Bedingte Wahrscheinlichkeit

12.03.2011, 16:54

bauhaushali

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Ein Beutel mit vier Münzen: 2 faire Münzen mit K und Z, 1 Münze mit nur K, 1 Münze mit nur Z

Jemand zieht zufällig eine Münze aus dem Beutel und wirft die Münze zweimal. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dass die Münze beim zweiten Wurf eine Zahl zeigt, wenn sie beim ersten Wurf eine Zahl gezeigt hat.

Meine Ideen:
Ich überlege mir als erstes die Elementarereignisse, dabei steht FM für eine faire Münze, KM für eine "nur-Kopf-Münze" und ZM für eine "nur-Zahl-Münze".

Mögliche Ergebnisse der Ziehung und die Ergebnisse der anschließenden Würfe:

FM,K,K = 1/8
FM,Z,Z = 1/8 (A,B)
FM,K,Z = 1/8
FM,Z,K = 1/8
KM,K,K = 1/4
ZM,Z,Z = 1/4 (A,B)

Ereignis A : "Zweiter Wurf ist Zahl" = 1/2
Ereignis B : "Erster Wurf ist Zahl" = 1/2

$\begin{eqnarray*} Pr[A\mid B]=\frac{Pr[A\cap B]}{Pr[B]} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Pr[A\cap B]=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Wenn ich damit jetzt rechne komme ich nicht auf das Ergebnis auf das ich laut Lösung kommen sollte. Ich denke irgendetwas hat sich bei mir noch eingeschlichen dass ich nicht bedenke? Wer hilft mir auf die Sprünge? Sind meine Überlegungen korrekt?

12.03.2011, 19:45

jester.

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Ich komme auf $\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac 3 4 \end{eqnarray*}$ , bei mir ist ebenfalls $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=\frac 1 8 + \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ , jedoch ergibt dies $\begin{eqnarray*} \frac 3 8 \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} \frac 3 4 \end{eqnarray*}$ . Hast du dich also vielleicht einfach nur beim Bruchrechnen verrechnet?

12.03.2011, 20:00

bauhaushali

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$\begin{eqnarray*} Pr[A\cap B]=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8} Pr[B]=\frac{1}{2} Pr[A\mid B]=\frac{Pr[A\cap B]}{Pr[B]}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Es sollte aber 2/3 herauskommen geschockt

12.03.2011, 20:16

jester.

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Es mag sein, dass ich den gleichen Denkfehler mache wie du. Es kann aber auch sein, dass die Musterlösung einfach falsch ist - ich nehme an dort steht nur das Ergebnis und kein Lösungsweg?

12.03.2011, 20:19

bauhaushali

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Yep, wenig hilfreich ... zweite Meinung?

24.03.2011, 12:36

bauhaushali

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Push Push, hier muss doch jemand was von diskreten Wahrscheinlichkeiten verstehen?

24.03.2011, 12:59

Zündholz

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Hallo,
Ich komme auch auf 3/4. Dies lässt sich auch dadurch bestätigen, da (Ich bezeichne mal mit X_1 den ersten mit X_2 den zweiten wurf - gesucht ist also P(X_2 = Z|X_1 = Z )):

$\begin{eqnarray*} 1 = P(X_2 = Z|X_1 = Z ) + P(X_2 = K|X_1 = Z ) \end{eqnarray*}$

Und letztere Wahrscheinlichkeit 1/4 ist. Darauf kommt man auch heuristisch, denn das dies eintritt hat bei einer gezinkten Münze Wslk 0. folglich muss man eine faire Münze (Wslk 1/2) ziehen und da der zweite Wurf nicht vom ersten abhängt, einfach die Wslk Zahl zu werfen (1/2) multiplizieren.

Schöne Grüße

24.03.2011, 13:00

Math1986

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Zitat:

Original von bauhaushali
$\begin{eqnarray*} Pr[A\cap B]=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8} Pr[B]=\frac{1}{2} Pr[A\mid B]=\frac{Pr[A\cap B]}{Pr[B]}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Das sieht mir soweit richtig aus, und solange wir nicht alle 3 (mittlerweile 4) den selben Denkfehler gemacht habe würde ich einfach mal davon ausgehen dass die Msterlösung tatsächlich falsch ist

24.03.2011, 13:02

bauhaushali

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Vielen Dank Zündholz und Math1986, dann ist das bis auf Widerruf jetzt für mich richtig! Freude

26.03.2011, 10:57

Tharion

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Zitat:

Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dass die Münze beim zweiten Wurf eine Zahl zeigt, wenn sie beim ersten Wurf eine Zahl gezeigt hat.

es geht ja hier darum, das sie beim ersten mal eine zahl zeigt und beim zweiten wurf auch.

wahrscheinlichkeit für kopf und zahl jeweils einhalb

also $\begin{eqnarray*} (2/4)*((1/2)*(1/2))=(1/8)+(1/4)*1*1=(3/8) \end{eqnarray*}$

mit nem baumdiagramm wird das ja auch deutlich. man brauch ja da nur einen pfad ( ZZ) und den erreicht man halt mit maximal drei münzen. (außer mit der einen die nur köpfe hat)

oder versteh ich hier was falsch verwirrt

was ich nicht versteh warum zündholz hier kopf und zahl berücksichtigt. es geht doch nur um zahl und zahl

26.03.2011, 11:15

dinzeoo

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man kann die aufgabe auch so interpretieren:

"Wahrscheinlichkeit dass die Münze beim zweiten Wurf eine Zahl zeigt, wenn sie beim ersten Wurf eine Zahl gezeigt hat."

d.h. wir können die münze mit beiden seiten kopf (k/k) direkt mal vergessen, da zahl schon geworfen worden ist. es bleiben also drei münzen über, nämlich 2 mal die faire k/z, k/z und die gezinkte z/z.

jede von diesen drei kann es mit gleicher wahrscheinlichkeit 1/3 sein, daraus folgt:
wahrscheinlichkeit nächster wurf zahl:

$\begin{eqnarray*} P(zahl)=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

26.03.2011, 20:07

dinzeoo

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hi...
hab gerade mal eure beiträge etwas ausführlicher durchgelesen, irgendwo ist bei mir hier ein denkfehler drin...
unsere interpretationen sind nämlich gleich oder irre ich mich da?
verwirrt

momentan würde ich behaupten das man die bedingte wahrscheinlichkeitsformel hier nicht anwenden kann... oder man muss den grundraum ändern oder sowas in der art... oder mein ansatz ist einfach falsch Augenzwinkern

27.03.2011, 12:45

dinzeooo

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gerade nochmal drüber nachgedacht und den fehler gefunden und zwar hier ist er:

Zitat:

Original von dinzeoo
jede von diesen drei kann es mit gleicher wahrscheinlichkeit 1/3 sein, daraus folgt:

sorry für die verwirrung hier, sofern überhaupt noch jemand mitliest....

jetzt bekomm ich zumindestens auch $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ raus....

cu

28.03.2011, 16:08

bauhaushali

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um der sache hier jetzt nochmal ne schups zu geben: ließe sich eine solche aufgabe prinzipiell per baum-diagramm lösen oder ist die bedingte wahrscheinlichkeit eben nicht nur die summe der wahrscheinlichkeiten aller ZZ-Pfade im Baum?

28.03.2011, 16:13

bauhaushali

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Also der Baum sagt wie zu erwarten auch 3/4. Wie gesagt, ein paar generelle Worte zur bedi. Wahrscheinlichkeit würden mir hier helfen, in der Aufgabe ist auch explizit danach gefragt... geschockt

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