Lgs	Neue Frage »

01.12.2006, 20:50

ErRoRr-FuNCtiOn

Lgs

Geben Sie in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,eine Basis des Lösungsraumes des folgenden linearen Gleichungssstems an.

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0\\ -3x_1 - (6a+6)x_2 - 9x_3 = 0 \\ -2x_1 - (a+4)x_2 + 6x_3 = 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Die Zeilen hab ich dann mal umgeformt...dann sieht es so aus...

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0\\ -3x_1 - 6x_2 - 6ax_2 - 9x_3 = 0 \\ -2x_1 - 4x_2ax_2 + 6x_3 = 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow III + 2*I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0\\ -3x_1 - 6x_2 - 6ax_2 - 9x_3 = 0 \\ 0 - ax_2 + 4x_3 = 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow II + 3*I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0\\ 0 - 6ax_2 - 12x_3 = 0 \\ 0 - ax_2 + 4x_3 = 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow -6*III + II \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0\\ 0 - 6ax_2 - 12x_3 = 0 \\ 0 - 0 - 36x_3 = 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} x_1 + 2x_2 = 0\\ 6ax_2 = 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 3 Fälle:
1.Fall: $\begin{eqnarray*} a=0 \rightarrow x_2 =0 \end{eqnarray*}$
2.Fall: $\begin{eqnarray*} a=+1 \rightarrow x_2 =0 \end{eqnarray*}$
3.Fall: $\begin{eqnarray*} a=-1 \rightarrow x_2 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow x_1=0 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig oder hab ich da irgendwo was falsch gemacht?

01.12.2006, 21:31

mYthos

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RE: Lgs
Bei deiner Umformung muss irgendwo ein Fehler passiert sein, denn die Ergebnisse sind nicht richtig und unvollständig.

Auch der Rechenweg sollte i.A. dahin ausgerichtet sein, zuerst mal das Lösungstripel (x1; x2; x3) in Abhängigkeit von a darzustellen und danach die Fälle für a zu diskutieren.

Nachdem hier jedoch ein homogens lGS vorliegt, darf man sofort davon ausgehen, dass es auf jeden Fall die triviale Lösung (0; 0; 0) hat. Nur wenn das lGS abhängig ist, hat es ausser der trivialen Lösung noch zusätzliche Lösungen! In diesem Fall hat die aus den Koeffizienten der Variablen gebildete Determinante den Wert Null. Daraus könnte man umgehend den entsprechenden Wert für a ermitteln (a = -4).

Es geht aber auch nach der von dir eingeschlagenen Methode, nur müssen wie gesagt die Umformungen zielführend sein.

Ich erhalte jedenfalls nach Elimination von x1 und x3 die Gleichung

(3a + 12)x2 = 0

Dahin müsstest du eigentlich auch kommen. Es folgt daraus, dass es für alle a ungleich -4 nur die triviale Lösung (0; 0; 0) gibt.

Für a = -4 ist jedoch die Lösungsmenge noch entsprechend zu erweitern ...

mY+

04.12.2006, 23:47

chris85

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Ich hab es jetzt nochmal neu gemacht. Komme aber nicht auf dein Ergebnis! Vllt könntest du mir sagen wo mein Fehler liegt.

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_1 - (6a+6)x_2 - 9x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_1 - (a+4)x_2 + 6x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_1 -6ax_2 - 6x_2 - 9x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_1 - ax_2 - 4x_2 + 6x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 6*III + II \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_1 -6ax_2 - 6x_2 - 9x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -15x_1 - 30x_2 + 27x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} III + 15*I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_1 -6ax_2 - 6x_2 - 9x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_1 - 6ax_2 - 6x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} II + 3*I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -6ax_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow ax_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow I*II \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_2 * -6ax_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2(2-3a) = 0 \end{eqnarray*}$

05.12.2006, 00:10

mYthos

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Zitat:

Original von chris85
...
$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_1 -6ax_2 - 6x_2 - 9x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_1 - ax_2 - 4x_2 + 6x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 6*III + II \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_1 -6ax_2 - 6x_2 - 9x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -15x_1 - 30x_2 + 27x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
...

