Integralgleichung

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Integralgleichung
Meine Frage:
Analysis 3 Klausuraufgabe (Inhalte des Semesters: gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie)

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Meine Ideen:
Ich habe leider keine Idee, ich habe diese Aufgabe in der Klausur auch nicht hinbekommen.


Ich kann nur vermuten, dass man hier wieder einen der typischen Sätze anwenden soll: monotone Konvergenz, dominierte Konvergenz,...

Aber leider bleibt es bei der Vermutung...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Fasse das uneigentliche Integral (bezüglich welcher Grenze?) als Funktion von auf:



und bestimme durch Differentiation unter dem Integralzeichen nach . (Daß das gerechtfertigt ist, mußt du gegebenenfalls mit Sätzen aus der Vorlesung untermauern. Welche du zur Verfügung hast, weiß ich nicht, da ich nicht in dieser Vorlesung saß.)

Das abgeleitete Integral kann nun leicht nach integriert werden. Du bekommst so einen geschlossenen Ausdruck für . Dann mußt du überlegen, wie du wieder von auf zurückschließen kannst.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach die Ableitung bilden?

Meinst Du:

?

Ich weiß nicht, wie ich dieses Vorgehen rechtfertigen kann; ich saß zwar in der Vorlesung, habe aber leider (fast) nichts begriffen.

Und das kann ich nun leicht nach x integrieren?

Also für das unbestimmte Integral habe ich da raus: .. und das bestimmte Integral von 0 bis unenedlich?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau so geht das. Jetzt berechne das uneigentliche Integral.

siehe auch hier
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Frage ist, wie ich das mache..
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

obere Grenze eingesetzt minus untere Grenze eingesetzt

Das lernt man doch schon in der Schule. Gut, die obere Grenze ist hier . Wenn dir das unheimlich ist, dann setze dafür und lasse später gegen streben.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich



Wenn ich b gegen unendlich laufen lasse, zeigt mein TR an: undefiniert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was machst du denn da? Du hast doch vorhin die Stammfunktion schon bestimmt. Warum setzt du nicht dort ein? Und zwar für ? Denn nach wird integriert.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »



undefiniert
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sieht das schon einmal anders aus. Und wo ist da irgendetwas undefiniert?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, mein Taschenrechner zeigt es nur an.
Wenn ich den Ausdruck für b gegen unendlich laufen lasse, zeigt er an: undefiniert.


Nunja...

Und jetzt muss ich was machen? unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt davon, wenn man sich auf seinen Taschenrechner verläßt, statt selber nachzudenken. ist für den Grenzübergang ein Parameter und zwar, das ist entscheidend!, ein positiver. So steht es in deinem Eröffnungsbeitrag. Jetzt mußt du ja nur elementare Eigenschaften der Exponentialfunktion verwenden.

(Ich glaube, du machst dich selber verrückt und weißt deshalb langsam nicht mehr, wie du 1+2 rechnen sollst. Jetzt behalte einfach die Nerven.)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt also 1/t heraus, weil der Rest gegen 0 konvergiert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt schreibe das einmal ordentlich auf:



Und was folgt daraus über ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.






Stimmt das?

Dann müsste ich noch wissen, warum man zu Beginn einfach differenzieren konnte.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht zu schnell. Aus folgt nur, daß sich und der natürliche Logarithmus um eine Konstante unterscheiden.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst:

?

Wie gehts jetzt weiter?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Idee?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Konstante gegen 0 laufen lassen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Konstante ist ja eine feste Zahl, wenn auch noch unbekannt. Die darfst du natürlich nicht "laufen lassen". Nein, aber die Gleichung gilt für alle . Das ist doch das Interessante. Es ist ja eine Gleichung zwischen Funktionen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß gerade nicht, worauf Du hinaus möchtest.
Irgendwie muss man doch das c jetzt wegbekommen - sehe ich das richtig?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist zu berechnen. Wobei die Gleichung FÜR ALLE ja gilt. Wie gesagt, es ist eine Gleichung zwischen Funktionen der Variablen .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stell mich wieder blöd an, schätze ich.

.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, da diese Gleichung für alle gilt, kannst du mit irgendwelche Sachen anstellen, z.B. oder gehen lassen oder für einfach einen Wert einsetzen, z.B. .

Jetzt zeigt sich deine Geschicklichkeit (es gibt dafür kein allgemeines Rezept). Du mußt irgendetwas mit tun, was du für auch effektiv berechnen kannst. Für hast du ja nur die Integraldarstellung vom Anfang. Damit mußt du arbeiten.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, fällt mir jetzt nichts ein.

Vielleicht komm ich irgendwann drauf.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir das Integral vom Anfang an, das für . Für welchen speziellen zulässigen -Wert wird das besonders einfach, so daß du es direkt berechnen kannst?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Für t=1, dann steht im Zähler 0.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann los!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »




für t=1.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Gleichung gilt für alle .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle t, ja--- richtig.


Danke!

Ich stelle mir nun im Nachhinein - nach der Klausur - natürlich die Frage, wie man auf die Lösungsideen hätte kommen können.

