y + z - 6 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} DE: \vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danach habe ich den Schnittpunkt S von DE und ABC ausgerechnet (also dort, wo der Strahl auf ABC trifft): S(2/2/2).

Und jetzt weiss ich einfach nicht mehr weiter! Ich könnte zwar den Normalenvektor von ABC bestimmen und daraus mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen diesem Normalenvektor und $\begin{eqnarray*} \vec{SD} \end{eqnarray*}$ berechnen. Dieser Winkel ist ja gleich gross wie der zwischen dem Normalenvektor und dem Vektor der reflektierten Geraden, aber ich weiss ja dann doch nicht, in welche Richtung dieser Vektor dann zeigt.

Was kann ich sonst tun?

10.03.2011, 22:50

Gualtiero

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RE: Reflektierter Punkt an einer Ebene
Mir fällt dazu nur eine umständliche Methode ein: das Vektorprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalvektor der Ebene ergibt einen Vektor, der in der Ebene und normal zur Spurgeraden (von Deiner Geraden in der Ebene ABC) liegt.

Mit diesem Vektor und dem Normalvektor und dem Schnittpunkt S kannst Du eine neue Ebene definieren und an ihr den Punkt D spiegeln, der dann D' heißen möge.

Der Vektor SD' ist dann der neue Richtungsvektor.

11.03.2011, 00:20

riwe

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RE: Reflektierter Punkt an einer Ebene
ich vermute, man kann das ganz einfach in R2 erledigen, nämlich in der schnittebene ODGH (die bezeichner sind etwas verwirrend unglücklich

)

damit bekommt man für die spurgerade von ABC:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=(3\sqrt{2},0)^T+s\cdot (-3\sqrt{2},6)^T \end{eqnarray*}$

und die gerade

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=(6\sqrt{2},0)^T+t\cdot(-6\sqrt{2},3)^T \end{eqnarray*}$

und daraus die gleichung des reflektierten strahles

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=(2,2,2)^T+\lambda\cdot(0,0,1)^T \end{eqnarray*}$

11.03.2011, 21:13

riwe

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RE: Reflektierter Punkt an einer Ebene
man kann das ganze natürlich auch einfach (und elegant Augenzwinkern

) in R3 lösen

11.03.2011, 21:33

Gualtiero

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RE: Reflektierter Punkt an einer Ebene
@riwe
Ich habe es nach der von mir vorgeschlagenen Methode gerechnet und bekomme das gleiche Ergebnis wie Du. Für mich war es zumindest einfacher, denn über Deinen Lösungsweg muss ich noch knobeln.

Aber es wäre nett, wenn Anuschka sich nochmal meldete, ist ja ihre Aufgabe.

11.03.2011, 22:32

riwe

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RE: Reflektierter Punkt an einer Ebene
der oben von mir zitierte "elegante" weg:

mit dem normalenvektor der reflexionsebene

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=(1,1,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{t}=\overrightarrow{CS}=(1,1,-2) \end{eqnarray*}$

dem vektor des einfallenden strahles $\begin{eqnarray*} \vec{e}=\overrightarrow{DS}=(2,2,-1) \end{eqnarray*}$ und dem des reflektierten $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$

löse man

$\begin{eqnarray*} I:\quad{ }\vec{e}=a\vec{n}+b\vec{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II:\quad{ }\vec{r}=a\vec{n}-b\vec{t} \end{eqnarray*}$

aus (I ) erhält man $\begin{eqnarray*} a = b = 1 \end{eqnarray*}$

und damit wie gewünscht und erhofft aus (II) $\begin{eqnarray*} \vec{r}=(0,0,1) \end{eqnarray*}$

12.03.2011, 09:22

riwe

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RE: Reflektierter Punkt an einer Ebene
und bevor ich´s vergesse: warum einfach.... Augenzwinkern

man spiegle den punkt E an der ebene ABC.
damit bekommt man einen weiteren punkt der reflexionsgeraden

$\begin{eqnarray*} E^\prime(2/2/5)\to \vec{r}=\overrightarrow{SE}^\prime\to\vec{r}=(0,0,1) \end{eqnarray*}$

12.03.2011, 11:24

Gualtiero

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RE: Reflektierter Punkt an einer Ebene
Punkt E an der Reflexionsebene zu spiegeln - das ist ja wirklich der einfachste Weg. (Ach Gott, wie konnte ich das übersehen?!)

Auch der Vorschlag in Deinem vorletzten Beitrag ist klar und eine schöne Lösung. Freude

Aber dass genau Punkt C für Vektor $\begin{eqnarray*} \vec {t} \end{eqnarray*}$ passt, muss man vorher untersuchen. Deshalb halte ich den letzten Vorschlag für den einfachsten.

12.03.2011, 11:29

riwe

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RE: Reflektierter Punkt an einer Ebene
ich denke auch, dass der letzte weg der einfachste ist.

zu punkt C: das muß man nicht untersuchen, denn SC liegt in der schnittebene, die durch einfallenden und reflektierten strahl aufgespannt wird.

und zu guter letzt: in R2 gibt es noch (mindestens) 1 weiteren lösungsweg Augenzwinkern

12.03.2011, 14:41

Gualtiero

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RE: Reflektierter Punkt an einer Ebene

Zitat:

zu punkt C: das muß man nicht untersuchen, . . .

Ist ja alles so richtig, was Du schreibst. Ich sollte im Moment vielleicht etwas weniger Mathe machen (oder mehr üben).
Jedenfalls ist leicht zu sehen, dass die Punkte D (6 6 0), S (2 2 2), E (0 0 3) und C (0 0 6) in einer Ebene liegen.

Jetzt ist mir auch Deine beschriebene 2D-Variante verständlich. smile

12.03.2011, 18:49

riwe

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RE: Reflektierter Punkt an einer Ebene
dann reiche ich noch die 2 2D-varianten zur bestimmung des richtungsvektors nach, die mir so eingefallen sind:

1) methode brutal:
man berechne die verschiedenen steigungswinkel
und zeigt durch addition/subtraktion, dass die reflexionsgerade mit der x-achse einen rechten winkel einschließt.

2) dasselbe erreicht man mit der methode "süß & nix rechnen", die ich im bilderl festgehalten habe Augenzwinkern

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