Hier stimmt's schon nicht mehr, denn bei der Addition fallen die $\begin{eqnarray*} ax_2 \end{eqnarray*}$ nicht weg (Vorzeichenfehler!).

mY+

05.12.2006, 16:57

ErRoRr-FuNCtiOn

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Gut hab den Fehler gefunden. Komme aber trotzdem nicht auf das ERgebnis von dir (3a + 12)x2 = 0.
Ich komme auf x2(2-6a)=0

Kannst du mir mal einen deiner weiteren Schritte aufschreiben? Dann könnte ich schauen wo es denn bei mir hängt.

05.12.2006, 21:29

mYthos

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Dein's stimmt wieder nicht, bei meinem war aber auch ein Fehler, a = -4 stimmt nicht, sondern a = 0 ist richtig. Also nochmals:

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_1 - (6a + 6)x_2 - 9x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_1 - (a + 4)x_2 + 6x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

1: - 3.: $\begin{eqnarray*} 3x_1 + (a + 6)x_2 - 7x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
2.: $\begin{eqnarray*} -3x_1 - (6a + 6)x_2 - 9x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ ...... | +

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -5ax_2 - 16x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -ax_2 + 4x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ ... (2*1. + 3.: ); | *4 | +

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -9ax_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$

Den Wert a = 0 bekommt man auch, wenn die Koeffizienten-Determinante der Variablen Null gesetzt wird. Für diesen Fall ist das lGS abhängig und hat unendlich viele Lösungen. Um diese zu ermitteln, ist a = 0 in das LGS einzusetzen und dieses nochmals zu lösen:

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_1 - 6x_2 - 9x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_1 - 4x_2 + 6x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
________________________________
... (Lösungsweg gleich wie am Anfang)

$\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ (zwingend, d.h. diese Variable NICHT wählbar)
...
$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
(die 2. Gleichung sagt dasselbe aus -> Abhängigkeit)

$\begin{eqnarray*} x_2 = t \end{eqnarray*}$ , reell, wählen! -> $\begin{eqnarray*} x_1 = -2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

Lösung f. a = 0:

$\begin{eqnarray*} x_1 = -2t, x_2 = t, x_3 = 0; \ t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Durch Variation des Paramters t erhalten wir den Lösungsraum des lGS und dies war ja die Hauptfrage in dieser Aufgabe. (Wie lautet dann die Basis?) Die triviale Lösung (0;0;0) ist nur eine Teilmenge dieser Gesamtlösung.

Geometrisch entspricht dies der Schnittgeraden der durch das lGS bestimmten Ebenen.

mY+

05.12.2006, 22:35

ErRoRr-FuNCtiOn

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Wie kommst du darauf? $\begin{eqnarray*} -ax_2 + 4x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
Da komm ich nicht drauf.

05.12.2006, 22:54

mYthos

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.. steht daneben!
2 mal die erste plus die dritte Gleichung der Angabe!

$\begin{eqnarray*} +4x_2 - 4x_2 \end{eqnarray*}$ reduzieren sich, bleibt $\begin{eqnarray*} -ax_2 + 4x_3 \end{eqnarray*}$

05.12.2006, 23:18

ErRoRr-FuNCtiOn

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Okay, ich hab es jetzt auch alles rausbekommen! Jetzt habe ich aber noch eine Frage zu der Lösung. x2 oder a ist 0. Es kann doch aber auch sein dass x2 und a 0 sind. Dieser Fall müsste man dann bei Angabe der Lösung auch berücksichtigen oder?

06.12.2006, 11:03

mYthos

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Das wird es ja auch!
Setze t = 0. Damit deckt die Lösungsvielfalt im Fall 2 auch den Fall 1 ab!

mY+

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Lgs

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