Drei Beweise mit Projektionen

Neue Frage »

Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »
Drei Beweise mit Projektionen
Aufgabe: Sei P: V->V ein Endomorphismus. P heißt Projektion, falls gilt. Ein Endomorphismus heißt Involution, wenn gilt.
Zeige:
a) für jede Projetion

b) Es sei . Dann gibt es eine Projektion P mit Ker(P)=U_1 und Im(P)=U_2.

c) Für alle Endomorphismen gilt:

ist eine Projektion ist Involution

Wenn ich bei a) einen Ansatz habe, sollte b) zu schaffen sein, jedoch fehlen mir bei a) wie c) glaube ich noch irgendwelche Bedingungen, welche man anwenden muss/kann und wo ich grad nicht drauf komme verwirrt

Und: Was ist id genau?

Danke für die Antworten schonmal im Voraus smile
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drei Beweise mit Projektionen
'id' wird die Identität sein (Abbildung auf sich selbst)

.
 
 
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

Und was habe ich mir dann unter einem Term minus id vorzustellen? verwirrt
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... also ich hab gerade mal etwas 'rumgeschaut', weil mir das
nicht ganz geheuer vorkam mit der Identität und es

scheint mir evtl auch was anderes sein zu können :-/
wart mal auf andere 'Stimmen' ...

.
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll die Identität sein; nur dann kann (c) funktionieren.

Lg Mario
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Fallen_Angel

Ich denke, das beste ist, sich die ganze Sache einmal vorzustellen.

Nehmen wir eine Ursprungsgerade im V=R² (übliches kartesisches Koordinatensystem). Das ist ein Unterraum U1 der Dimension 1. Um etwas Konkretes vor Augen zu haben, nehmen wir den vom Vektor (1,2) erzeugten Unterraum, U1 ist also die Ursprungsgerade mit der Steigung 2.

Jetzt projizieren wir einen beliebigen Punkt x (den wir hier mit seinem Ortsvektor identifizieren) senkrecht auf U1 (man könnte natürlich auch "schräg" projizieren). Diese Projektion heiße P, und es sei x'=P(x) der Bildpunkt von x bei dieser Projektion. Anschaulich heißt das, daß man von x auf U1 das Lot zu fällen hat und x' dabei der Lotfußpunkt ist.

Wenn nun x zufällig schon auf U1 liegt, dann gilt natürlich x=x'. Das heißt, daß die Projektion P auf U1 wie die Identität auf U1 wirkt.

Jetzt sei U2 die zu U1 senkrechte Ursprungsgerade, U2 wird also z.B. von (-2,1) erzeugt. Liegt x auf U2, so ist x'=P(x)=0, d.h. auf U2 wirkt P wie die Nullabbildung.

Die Vektoren (1,2) und (-2,1) sind linear unabhängig und erzeugen daher V. Anders gesagt: V ist die direkte Summe von U1 und U2 (hier sogar die orthogonale Summe).
Wenn wir etwa den Punkt x=(4,3) betrachten, so ist x=2·(1,2)-(-2,1) die Darstellung bezüglich unserer Basis, also P(x)=2·P((1,2))-P((-2,1))=2·(1,2)=(2,4), denn auf U1 ist P die Identität, auf U2 dagegen 0. Das Ganze kann man auch schön zeichnerisch verfolgen.

So geht das für ein beliebiges x=r·(1,2)+s·(-2,1):
P(x)=P(r·(1,2)+s·(-2,1))=r·P((1,2))+s·P((-2,1))=r·(1,2)
PP(x)=P(P(x))=P(r·(1,2))=r·P((1,2))=r·(1,2)=P(x), d.h. PP=P
Und anschaulich ist das auch klar. Hat man x erst einmal projiziert, so ändert eine weitere Projektion daran nichts: PP=P.
U1 ist das Bild von P, U2 ist der Kern von P.

Edit 1:
Und soeben merke ich, daß ich U1,U2 gerade umgekehrt benannt habe wie in deiner Vorgabe. Aber das ist wohl nicht allzu schlimm.

