lineare Abbildung von 2dim nach 3dim

11.03.2011, 12:42

bergy

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lineare Abbildung von 2dim nach 3dim

Hi,
Habe Verständnisprobleme mit folgender Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sind gegeben, jetzt soll ich sagen worauf der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ abgebildet wird.

Bisher bin ich nur soweit gekommen, dass ich vermutlich eine 3x2 Matrix brauche (Abbildungsmatrix ?) welche die jeweilige Transformation durchführt. Was muss ich tun um diese Matrix zu finden ? wahrscheinlich mittels LGS ?

Kann mir das jemand erklären ?
Vielen Dank schonmal

11.03.2011, 12:45

Iorek

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Ich nehme an es handelt sich bei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ um eine lineare Abbildung? Dann könntest du dir die schöne Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \alpha(x+y)=\alpha(x)+\alpha(y) \end{eqnarray*}$ mal angucken.

11.03.2011, 12:45

tigerbine

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RE: lineare Abbildung von 2dim nach 3dim
Stelle den Vektor als Linarkombination von (1,1) und (1,2) dar. Was kommt raus?

11.03.2011, 12:54

bergy

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RE: lineare Abbildung von 2dim nach 3dim
der Vektor (5,7) als Linearkombination der beiden anderen Vektoren ist dann 3*(1,1)+ 2*(1,2). Was sagt mir dies ?

11.03.2011, 12:56

tigerbine

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Zitat:

Original von Iorek
Ich nehme an es handelt sich bei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ um eine lineare Abbildung? Dann könntest du dir die schöne Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \alpha(x+y)=\alpha(x)+\alpha(y) \end{eqnarray*}$ mal angucken.

nutze nun dies. und die weitere schöne Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \alpha(ax)=a\alpha(x) \end{eqnarray*}$

11.03.2011, 13:07

bergy

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Sorry, also kann damit noch nichts anfangen. Also $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist doch jeweils einmal 3 und einmal 2 oder ?

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11.03.2011, 13:13

tigerbine

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Nein, alpha ist die Lineare Abbildung. Hast du doch selbst gepostet. a ist das was du aktuell meinst.

11.03.2011, 13:21

bergy

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oh man sitz volle auf dem Schlauch. dann ist also $\begin{eqnarray*} \alpha(3x)=3\alpha(x) \end{eqnarray*}$ wobei das x der Vektor 1,1 ist ? Und stimmt das überhaupt, dass mein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine 3x2 Matrix sein muss? Verstehe einfach nicht wie ich mit den von euch genannten Eigenschaften auf diese Abbildungsmatrix kommen soll...danke für die Geduld

11.03.2011, 13:23

tigerbine

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Wir brauchen die Matrix hier (noch) nicht, Die Frage war, worauf abgebildet wird.

$\begin{eqnarray*} \alpha\left(\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}\right) =\alpha\left(3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = ? \end{eqnarray*}$

11.03.2011, 13:32

bergy

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$\begin{eqnarray*} \alpha\left(\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}\right) =\alpha\left(3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = ? \end{eqnarray*}$ ist eine Wahre Aussage weil sich das eine aus dem anderen ergibt und ist für Reelle Zahl erfüllt ... unglücklich

unglücklich

11.03.2011, 13:35

tigerbine

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Wovon redest du? Ich haben nur ausgeführt, worüber wir die ganze Zeit reden. Nutze (endlich), dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Was ist eine lineare Funktion? Idee!

Idee!

11.03.2011, 13:47

bergy

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eine lineare Funktion bildet aus einem Vektorraum in einen anderen ab. In diesem Beispiel aus R2 nach R3. Ok schön jetzt komm ich auf das Ergebnis von (3,2,-8) wenn ich einfach die Tatsache dass sich mein gesuchter Vektor in R2 aus Linearkombinationen zusammensetzt nutze. Und danach war ja auch nur gefragt...schön. Aber für den Fall des es sich der Vektor in R2 nicht aus einer Linearkombination zusammensetzen (geht das überhaupt, oder ändert sich dann etwas entscheidendes?) würde, dann bräuchte ich eben diese Abbildungsmatrix oder Transformationsmatrix oder wie auch immer, korrekt ??

