Iterationsvorschrift nach Newton-Verfahren

01.12.2006, 18:48	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Iterationsvorschrift nach Newton-Verfahren Tach zusammen, ich schaffe es einfach nicht, eine Iterationsvorschrift nach dem Newton-Verfahren bei folgendem Gleichungssystem zu bilden (ich schreibe das Gleichungssystem direkt mal als Funktion, da beide Gleichungen bereits 0 als Ergebnis haben): $\begin{eqnarray} f(x,y) = \begin{pmatrix} (x-1)y^2 \\ x(x-2)(y+2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun möchte ich die bekannte Formel zur Erstellung einer Iterationsvorschrift $\begin{eqnarray} x_{i+1} = x_i - \frac{f(x,y)}{f'(x,y)} \end{eqnarray}$ . benutzen. Ich berechne also erst die Jacobimatrix: $\begin{eqnarray} f'(x,y) = \begin{pmatrix} y^2 & 2y(x-1) \\ 2xy + 4x -2y -4 & x^2 -2x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Inverse dieser auszurechnen ist ja nicht schwer, da 2x2 Matrix: $\begin{eqnarray} (f'(x,y))^{-1} = \frac{1}{xy(-3xy+6y-8x+16)-4y(y-2)} \cdot \begin{pmatrix} x^2 -2x & -2(x-1) \\ -2xy-4x+2y+4 & y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und oben genannte Formel ergibt für dieses Gleichungssystem bei mir: $\begin{eqnarray} x_{i+1} = x_i - \frac{1}{xy(-3xy+6y-8x+16)-4y(y-2)} \begin{pmatrix} xy(-x^2y+3xy-2y-4x^2+12x-8) \\ xy(-xy^2+2y^2-2xy+4y)-2y^2(y+2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich soll nun den ersten Iterationsschritt ausgehend vom Startwert $\begin{eqnarray} (x_0 , y_0) = (1,1) \end{eqnarray}$ berechnen, und ich bekomme raus: $\begin{eqnarray} x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{15} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{6}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das Ergebnis macht aber nicht viel Sinn, da die exakte Lösung in dem Fall ja eigentlich (1,-2) lautet. Ich habe diese verlucht nervige Rechnung aber schon so oft gemacht und bin immer auf das selber Ergebnis gekommen. Ich mache also einen viel grundlegenderen Fehler. Helft mir bitte.
01.12.2006, 18:56	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
gerade just in diesem Moment habe ich gesehen, dass ich in der Berechnung des Vorfaktors der Inversen einen Fehler gemacht habe und bekomme nun raus: $\begin{eqnarray} x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das is ja ganz schön, zumal es das ist, was ich auch raushaben wollte. Jedoch würde nun für den nächsten Iterationsschritt -5 rauskommen u.s.w. Mein Iterationsverfahren konvergiert also nicht.
12.12.2006, 20:58	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Paul! Gegeben: $\begin{eqnarray} \vec{f} : \mathbb R ^2 -> \mathbb R ^2, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} (x- 1) y^2 \\ x(x-2)(y+2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , Startvektor $\begin{eqnarray} \vec{f} ( \vec{x_0} ) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , gesucht: Nullstelle. Ansatz: $\begin{eqnarray} \vec{f'} ( \vec{x_i} ) (\vec{x_{i+1} } - \vec{x_i) } = - \vec{f} ( \vec{x_i} ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{f'} ( \vec{x_i} ) \end{eqnarray}$ als JACOBI-Matrix. (Meine JACOBI-Matrix ist identisch mit der deinigen.) Dann habe ich aber die Inversion der Matrix umgangen und das LGS direkt gelöst. Der erste Iterationsschritt führt bereits zum Ziel $\begin{eqnarray} \vec{x_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{f} ( \vec{x_1} ) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und bleibt nachher stabil, m.a.W. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist ein Fixpunkt. Danach habe ich noch die Inverse der JACOBI-Matrix berechnet, kann aber dein Resultat nicht bestätigen. Gruss yeti
15.03.2017, 20:54	Schwollow	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand sagen, wie ich von der Jakobimatrix über die Formel auf das Gleichungssystem kommen? Das ist der letzte harkende Punkt bei mir... Danke
15.03.2017, 20:56	Schwollow	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauer gesagt, von der Inversen der Jakobimatrix auf das Gleichungssystem..
15.03.2017, 22:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Newton-Iterationsvorschrift lautet $\begin{align} \begin{pmatrix}x_{i+1}\\ y_{i+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_i\\ y_i\end{pmatrix} - (f'(x_i,y_i))^{-1}\cdot f(x_i,y_i) \end{align}$ mit (s.o.) Jacobi-Matrix $\begin{align} f'(x,y) = \begin{pmatrix} y^2 & 2y(x-1)\\ 2xy+4x-2y-4 & x^2-2x\end{pmatrix} \end{align}$ . Da es hier nur um einen einzigen Iterationsschritt geht, muss man sich nun nicht totrechnen an einer allgemeinen Darstellung der Inversen dieser Matrix: Setzt man nämlich den Anfangsvektor $\begin{align} \begin{pmatrix}x_0\\ y_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix} \end{align}$ ein, so erhält man unmittelbar $\begin{align} f'(1,1) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} \end{align}$ . Und die ist ja nun wirklich einfach zu invertieren.
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