Edit 2:
c) kannst du so lösen: Die linearen Abbildungen bilden bei punktweiser Addition und skalarer Multiplikation einen Vektorraum. Zusätzlich haben wir auf diesem Vektorraum ein "Produkt", nämlich die Verkettung. Man spricht hier von einer Algebra. Diese Algebra ist allerdings nicht kommutativ, da die Verkettung von Abbildungen von der Reihenfolge der Glieder abhängt. Wenn du nun Groß-Phi "quadrierst", darfst du dennoch ausnahmsweise kommutativ rechnen, da die Identität (das "Einselement" unserer Algebra) mit allen linearen Abbildungen kommutiert. Man kann also rechnen wie bei der 2. binomischen Formel. Und da Klein-phi mal Klein-phi gleich Klein-phi ist, ergibt sich alles wie von selbst.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem du dir Leopolds Beitrag durchdacht hast, hast du jetzt mehr Gefühl für die ganze Sache, nehm ich mal an. smile


b) Jeden Vektor kannst du eindeutig darstellen als v = u_1 + u_2, wobei u_1 aus U_1 und u_2 aus U_2 ist. Definiere P(v) = u_2, dann hast du die gesuchte Projektion, von der du nun noch nachweisen musst, dass Kern und Bild wie angegeben sind. (Wichtigstes ist markiert.)

c)

@Leopold
Hatte mich über etwas gewundert, was sich dann als richtig herausgestellt hat.
Einfacher ist es jedoch, punktweise zu berechnen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie ich mein Edit 2 gerade noch einmal durchlese, fällt mir auf, daß Kleinvieh mal Kleinvieh gleich Kleinvieh ist, was doch der allgemein bekannten Tatsache, daß Kleinvieh auch Mist macht, widerspricht!
Vielleicht ist die ganze Sache doch falsch ...:P
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Das ist schon richtig, was du im zweiten Edit schreibst. Es ist aber leichter nachvollziehbar und kommt ohne den Begriff der Algebra aus, wenn man es punktweise ausrechnet.


Zu a)
Um zu zeigen, dass der Schnitt von Kern und Bild nur die Null enthält, wähle ein v aus diesem Schnitt. Dann ist P(v) = 0 und es gibt einen Urbildvektor w mit P(w) = v. Die beiden Gleichungen ineinander eingesetzt ergeben v = 0.

Um zu zeigen, dass jeder Vektor als Summe von Kern und Bild darstellbar ist, betrachte v - P(v). Der liegt im Kern.


(Meine Ausführungen sind deshalb so knapp, dass du auch noch was zu denken hast. Aber den Fahrplan hast du.)
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt verwirrt verwirrt Big Laugh

Nun ja....bin noch am grübeln, aber der Schleier lichtet sich langsam smile

Das mit der Projektion und der Identität kommt auch noch Augenzwinkern

Vielen Dank soweit, damit sollte ich was anfangen können. smile
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

Harhar:



Das Auflösen des ersten Summanden würde bei mir glaube ich in Spekulationen enden. Es müsste ja im ersten Summanden 0 und im zweiten Großphi rauskommen, oder lieg ich da falsch?

Zweites Problem: Der Ansatz von Irrlicht für die a) ist schön, doch habe ich doch keinen Anhaltspunkt, über den ich bestimmt sagen kann, das w im Kern liegen muss, oder?
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt für phi ist Projektion



? smile

Sorry übrigens...kam jetzt eigentlich recht gut zurecht die letzten Wochen, aber jetzt hakt's Big Laugh
Bin grad ein wenig gestresst, deshalb auch der vielleicht etwas raue Ton Augenzwinkern
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fallen_Angel


Richtig bis auf's Vorzeichen:


Zitat:
Das Auflösen des ersten Summanden würde bei mir glaube ich in Spekulationen enden.

Beachte, dass phi und id Endomorphismen, also insbesondere lineare Abbildungen sind. (siehe unten)

Zitat:
Zweites Problem: Der Ansatz von Irrlicht für die a) ist schön, doch habe ich doch keinen Anhaltspunkt, über den ich bestimmt sagen kann, das w im Kern liegen muss, oder?


Richtig, ueber w hast du keine weiteren Aussagen. Aber du hast
0 = P(v) = P(P(w)) = ...