Und bei dieser Aufgabe wäre ich niemals darauf gekommen, dass man am Anfang differenziert, daher frage ich mich:

1.) Wieso darf man das...
2.) Wie kommt man nur auf solche Ideen. unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß natürlich nicht, was ihr in der Vorlesung hattet. Möglicherweise habt ihr da Sätze der Integrationstheorie behandelt, mit denen so etwas auch geht. Ich habe ja nur etwas vorgeschlagen, das funktioniert. Möglicherweise etwas, das du so gar nicht kennst.
Vielleicht ist die Aufgabe auch von einem anderen Professor, der in seiner Vorlesung Parameterintegrale ausführlich behandelt hat, während dein Professor sich mit anderen Sachen beschäftigt. Dann wäre die Aufgabe für dich gar nicht relevant.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Stichwort ist Parameterintegrale.

Doch, ich muss zu meiner Schande eingestehen: Das hatten wir. Ich hatte es für die Klausur aber völlig vergessen zu lernen und erst jetzt fällt mir das Stichwort wieder ein. So besteht man natürlich keine Klausur...

Naja, auf die Idee, dass man F'(t) ausrechnet und dann Rückschlüsse auf F(t) trifft, hätte man trotzdem noch kommen müssen.

traurig
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst habe ich gezeigt:

F(t)=ln(t)+c

Soweit, so gut.

Dann habe ich t=1 gewählt um zu zeigen, dass dann c=0 ist und also gilt:

F(t)=ln(t)

Ich habe jedoch Dein Argument nicht verstanden, wieso dies für alle t gilt:

Warum gilt denn das für alle t?

Ich musste doch speziell t=1 wählen, damit dieses Ergebnis herauskam?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei handelt es sich doch um ein uneigentliches Parameterintegral.

Und damit man jetzt "unter dem Integral" integrieren darf, muss doch Folgendes gelten:

1.) muss stetig sein. Das ist der Fall, da sowohl Zähler, als auch Nesser stetig sind. Korrekt?

2.) muss stetig partiell nach t differenzierbar sein. Dies ist der Fall, denn die partielle Ableitung nach t, nämlich ist stetig.

3.) von g(x) und h(x) müssen konvergieren.



Wer kann mir helfen Majoranten zu finden, die 3.) und 4.) erfüllen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal Punkt 3.) und 4.), die kann ich im Beitrag oben irgendwie nicht ändern:


3.) Es muss Majoranten g(x) und h(x) geben mit



4.) Die uneigentlichen Integrale (0 bis ) von g(x) und h(x) müssen konvergieren.



Bei Punkt 3.) und 4.) brauche ich bitte Hilfe, denn ich finde solche Majoranten nicht.


EDIT:

Ist nicht in beiden Fällen eine Majorante?
Die uneigentlichen Integrale wären dann 1.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralgleichung
Nachdem nun alles berechnet ist, steht für mich immer noch der Nachweis aus, daß man hier unterm Integral differenzieren darf.

Kann mir das vllt. jemand beantworten: Was muss man dafür nachweisen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Folgendes Kriterium ist hinreichend:

1. Das durch formale Differentiation nach entstandene Integral konvergiert kompakt in .

2. Das Ausgangsintegral konvergiert an mindestens einer Stelle .

Den 2. Punkt hast du bereits erledigt ().
Jetzt zum 1. Punkt. variiert ja im Intervall . Jede kompakte Teilmenge von liegt in einem Intervall mit geeignetem . Es genügt daher zu zeigen:

Für jedes konvergiert das Integral gleichmäßig in .

Und um das nun wiederum zu zeigen, genügt die Angabe einer von unabhängigen Majoranten (sie darf aber durchaus von abhängen).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles?

Ich habe vorhin noch gelesen, daß man Folgendes zeigen muss:

1.) Der Ausgangsintegrand ist stetig.

2.) Der Ausgangsintegrand ist stetig partiell diff.bar nach dem Parameter (hier: t)

3.) Es gibt Funktionen g und h, für die gilt:

4.) Die uneigentlichen Integrale der Funktionen g(x) und h(x) konvergieren.



Ich glaube Du hattest die Punkte 3.) und 4.) genannt?
[Und vllt. gelten die andern Punkte dann auch oder Du hast sie als klar vorausgesetzt, ich will da nichts unterstellen oder so.]


Jetzt diese Punkte mal zu dieser Aufgabe:

Also stetig ist der Ausgangsintegrand, weil Zähler und Nenner stetig sind.

Nach t kann man den Ausgangsintegranden auch ableiten und stetig ist die Ableitung auch.

3.)-4.) kann ich leider hier nicht erkennen bzw. nachweisen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man dann vielleicht sagen, dass

eine Majorante ist, da t jeweils aus einem Intervall mit stammt und man immer einen kleineren Wert als findet?

Für diesen gilt dann jedenfalls auf der positiven reellen Achse und nur die ist hier wichtig, glaube ich, da da die herstammen.
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