11.03.2011, 13:55

tigerbine

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Worte, statt Taten.

http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abb...male_Definition

Wendest du das (homogen, additiv) nun an? smile

smile

11.03.2011, 14:18

bergy

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Additiv ist doch bereits angewendet durch die Aufspaltung des (5,7) Vektors in seine Linearkombination. Homogen, keine Ahnung. Die Zahlenwerte (3,2,-8) sind richtig oder ?

wie lautet denn diese Matrix, vielleicht kann ich das Thema damit verstehen, weil mir das sehr wichtig wäre, aber irgendwie nicht dahintersteigen kann.. merci nochmal

11.03.2011, 14:21

tigerbine

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Die Matrix bringt dich auch nicht weiter. Warum setzt du diese Reihe nicht einfach mal fort. Additiv habe ich gemacht, homogen machst du nun. Das kann doch nicht so schwer sein...

$\begin{eqnarray*} \alpha\left(\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}\right) =\alpha\left(3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) =\alpha\left(3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) + \alpha\left(2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = ... \end{eqnarray*}$

Komm schon! smile

smile

11.03.2011, 14:32

bergy

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also zur Homogenität: $\begin{eqnarray*} \alpha ( 3\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} ) = 3 \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} und \alpha ( 2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) = 2 \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ??

11.03.2011, 14:34

tigerbine

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Ja, nur warum setzt du meine Reihe nicht fort...

$\begin{eqnarray*} \alpha\left(\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}\right) &&=\alpha\left(3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) <br /> &&=\alpha\left(3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) + \alpha\left(2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) <br /> &&=3\alpha\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) + 2\alpha\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)<br /> &&=... \end{eqnarray*}$

Und, klingelt nun was?

11.03.2011, 14:42

bergy

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Zitat:

Und, klingelt nun was?

Ah gut mit dem Fortsetzen der Reihe passt nun. Aber klingeln tut gerade nur mein Kopf weil ich nicht auf die einfachsten Zusammenhänge komme.

11.03.2011, 14:45

tigerbine

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RE: lineare Abbildung von 2dim nach 3dim

Zitat:

Original von bergy
Hi,
Habe Verständnisprobleme mit folgender Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Na, und nun?

11.03.2011, 14:53

bergy

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RE: lineare Abbildung von 2dim nach 3dim
Nur wie vorher schon gesagt, dass 3*(1,0,-2) + 2*(0,1,-1) das Ergebnis zu sein scheint. Wie komme ich aber auf diese 3x2 Matrix ???

11.03.2011, 15:00

tigerbine

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RE: lineare Abbildung von 2dim nach 3dim
Ja, genau.

Und du brauchst hier KEINE Matrix. Danach ist nicht gefragt.

Um sie zu bestimmen, müsstest du erst mal festlegen, bzgl. welcher Basen du sie haben willst. Dann folgen ggf. 2 Umrechnungen, wie wir sie eben schon gemacht haben.

11.03.2011, 15:02

bergy

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Gut. Das heißt ich kann immer meinen Vektor in linearfaktoren zerlegen? Und sobald das nicht mehr geht ist es einfach keine lineare Abbildung mehr ? Das war jetzt eigentlich meine Frage.

Vielen Dank

11.03.2011, 15:05

tigerbine

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Uiuiui. Erste Rückfrage:

Was fällt dir bei (1,1) und (1,2) auf? Diese Vektoren sind _______. Daher sind sie eine ______ der IR²- Jeder Vektor des IR² läßt sich als eindeutige _________ von _____vektoren darstellen.

11.03.2011, 15:16

bergy

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Vekoren sind linear unabhängig. Daher eine Basis in R2. Jeder Vektor des R2 lässt sich als eindeutige Linearkombination 2 Vektoren darstellen. Oder ?

11.03.2011, 15:18

tigerbine

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Genau!

Zitat:

Das heißt ich kann immer meinen Vektor in linearfaktoren zerlegen?

Linarkombination muss es heißen. Frage beantwortet?

11.03.2011, 15:20

bergy

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Jope auf jeden fall besser als Wikipedia und co. großes Danke dafür

11.03.2011, 15:21

tigerbine

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Bitte, gern geschehen. Wink

Wink

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