Fuer die Projektion phi gilt
phi(phi(x)) = phi(x),
aber 2phi ist keine Projektion. Deshalb ist
2phi(2phi(x)) =/= 2phi(x).
Vereinfache den Ausdruck wie du einen gewoehnlichen Ausdruck mit linearen Funktionen vereinfachst.
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

Nur zur Überprüfung der Richtigkeit:



UND:



?smile
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diese Berechnungen sind richtig!
Tanzen

Damit hast du bei c) die eine Richtung: Wenn phi eine Projektion ist, dann ist Phi eine Involution. Wie gehst du an die andere Beweisrichtung ran?
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

traurig

Ich raff's einfach nicht. Mag man mich dumm nennen, aber das ist zu viel unglücklich

Bis jetzt hab ich um genau zu sein KEINE der Teilaufgaben so gelöst, dass man etwas damit anfangen könnte. Mag es daran liegen, dass ich nichts mit der Aufgabe anfangen kann.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ruhig bleiben... *tätschel*

Fang einfach mal an, deine Gedanken für z.B. die Aufgabe a) aufzuschreiben. Was hast du denn so alles aufgeschrieben bzw. rausgekriegt? Wir kriegen das schon hin! smile
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

Die Entwicklung mit dem v aus der Schnittmenge steht ja auf Seite 1, die hab ich nach mitdernasereinstoßen auch hinbekommen.
Mit dem "v-P(v) aus Kern" kann ich dann schon wieder nichts anfangen.

Ist das das selbe v wie zuvor?! Und selbst wenn, was hälfe mir das? verwirrt

Bei der b) hab ich eigentlich gar nichts und c) nur die aufgeschriebene Richtung.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, v ist beliebig.
Du hast ja die Gleichung v = (v - P(v)) + P(v)

Es liegt P(v) im ... von v und es ist
P(v - P(v)) = .............
Also liegt v - P(v) im ...............
Damit ist v darstellbar als Summe eines Elementes aus dem ..... von P und eines Elementes aus dem ...... von P.
Wir haben also gezeigt, dass V = Ke(P) + Bi(P).


smile Das kannst du jetzt ausfüllen.
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlicht
Es liegt P(v) im Bildraum von v und es ist
P(v - P(v)) =P(v)-P(P(v))=P(v)-P(v)=0
Also liegt v - P(v) im Kern von P
Damit ist v darstellbar als Summe eines Elementes aus dem Bildraum von P und eines Elementes aus dem Kern von P.
Wir haben also gezeigt, dass V = Ke(P) + Bi(P).


Einmal bitte Korrekturlesen Big Laugh

Fehlt auf jeden Fall noch b) und c). Sorry, aber ich werd da nichts mehr schaffen, denn ich hab mich seit Stunden damit befasst. unglücklich
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, gut gemacht. Ist richtig!

Ausfülltext für die anderen beiden Aufgaben zu morgen gefällig? smile
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

Zu morgen Abgabe der Aufgaben gefällig... unglücklich
Irrlichterl Auf diesen Beitrag antworten »

Rückrichtung bei c):
Setze voraus, dass Phi(Phi(x)) = x ist. Stelle die Gleichung Phi(x) = 2phi(x) - x nach phi(x) um. Dann berechne phi(phi(x)). Wenn du richtig rechnest, dann kommt da phi(x) raus. (Damit ist phi eine Projektion.)

b)
Betrachte den Endomorphismus
p: V -> V, v = u_1 + u_2 --> u_2.
Die eindeutige Darstellung v = u_1 + u_2 ergibt sich aus der Vor., dass V direkte Summe von U_1 und U_2 ist.

Berechnung des Kerns von p:
p(v) = 0
=> u_2 = ...
=> v = ... liegt in ...
Also ist der Kern in U_1 enthalten.
Umgekehrt ist U_1 im Kern enthalten, da u_1 = u_1 + 0 die eindeutige Zerlegung ist.

Berechnung des Bildes:
p(v) ist nach Konstruktion von p Element von U_2.
Umgekehrt sei u_2 in U_2. Dann ist
p(...) = u_2.
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlichterl
Berechnung des Kerns von p:
p(v) = 0
=> u_2 = 0
=> v = u_1+0=u_1 liegt in ker(P)
Also ist der Kern in U_1 enthalten.
Umgekehrt ist U_1 im Kern enthalten, da u_1 = u_1 + 0 die eindeutige Zerlegung ist.

Berechnung des Bildes:
p(v) ist nach Konstruktion von p Element von U_2.
Umgekehrt sei u_2 in U_2. Dann ist
p(v?) = u_2.


Ist das p(v)=p(u_1+u_2)?

Ansonsten: VIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIELEN DAAAAAAAAAAAANK!!! smile

Ich stehe tief in deiner Schuld Augenzwinkern

Irrlicht macht ihrem Titel alle Ehre :]
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Das letzte v (das mit dem Fragezeichen dahinter) sollte eher ein u_2 werden. Aber ich glaube das wird nicht soviel machen. Der Grossteil ist ja geschafft.

Gern geschehen. smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »